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1、关于能量守恒定律(5)第1页，讲稿共63张，创作于星期三国际单位：焦耳（J）Nm 质点由质点由a a点沿曲线运动到点沿曲线运动到b b点的过程中，变力点的过程中，变力 所所作的功作的功 。元功：第2页，讲稿共63张，创作于星期三合力的功：结论：合力对质点所作的功等于每个分力对质点作合力对质点所作的功等于每个分力对质点作功之代数和功之代数和 。第3页，讲稿共63张，创作于星期三在直角坐标系在直角坐标系Oxyz中中 第4页，讲稿共63张，创作于星期三功率是反映作功快慢程度的物理量功率是反映作功快慢程度的物理量功率：单位时间内所作的功。单位时间内所作的功。平均功率：瞬时功率：瓦特（W）=（J/s）第
2、5页，讲稿共63张，创作于星期三例例1 1、设作用在质量为设作用在质量为2kg2kg的物体上的力的物体上的力F=6F=6t t N N。如果物。如果物体由静止出发沿直线运动，在头体由静止出发沿直线运动，在头2 2（s s）内这力作了多少功？）内这力作了多少功？解：两边积分：两边积分：第6页，讲稿共63张，创作于星期三2-4-2 动能和动能定理 动能：质点因有速度而具有的作功本领。质点因有速度而具有的作功本领。单位：（单位：（J J）设质点设质点mm在合力的作用下沿在合力的作用下沿曲线从曲线从a a点移动到点移动到b b点点元功：元功：1 1质点动能定理质点动能定理第7页，讲稿共63张，创作于星
3、期三总功：质点的动能定理：合力对质点所做的功等于质点动能的增量。合力对质点所做的功等于质点动能的增量。第8页，讲稿共63张，创作于星期三2 2质点系的动能定理质点系的动能定理 i i i i i i一个由一个由n n个质点组成的质点系，考察第个质点组成的质点系，考察第i i个质点。个质点。质点的动能定理：质点的动能定理：对系统内所有质点求和对系统内所有质点求和 第9页，讲稿共63张，创作于星期三 质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和内力作质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和内力作功之代数和。功之代数和。质点系的动能定理：内力做功可以改变系统的总动能。内力做功可以改变系统的总动能。值
4、得注意：第10页，讲稿共63张，创作于星期三例例2 2 如图所示，用质量为如图所示，用质量为MM的铁锤把质量为的铁锤把质量为m m 的钉子敲入的钉子敲入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。在铁锤敲打第一次时，能够把钉子敲入比。在铁锤敲打第一次时，能够把钉子敲入1cm1cm深，若深，若铁锤第二次敲钉子的速度情况与第一次完全相同，问第铁锤第二次敲钉子的速度情况与第一次完全相同，问第二次能把钉子敲入多深？二次能把钉子敲入多深？解解设铁锤敲打钉子前的设铁锤敲打钉子前的速度为速度为v v0 0，敲打后两者的共同速度敲打后两者的共同速度为为v
5、 v。第11页，讲稿共63张，创作于星期三铁锤第一次敲打时，克服阻力做功，设钉子所受阻力铁锤第一次敲打时，克服阻力做功，设钉子所受阻力大小为：大小为：由动能定理，由动能定理，有：有：设铁锤第二次敲打时能敲入的深度为设铁锤第二次敲打时能敲入的深度为S S ，则有，则有第12页，讲稿共63张，创作于星期三化简后化简后第二次能敲入的深度为：第二次能敲入的深度为：第13页，讲稿共63张，创作于星期三例例3 3：如：如 图，在光滑的水平地面上放着一辆小车，小车左图，在光滑的水平地面上放着一辆小车，小车左 端放端放着一只箱子，今用同样的水平恒力着一只箱子，今用同样的水平恒力F F拉箱子，使它由小车的左端拉
6、箱子，使它由小车的左端达到右端，一次小车固定，另一次小车没有固定，试以水平地达到右端，一次小车固定，另一次小车没有固定，试以水平地面为参照系，则下面的说法中正确的是：面为参照系，则下面的说法中正确的是：（1 1）、两次）、两次F F做的功相同；做的功相同；（2 2）、两次摩擦力对木箱做的功相同；）、两次摩擦力对木箱做的功相同；（3 3）、两次箱子获得的动能相同；）、两次箱子获得的动能相同；（4 4）、两次由于摩擦而产生的热量相同。）、两次由于摩擦而产生的热量相同。LF第14页，讲稿共63张，创作于星期三LFfFfxLM第15页，讲稿共63张，创作于星期三例例4 4：在光滑的水平桌面上在光滑的水
