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1、经济数学极限的性质与运算法则现在学习的是第1页，共29页一一、极极限限的的性性质质定定理理1 1（唯唯一一性性）若若极极限限定理定理2（有界性）若极限（有界性）若极限 存在，则函数存在，则函数 在在 某个空心某个空心 邻域内有界。邻域内有界。定理定理3（保号性）若（保号性）若 ，则在则在 的的 某空心邻域内恒有某空心邻域内恒有 。若若 且在且在 的某空心邻域内恒有的某空心邻域内恒有 则则 一一.极限的性质与四则运算法则极限的性质与四则运算法则 存在，则极限值唯一。存在，则极限值唯一。现在学习的是第2页，共29页ESC 一一.极限的性质与四则运算法则极限的性质与四则运算法则 二、设二、设 ,则则
2、 .(1)代数和的极限代数和的极限 存在存在,且且(2)乘积的极限乘积的极限 存在存在,且且.特别地特别地,有有(i)常数因子常数因子 可提到极限符号的前面可提到极限符号的前面,即即(ii)若若 是正整数是正整数,有有.二、极限的四则二、极限的四则运算法则运算法则现在学习的是第3页，共29页ESC设设 ,则则 (3)若若 ,商的极限商的极限 存在存在,且且.要注意极限的四则运算要注意极限的四则运算 法则使用的前提条件！法则使用的前提条件！一一.极限的性质与四则运算法则极限的性质与四则运算法则 现在学习的是第4页，共29页ESC和的极限和的极限 =极限的和极限的和求求例例1.解解 由极限的四则运
3、算法则由极限的四则运算法则 原式原式 常数因子可提到常数因子可提到极限符号之前极限符号之前.由该题计算结果知，对多项式由该题计算结果知，对多项式有有,一一.极限的性质与四则运算法则极限的性质与四则运算法则 现在学习的是第5页，共29页ESC不能直接用极限不能直接用极限的四则运算法则的四则运算法则解解 显然显然,分子与分母的极限都是分子与分母的极限都是0.原式原式 求求例例2应将分子分母分解应将分子分母分解因式因式,约去极限为约去极限为0的公因子的公因子商的极限商的极限 =极限的商极限的商 一一.极限的性质与四则运算法则极限的性质与四则运算法则 现在学习的是第6页，共29页例例3 3求求解解：当
4、当 时，分子分母都是无穷大，不能直接利用时，分子分母都是无穷大，不能直接利用商的极限运算法则，此时可将分子分母同时除以商的极限运算法则，此时可将分子分母同时除以 得到得到分子分母同时除分子分母同时除以分母的最高次以分母的最高次项项 一一.极限的性质与四则运算法则极限的性质与四则运算法则 现在学习的是第7页，共29页例例4 4 求求解解：当当 时，分子分母都是无穷大，不能直接利用商时，分子分母都是无穷大，不能直接利用商的极限运算法则，此时可将分子分母同时除以的极限运算法则，此时可将分子分母同时除以 得到得到分子分母同时除分子分母同时除以分母的最高次以分母的最高次项项 一一.极限的性质与四则运算法
5、则极限的性质与四则运算法则 现在学习的是第8页，共29页一般地，当一般地，当 时，有理分式（时，有理分式（）的极限有以下结果：的极限有以下结果：练习：求下列极限练习：求下列极限 一一.极限的性质与四则运算法则极限的性质与四则运算法则 ，现在学习的是第9页，共29页ESC 一一.极限的性质与四则运算法则极限的性质与四则运算法则 解解 原式原式例例6 6解：原式解：原式 例例5 5 求求 现在学习的是第10页，共29页ESC 一一.极限的性质与四则运算法则极限的性质与四则运算法则 例例7 7解：解：原式原式练习：求下列极限练习：求下列极限现在学习的是第11页，共29页ESC 一一.极限的性质与四则
6、运算法则极限的性质与四则运算法则 答案：答案：现在学习的是第12页，共29页ESC 二二.无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量 定义定义1.51.5若函数在自变量若函数在自变量 的某个变化过程的某个变化过程 中以零为极限，则称在该变化过程中中以零为极限，则称在该变化过程中,为为无穷小量无穷小量简称简称无穷小无穷小例如，当例如，当 时，是时，是无穷小量；当时，是无穷小量；无穷小量；当时，是无穷小量；当时，是无穷小量当时，是无穷小量现在学习的是第13页，共29页 ESC我们经常用希腊字母，来表示无我们经常用希腊字母，来表示无穷小量穷小量定理定理4 4 函数函数 以以 为极限的充分为极限的充分必要条
7、件是：可以表示为与一个无穷小必要条件是：可以表示为与一个无穷小量之和即量之和即其中其中 二二.无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量 现在学习的是第14页，共29页ESC 二二.无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量 定义定义1.61.6 若在自变量若在自变量 的某个变化过程的某个变化过程程中程中,函数函数 是无穷小量是无穷小量,即即 ，则称在该变化过程中，则称在该变化过程中，为为无穷大量无穷大量，简称，简称无穷大无穷大，记作，记作现在学习的是第15页，共29页ESC 二二.无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量 例如，当时，是无穷大量；当例如，当时，是无穷大量；当时，是无穷大量；当时，是无穷大量；
