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1、关于线性规划问题的几何意义第1页，讲稿共39张，创作于星期二第1章 线性规划与单纯形法 第2节线性规划问题的几何意义2.1 基本概念2.2 几个定理第2页，讲稿共39张，创作于星期二2.1 基本概念1.凸集2.凸组合3.顶点第3页，讲稿共39张，创作于星期二1.凸集设K是n维欧氏空间的一点集，若任意两点X(1)K，X(2)K的连线上的所有点X(1)+(1-)X(2)K，(01)；则称K为凸集。图1-7第4页，讲稿共39张，创作于星期二实心圆，实心球体，实心立方体等都是凸集，圆环不是凸集。从直观上讲，凸集没有凹入部分，其内部没有空洞。图1-7中的(a)(b)是凸集，(c)不是凸集。图1-2中的阴
2、影部分 是凸集。任何两个凸集的交集是凸集，见图1-7(d)第5页，讲稿共39张，创作于星期二2.凸组合 设X(1)，X(2)，X(k)是n维欧氏空间E中的k个点。若存在1，2，k，且0i1,i=1,2,，k;使X=1X(1)+2X(2)+kX(k)则称X为X(1)，X(2)，X(k)的凸组合。（当0i1时，称为严格凸组合）.第6页，讲稿共39张，创作于星期二3.顶点设K是凸集，XK；若X不能用不同的两点X(1)K和X(2)K的线性组合表示为X=X(1)+(1-)X(2)，(01)则称X为K的一个顶点(或极点)。图中0，Q1,2,3,4都是顶点。第7页，讲稿共39张，创作于星期二2.2 几个定理
3、定理1 若线性规划问题存在可行域，则其可行域是凸集 第8页，讲稿共39张，创作于星期二证：为了证明满足线性规划问题的约束条件的所有点(可行解)组成的集合是凸集，只要证明D中任意两点连线上的点必然在D内即可。设是D内的任意两点；X(1)X(2)。第9页，讲稿共39张，创作于星期二第10页，讲稿共39张，创作于星期二第11页，讲稿共39张，创作于星期二引理 1 线性规划问题的可行解X=(x1,x2,，xn)T为基可行解的充要条件是X的正分量所对应的系数列向量是线性独立的。第12页，讲稿共39张，创作于星期二定理定理2 2 线性规划问题的基可行解X对应于可行 D的顶点。证证：不失一般性，假设基可行解
4、X的前m个分量为正。故现在分两步来讨论，分别用反证法。（1-8）第13页，讲稿共39张，创作于星期二(1)若X不是基可行解，则它一定不是可行域D的顶点根据引理1，若X不是基可行解，则其正分量所对应的系数列向量P1，P2，Pm线性相关，即存在一组不全为零的数i,i=1,2,m使得1P1+2P2+mPm=0 (1-9)用一个0的数乘(1-9)式再分别与(1-8)式相加和相减，。第14页，讲稿共39张，创作于星期二这样得到(x1-1)P1+(x2-2)P2+(xm-m)Pm=b(x1+1)P1+(x2+2)P2+(xm+m)Pm=b 现取X(1)=(x1-1),(x2-2),(xm-m),0,，0X
5、(2)=(x1+1),(x2+2),(xm+m),0,，0由X(1),X(2)可以得到X=（1/2）X(1)+（1/2）X(2)，即X是X(1)，X(2)连线的中点第15页，讲稿共39张，创作于星期二另一方面，当充分小时，可保证 xii0，i=1,2,m即X(1)，X(2)是可行解。这证明了X 不是可行域 D 的顶点。第16页，讲稿共39张，创作于星期二(2)若X不是可行域D的顶点，则它一定不是基可行解因为X不是可行域 D 的顶点，故在可行域D中可找到不同的两点X(1)=(x1(1),x2(1),xn(1)TX(2)=(x1(2),x2(2),xn(2)T使 X=X(1)+(1-)X(2)，0