7、平桌面上，平放有如图所示的固定半圆屏障，平放有如图所示的固定半圆屏障，质量为质量为mm的滑块以初速度的滑块以初速度 V V0 0沿切线方向进入屏障，滑块与屏沿切线方向进入屏障，滑块与屏之间的摩擦系数为之间的摩擦系数为，试，试 证明当滑块从另一端滑出时，摩擦力证明当滑块从另一端滑出时，摩擦力作的功为作的功为解解由式（由式（1 1）代入上式得：）代入上式得：0 0Nf fS S俯俯视视图图第16页，讲稿共63张，创作于星期三NfS俯俯视视图图第17页，讲稿共63张，创作于星期三2-4-3 保守力与非保守力 势能（1 1）重力的功）重力的功初始位置初始位置末了位置末了位置第18页，讲稿共63张，创作
8、于星期三 重力做功仅取决于质点的始、末位置重力做功仅取决于质点的始、末位置z za a和和z zb b，与质点，与质点经过的具体路径无关。经过的具体路径无关。（2 2）万有引力作功万有引力作功 设质量为设质量为MM的质点固定，的质点固定，另一质量为另一质量为mm的质点在的质点在M M 的的引力场中从引力场中从a a点运动到点运动到b b点。点。c cMMa ab b第19页，讲稿共63张，创作于星期三 万有引力作功只与质点的始、末位置有关，而与具万有引力作功只与质点的始、末位置有关，而与具体路径无关。体路径无关。（3 3）弹性力的功）弹性力的功x2 2box1 1mxamF Fx x由虎克定律
9、：由虎克定律：第20页，讲稿共63张，创作于星期三 弹性力作功只与弹簧的起始和终了位置有关，而与弹性变弹性力作功只与弹簧的起始和终了位置有关，而与弹性变形的过程无关。形的过程无关。保守力：作功与路径无关，只与始末位置有关的力。作功与路径无关，只与始末位置有关的力。第21页，讲稿共63张，创作于星期三保守力的特点：保守力沿任何闭合路径作功等于零。保守力沿任何闭合路径作功等于零。证明：设保守力沿闭合路径设保守力沿闭合路径acbdaacbda作功作功abcd按保守力的特点：按保守力的特点：证毕第22页，讲稿共63张，创作于星期三4.5 4.5 物体系的势能物体系的势能(保守力系统）保守力系统）m1m
10、2m2m1态(a)态(b)r1r2第23页，讲稿共63张，创作于星期三一、定义一、定义：是一与系统状态对应的函数，叫态函数，是空间是一与系统状态对应的函数，叫态函数，是空间位置的函数，具有能量单位，位置的函数，具有能量单位，E EP P是与物体间的相是与物体间的相互作用力以及相对位置有关的能量，我们称之为互作用力以及相对位置有关的能量，我们称之为系统的势能。系统的势能。第24页，讲稿共63张，创作于星期三二、重力势能、弹性势能和引力势能二、重力势能、弹性势能和引力势能1、重力势能、重力势能 如图，选地球、如图，选地球、mm为系统，则为系统，则mm在在 a a点时，系统的势能为点时，系统的势能为
11、E Epapa,在在b b点点时，系统的势能为时，系统的势能为 E Epbpb,由定义可知，由定义可知，mm从从a a运动到运动到b b点时，重力做的功点时，重力做的功为：为：yx0yyaabb第25页，讲稿共63张，创作于星期三其中其中为任意常数为任意常数选选 y=o,Ep=0,y=o,Ep=0,则，则，p=mgyyx0yyaabb第26页，讲稿共63张，创作于星期三2、弹性势能、弹性势能选选 x=o,Ex=o,Ep p=0,=0,则，则，x弹簧弹簧自然长度自然长度x0mab第27页，讲稿共63张，创作于星期三km2V1V2m1x1EP1m2m1kx2EP2第28页，讲稿共63张，创作于星期