8、当时，是无穷大量时，是无穷大量当当 时，是无穷小量，而时，是无穷小量，而是无穷大量；当时，是无穷大量，是无穷大量；当时，是无穷大量，而是无穷小量这说明无穷小量和无而是无穷小量这说明无穷小量和无穷大量存在倒数关系穷大量存在倒数关系现在学习的是第16页，共29页ESC 二二.无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量 例例8 8求求解解 先求分母的极限先求分母的极限,先考虑原来函数倒数的极限先考虑原来函数倒数的极限.现在学习的是第17页，共29页ESC 二二.无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量 即是时的无穷小由无穷即是时的无穷小由无穷小量与无穷大量的倒数关系，得到小量与无穷大量的倒数关系，得到现在学习
9、的是第18页，共29页ESC 三三.无穷小量的性质无穷小量的性质 性质性质1 1.1 1有限个无穷小量的代数和仍然是无穷有限个无穷小量的代数和仍然是无穷小量小量性质性质1 1.2 2有界变量乘无穷小量仍是无穷小有界变量乘无穷小量仍是无穷小量量性质性质1 1.3 3常数乘无穷小量仍是无穷小量常数乘无穷小量仍是无穷小量性质性质1 1.4 4无穷小量乘无穷小量仍是无穷小量无穷小量乘无穷小量仍是无穷小量现在学习的是第19页，共29页ESC例例7 7求求解解因为，所以是有界变因为，所以是有界变量；量；根据性质根据性质1.21.2，乘积是无穷小量即，乘积是无穷小量即 三三.无穷小量的性质无穷小量的性质 现
10、在学习的是第20页，共29页ESC 四四.无穷小量的比较无穷小量的比较 我们记，它们我们记，它们都是都是 时的无穷小量但时的无穷小量但，现在学习的是第21页，共29页ESC，趋于零的情况，趋于零的情况1 10 100 1 000 10 0001 10 100 1 000 10 000 1 0.1 0.01 0.001 0.000 11 0.1 0.01 0.001 0.000 1 2 0.2 0.02 0.002 0.000 22 0.2 0.02 0.002 0.000 21 0.01 0.000 1 0.000 001 0.000 000 011 0.01 0.000 1 0.000 00
11、1 0.000 000 01 四四.无穷小量的比较无穷小量的比较 现在学习的是第22页，共29页ESC定义定义1.71.7 设、是同一变化过程中设、是同一变化过程中的两个无穷小量，的两个无穷小量，(1)(1)若若,则称是比则称是比高阶的高阶的无穷小量无穷小量也称是比也称是比低阶的无穷小量低阶的无穷小量(2)(2)若若(是不等于零的常数是不等于零的常数)，则称与是则称与是同阶无穷小量同阶无穷小量若，则称若，则称与是与是等价无穷小量等价无穷小量记为记为 。四四.无穷小量的比较无穷小量的比较 现在学习的是第23页，共29页ESC思考思考：1.当当 时时 ，相比哪一个是高阶无穷小？相比哪一个是高阶无穷
12、小？2、当、当 时，无穷小时，无穷小 是否同阶？是否等价？是否同阶？是否等价？3.下列变量，在下列变量，在 趋于何值时是无穷小？趋于何值时是无穷小？在在 趋于何值时是无穷大？趋于何值时是无穷大？四四.无穷小量的比较无穷小量的比较 现在学习的是第24页，共29页ESC 内容小结内容小结 1.极限四则运算法则（注意使用条件）极限四则运算法则（注意使用条件）2.求函数极限的方法求函数极限的方法分式函数极限求法分式函数极限求法时时,用代入法用代入法(分母不为分母不为 0)时时,对对型型,约去零因子约去零因子时时,对对 型，分子分母同除以型，分子分母同除以分母的最高次幂分母的最高次幂现在学习的是第25页
13、，共29页ESC 内容小结内容小结 （3）无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量的关系3.无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量（2）无穷小量的性质无穷小量的性质（1）无穷小量与无穷大量的定义无穷小量与无穷大量的定义4.无穷小量的比较无穷小量的比较现在学习的是第26页，共29页ESC 课堂练习课堂练习1.求下列函数的极限求下列函数的极限2.指出下列变量，当指出下列变量，当 时是无穷小时是无穷小：3.指出下列变量，当指出下列变量，当 时是无穷大：时是无穷大：现在学习的是第27页，共29页ESC 课堂练习课堂练习答案：答案：现在学习的是第28页，共29页P P1 17 7 习习题题1 1.2 2 1 1（2 2）(3 3)（4 4）(6 6)(7 7)(8 8)ESC 布置作业布置作业2.(2)(3)(4)(7)2.(2)(3)(4)(7)现在学习的是第29页，共29页