6、1设X是基可行解，对应向量组P1Pm线性独立。当jm时，有xj=xj(1)=xj(2)=0，由于X(1)，X(2)是可行域的两点。应满足第17页，讲稿共39张，创作于星期二将这两式相减，即得第18页，讲稿共39张，创作于星期二因X(1)X(2)，所以上式系数不全为零，故向量组P1,P2,，Pm线性相关，与假设矛盾。即X不是基可行解。第19页，讲稿共39张，创作于星期二引理2 若K是有界凸集，则任何一点XK可表示为K的顶点的凸组合。本引理证明从略，用以下例子说明这引理。例5 设X是三角形中任意一点，X(1),X(2)和X(3)是三角形的三个顶点，试用三个顶点的坐标表示X(见图1-8)第20页，讲
7、稿共39张，创作于星期二解 任选一顶点X(2)，做一条连线XX(2)；并延长交于X(1)、X(3)连接线上一点X。因X是X(1)、X(3)连线上一点，故可用X(1)、X(3)线性组合表示为X=X(1)+(1-)X(3)01又因X是X与X(2)连线上的一个点，故X=X+(1-)X(2)01将X的表达式代入上式得到X=X(1)+(1-)X(3)+(1-)X(2)=X(1)+(1-)X(3)+(1-)X(2)第21页，讲稿共39张，创作于星期二令 1=,2=(1-),3=(1-)这就得到X=1X(1)+2X(2)+3X(3)ii=1,0i1第22页，讲稿共39张，创作于星期二定理 3 若可行域有界，
8、线性规划问题的目标函数一定可以在其可行域的顶点上达到最优。证证 设X(1),X(2)，X(k)是可行域的顶点，若X(0)不是顶点，且目标函数在X(0)处达到最优z*=CX(0)(标准型是z=max z)。因X(0)不是顶点，所以它可以用D的顶点线性表示为第23页，讲稿共39张，创作于星期二定理3的证明：证：证：设X(1),X(2)，X(k)是可行域的顶点，若X(0)不是顶点，且目标函数在X(0)处达到最优z*=CX(0)(标准型是z=max z)。第24页，讲稿共39张，创作于星期二代入目标函数得在所有的顶点中必然能找到某一个顶点X(m)，使CX(m)是所有CX(i)中最大者。并且将X(m)代
9、替(1-10)式中的所有X(i)，这就得到（1-10）第25页，讲稿共39张，创作于星期二由此得到 X(0)CX(m)根 据 假 设 CX(0)是 最 大 值，所 以 只 能 有 CX(0)=CX(m)即目标函数在顶点X(m)处也达到最大值。有时目标函数可能在多个顶点处达到最大;这时在这些顶点的凸组合上也达到最大值。称这种线性规划问题有无限多个最优解。第26页，讲稿共39张，创作于星期二假设是目标函数达到最大值的顶点，若是这些顶点的凸组合，即于是设：第27页，讲稿共39张，创作于星期二于是：第28页，讲稿共39张，创作于星期二另外，若可行域为无界，则可能无最优解，也可能有最优解，若有也必定在某
10、顶点上得到。根据以上讨论，可以得到以下结论：线性规划问题的所有可行解构成的集合是凸集，也可能为无界域，它们有有限个顶点，线性规划问题的每个基可行解对应可行域的一个顶点；若线性规划问题有最优解，必在某顶点上得到。虽然顶点数目是有限的(它不大于个)，若采用“枚举法”找所有基可行解，然后一一比较，最终可能找到最优解。但当n,m的数较大时，这种办法是行不通的，所以要继续讨论，如何有效地找到最优解，有多种方法，这里仅介绍单纯形法。第29页，讲稿共39张，创作于星期二第2节 结束第30页，讲稿共39张，创作于星期二第31页，讲稿共39张，创作于星期二第32页，讲稿共39张，创作于星期二第33页，讲稿共39张，创作于星期二第34页，讲稿共39张，创作于星期二第35页，讲稿共39张，创作于星期二第36页，讲稿共39张，创作于星期二第37页，讲稿共39张，创作于星期二第38页，讲稿共39张，创作于星期二感谢大家观看第39页，讲稿共39张，创作于星期二