12、三3 3、引力势能、引力势能a太阳太阳Mbm选选 r=r=,E,Ep p=0,=0,则，则，第29页，讲稿共63张，创作于星期三说明：说明：（1 1）势能是一个系统的属性。）势能是一个系统的属性。势能的大小只有相对的意义，相对于势能的大小只有相对的意义，相对于势能的零点而言。势能的零点而言。（2 2）（3 3）势能的零点可以任意选取。）势能的零点可以任意选取。结论：结论：空间某点的势能空间某点的势能E Ep p在数值上等于质点从该点移在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力做的功。动到势能零点时保守力做的功。设空间设空间r r0 0点为势能的零点，则空间任意一点点为势能的零点，则空间任意一
13、点 r r的势能为：的势能为：第30页，讲稿共63张，创作于星期三保守力与势能的微分关系：因为：因为：所以：所以：第31页，讲稿共63张，创作于星期三保守力的矢量式：保守力沿各坐标方向的分量，在数值上等于系统的势保守力沿各坐标方向的分量，在数值上等于系统的势能沿相应方向的空间变化率的负值，其方向指向势能降能沿相应方向的空间变化率的负值，其方向指向势能降低的方向。低的方向。结论：如如第32页，讲稿共63张，创作于星期三例、某双原子分子的原子间的相互作用势能函数为例、某双原子分子的原子间的相互作用势能函数为其中其中A A、B B为常量，为常量，x x为两原子间的距离。试求原子的相互作力为两原子间的
14、距离。试求原子的相互作力的函数式及原子间相互作用力为零时的距离。的函数式及原子间相互作用力为零时的距离。解、原子间的相互作力的函数解、原子间的相互作力的函数第33页，讲稿共63张，创作于星期三例、假设地球为质量均匀分布的球体例、假设地球为质量均匀分布的球体,计算必须供给多少能计算必须供给多少能量才能把地球完全折散量才能把地球完全折散.解解:将地球作为一系列的球壳组成将地球作为一系列的球壳组成,其中半径为其中半径为r,r,厚度为厚度为drdr的的球壳具有的势能为球壳具有的势能为drdr把地球完全折散的能量把地球完全折散的能量M第34页，讲稿共63张，创作于星期三2-4-4 机械能守恒定律质点系的
15、动能定理：质点系的动能定理：其中其中第35页，讲稿共63张，创作于星期三机械能 质点系机械能的增量等于所有外力和所有非保守内质点系机械能的增量等于所有外力和所有非保守内力所作功的代数和。力所作功的代数和。质点系的功能原理如果如果，第36页，讲稿共63张，创作于星期三 例例5 5 设地球半径为设地球半径为R 。一质量为。一质量为m的物体，从静止开始的物体，从静止开始在距地面在距地面 R 处自由下落。处自由下落。求：它到达地球表面时的速度。求：它到达地球表面时的速度。解：解：=EpBEpA=GMmR2GMmR由机械能守恒定律：由机械能守恒定律：GMm2=+R0GM=vRGMmR221+mvMRRm
16、AB地球地球第37页，讲稿共63张，创作于星期三例例6 6：如图当的：如图当的 值为多大时，值为多大时，m2m2才能跳起？才能跳起？m2m1解：选解：选mm1 1、mm2 2地球、弹簧为系统，则系统的机械地球、弹簧为系统，则系统的机械能在态到态过程中守恒，选如图水平线能在态到态过程中守恒，选如图水平线o o1 1o o2 2 为势能水平面为势能水平面 为零势面。为零势面。mx0 x1x201o2（）m2（）m2m2第38页，讲稿共63张，创作于星期三又mx0 x1x201o2（）m2（）m2m2第39页，讲稿共63张，创作于星期三例例7 7：如图，：如图，mm1 1和和mm2 2之间只有万有引
17、力的作用，假设现有一力作用之间只有万有引力的作用，假设现有一力作用在上，使以在上，使以向右匀速运动，试求；（）、向右匀速运动，试求；（）、mm1 1、m m 2 2之间的之间的最大距离最大距离l lmaxmax;(2);(2)、从地面观察，当、从地面观察，当l l=l lmaxmax时，外力做的功是多少？时，外力做的功是多少？At=0mm1 1mml l0 0BFV V0 0(静止静止）解：选解：选B B为参照系，则为一惯性系，系统的机械能守恒为参照系，则为一惯性系，系统的机械能守恒第40页，讲稿共63张，创作于星期三（）、选地面为参照系，则当（）、选地面为参照系，则当mm1 1、mm2 2以
18、其同速度以其同速度 运动运动 时两者之时两者之间距离最大，运用功能原理，外力做的功为：间距离最大，运用功能原理，外力做的功为：mm1 1mml l0 0BFV V0 0V V0 0第41页，讲稿共63张，创作于星期三例例8 8：航天器绕地球表面运动所需的速度称为第一宇宙速度：航天器绕地球表面运动所需的速度称为第一宇宙速度，脱离地球所需的最小速度称为第二宇宙速度，脱离地球所需的最小速度称为第二宇宙速度，脱离太，脱离太阳系所需的速度称为第三宇宙速度阳系所需的速度称为第三宇宙速度，设地球的半径为，设地球的半径为 ，地球绕太阳公转的速度，地球绕太阳公转的速度 为为 ，试求，试求、。S SE ES第42
19、页，讲稿共63张，创作于星期三解：解：（）（）S SE ES S(1)第43页，讲稿共63张，创作于星期三（）、设脱离地球引力圈时，航天器的速度为（相对地面）（）、设脱离地球引力圈时，航天器的速度为（相对地面），此时不考虑太阳的引力，则：，此时不考虑太阳的引力，则：S SE ES S第44页，讲稿共63张，创作于星期三以太阳为参照以太阳为参照 系，近似认为航天器在地球相对太阳的轨道上出发系，近似认为航天器在地球相对太阳的轨道上出发继续运动，逃逸太阳系，则脱离太阳引力范围所需的速度继续运动，逃逸太阳系，则脱离太阳引力范围所需的速度 为为S SE ES S第45页，讲稿共63张，创作于星期三式中式
20、中r r0 0是地球到太阳的距离，为了充分利用地球公转速度，使航天器是地球到太阳的距离，为了充分利用地球公转速度，使航天器在脱离地球引力圈时，速度方向沿地球公转方向，这样航天器相对在脱离地球引力圈时，速度方向沿地球公转方向，这样航天器相对地球的速度应为地球的速度应为 42.1-29.8=12.3Km/s42.1-29.8=12.3Km/sS SE ES S第46页，讲稿共63张，创作于星期三例例9 9：一颗星体在引力作用下不断坍缩，当它的半径：一颗星体在引力作用下不断坍缩，当它的半径R R小于某一小于某一 值值R R0 0时，我们就再也看不到该时，我们就再也看不到该 星体星体 了，即星体上的任
21、何粒子（包括光子），了，即星体上的任何粒子（包括光子），均不逃离该星体，这样一个以均不逃离该星体，这样一个以R R0 0为半径的引力极大的球形区域就称为为半径的引力极大的球形区域就称为黑洞。若用牛黑洞。若用牛 顿引力理论估算顿引力理论估算R R0 0值与该星体质量值与该星体质量MM的关系，则的关系，则R R0 0是多是多少？少？解：光子的动能解：光子的动能 光子与星体构成系统的能量：光子与星体构成系统的能量：光子处于束缚态的条件为：光子处于束缚态的条件为：ZeZe-e-er rH H原子能量原子能量第47页，讲稿共63张，创作于星期三例例10.10.一长度为一长度为2l2l的均质链条，平衡地悬
22、挂在一光滑的均质链条，平衡地悬挂在一光滑圆柱形木钉上。若从静止开始而滑动，求当链条离开圆柱形木钉上。若从静止开始而滑动，求当链条离开木钉时的速率（木钉的直径可以忽略）木钉时的速率（木钉的直径可以忽略）解解设单位长度的质量为设单位长度的质量为始末两态的中心分别为始末两态的中心分别为c c和和cc机械能守恒：机械能守恒：解得解得第48页，讲稿共63张，创作于星期三一对力的功一对力的功 系统内力总是成对出现系统内力总是成对出现一对力所做的功，等于其中一对力所做的功，等于其中一个物体所受的力一个物体所受的力沿两个物沿两个物体相对移动的路径所做的体相对移动的路径所做的功。功。OOA A1 1A A2 2
23、第49页，讲稿共63张，创作于星期三例例、如图，在光滑的水平面上，有一质量为、如图，在光滑的水平面上，有一质量为 mmB B 的静止物的静止物体体B B，在，在B B上又有一质量为上又有一质量为mmA A的物体的物体 A A。今有一小球从左边射到。今有一小球从左边射到A A上并被弹上并被弹 回，于是回，于是 A A 以初速度以初速度 V VA A（相对水平面）开始向（相对水平面）开始向右运动。右运动。A A、B B间的摩擦系数为间的摩擦系数为 ,A,A慢慢带动慢慢带动 B B 运动，最后运动，最后A A和和 B B 以相同的速度一起运动，问以相同的速度一起运动，问 A A 从开始运动到相对于从
24、开始运动到相对于B B静止，在静止，在B B上移动了多少距离？上移动了多少距离？A AV VA AB B第50页，讲稿共63张，创作于星期三A AV VA AB B解：选解：选mmA A和和mmB B为系统，利用系统的动能定理为系统，利用系统的动能定理第51页，讲稿共63张，创作于星期三 例例 一轻弹簧一轻弹簧,其一端系其一端系在铅直放置的圆环的顶点在铅直放置的圆环的顶点P，另一端系一质量为另一端系一质量为m 的小球的小球,小球穿过圆环并在环上运动小球穿过圆环并在环上运动(=0)开始球静止于点开始球静止于点 A,弹簧处于自然状态，其长为弹簧处于自然状态，其长为环半径环半径R;当球运动到环的底端
25、点当球运动到环的底端点B时，球对环没有压力时，球对环没有压力求弹簧的劲度系数求弹簧的劲度系数第52页，讲稿共63张，创作于星期三 解解 以弹簧、小球和以弹簧、小球和地球为一系统地球为一系统只有保守内力做功只有保守内力做功系统系统即即又又所以所以取点取点B为重力势能零点为重力势能零点第53页，讲稿共63张，创作于星期三 例例1212如图，在一弯曲管中，如图，在一弯曲管中，稳流着不可压稳流着不可压缩的密度为缩的密度为 的流体的流体.pa=p1、Sa=A1,pb=p2,Sb=A2 ，求流体的压强求流体的压强 p 和速和速率率 v 之间的关系之间的关系第54页，讲稿共63张，创作于星期三 解解取如图所
26、示坐标，在取如图所示坐标，在 时间内时间内 、处流处流体分别移动体分别移动 、第55页，讲稿共63张，创作于星期三=常量常量第56页，讲稿共63张，创作于星期三若将流管放在水平面上，即若将流管放在水平面上，即常量常量 伯努利方程伯努利方程则有则有常量常量第57页，讲稿共63张，创作于星期三常量常量即即若若则则结论结论第58页，讲稿共63张，创作于星期三例：链条总长为例：链条总长为 L L，质量为，质量为 mm，初始时刻如图悬挂，链条与桌，初始时刻如图悬挂，链条与桌 面间的摩擦系数为面间的摩擦系数为 ，链条由静止开始运动，求：，链条由静止开始运动，求：（1 1）、链条离开桌边时，摩擦力作的功？）
27、、链条离开桌边时，摩擦力作的功？（2 2）、这时候链条的速度？）、这时候链条的速度？解解：把链条分把链条分 割成无限多的质元，则当割成无限多的质元，则当dmdm在桌面上移动的长度为在桌面上移动的长度为x x时，摩擦时，摩擦力作的功为力作的功为（1）、xdxL LaaX X第59页，讲稿共63张，创作于星期三例：链条总长为例：链条总长为 L L，质量为，质量为 mm，初始时刻如图悬挂，链条与桌，初始时刻如图悬挂，链条与桌 面间的摩擦系数为面间的摩擦系数为 ，链条由静止开始运动，求：，链条由静止开始运动，求：（1 1）、链条离开桌边时，摩擦力作的功？）、链条离开桌边时，摩擦力作的功？（2 2）、这
28、时候链条的速度？）、这时候链条的速度？(2)(2)由功能原理，选桌面为零势能面由功能原理，选桌面为零势能面xdxLaaX第60页，讲稿共63张，创作于星期三 例、已知半圆柱形光滑木凹槽，放在光滑桌面上，如图，例、已知半圆柱形光滑木凹槽，放在光滑桌面上，如图，求质点下滑至最低点时给木块的压力求质点下滑至最低点时给木块的压力.解解：设质点下滑至最低点时的速度为设质点下滑至最低点时的速度为V Vmm,凹槽的速度为凹槽的速度为V VMM机械能守恒，机械能守恒，m相对相对MM作圆周运动，作圆周运动，mm在最低点时，木槽加速度为在最低点时，木槽加速度为 0 0此时此时MM为为惯性系惯性系，以，以MM为参照
29、系，利用牛顿定律为参照系，利用牛顿定律联立求解各式可得联立求解各式可得xmMRNNmg水平方向动量守恒水平方向动量守恒第61页，讲稿共63张，创作于星期三例：质量为例：质量为mm的质点，在有心斥力场的质点，在有心斥力场 中运动，式中中运动，式中r r是是质点到力心的距离，为常数。当质点质点到力心的距离，为常数。当质点 离点很远时，质离点很远时，质点速度为点速度为 ，而其渐近线与点的垂直距离为，而其渐近线与点的垂直距离为 ，（瞄准距离），试求质点与（瞄准距离），试求质点与OO点的最近距离（如图所示）点的最近距离（如图所示）解：质点受的力通过解：质点受的力通过OO点，因此，质点在运动过程中受的力矩为零点，因此，质点在运动过程中受的力矩为零（对点），所以质点角动量守恒（对点），所以质点角动量守恒A A第62页，讲稿共63张，创作于星期三感谢大家观看第63页，讲稿共63张，创作于星期三