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1、第5章 线性变换及其特征线性方程组Ax=b，可以从三个不同的角度进行讨论，可以从三个不同的角度进行讨论。1.已知A和b求x，解的方法是以A的行变换进行方程消元，通过高斯消元法得到行最简形矩阵，这是第一、二两章讨论的方法；2.第四章把A看作列向量组，把Ax看作列向量的线性组合，研究其和是否能等于向量b。用这个方法讨论了向量的线性相关性，证明了超定方程的最小二乘解。3.这一章则把A看作一个变换，把x域中的图形或向量变换到b域(y域)中，要研究的是变换前后图形会有何种变化。5.1 平面上线性变换的几何意义设设V及及U都是都是2维维向量空间，向量空间，U=T(V)为为v到到u的变换。若的变换。若v是输
2、入数据矩阵，是输入数据矩阵，u是输出矩阵，是输出矩阵，A A为为22变换矩阵，变换矩阵，则则u=A A*v就执行了把就执行了把v平面的向量组变成平面的向量组变成u平面向量组平面向量组的线性变换。在线性变换时，直线变换后仍为直线，的线性变换。在线性变换时，直线变换后仍为直线，各点间的比例关系不变，如下图。图中各点间的比例关系不变，如下图。图中v v指变换前的点，指变换前的点，u=T(v)T(v)指变换后的点。指变换后的点。变换y=Ax对向量的作用把变换矩阵看做两个二维列向量的组合把变换矩阵看做两个二维列向量的组合A=A=1 1,2 2，1 1,2 2称作此变换的基向量，则称作此变换的基向量，则
3、的基向量为的基向量为对于对于x域中任意点域中任意点 ,相乘表示两个基向量的线性组合：相乘表示两个基向量的线性组合：也就是把原来笛卡尔坐标中每单位横坐标变成了向量也就是把原来笛卡尔坐标中每单位横坐标变成了向量1 1,每每单位纵坐标变成了向量单位纵坐标变成了向量2。任意点坐标。任意点坐标(a,b)T与它们的乘积与它们的乘积成为该点在新坐标系中的位置。例如对于组成单位方块的成为该点在新坐标系中的位置。例如对于组成单位方块的x不同的矩阵A产生的变换结果 例例5.1 5.1 设设 为为顶点顶点在在(0,0),(1,0),(1,1),(0,0),(1,0),(1,1),(0,10,1)的的单位方块。把不同
4、矩阵单位方块。把不同矩阵A A左乘此组左乘此组2 255数据矩阵数据矩阵，其生成，其生成的图形都表示在下图上。这些矩阵的基向量都标成红色的图形都表示在下图上。这些矩阵的基向量都标成红色箭头箭头平面线性变换产生的图形示例用用pla501pla501来完成计算和绘图，其核心语句如下。来完成计算和绘图，其核心语句如下。x=0,1,1,0 x=0,1,1,0,0;0,0,1,1;0,0,1,1,0;subplot(2,3,1),;subplot(2,3,1),fill(x(1,:),0,x(2,:),0,r)fill(x(1,:),0,x(2,:),0,r)A1=-1,0;0,1,y1=A1*x,su
5、bplot(2,3,2),A1=-1,0;0,1,y1=A1*x,subplot(2,3,2),运行程序可以得到前面列出的运行程序可以得到前面列出的y1y5y1y5的值的值,它们它们都用都用2525的矩阵表示，其所示的图形。矩阵的矩阵表示，其所示的图形。矩阵A1A1使原图对纵轴生成镜像（反射），矩阵使原图对纵轴生成镜像（反射），矩阵A2A2使原使原图在横轴方向膨胀，矩阵图在横轴方向膨胀，矩阵A3A3使原图在纵轴方向使原图在纵轴方向压缩，矩阵压缩，矩阵A4A4使原图向右上方剪切变形，矩阵使原图向右上方剪切变形，矩阵A5A5使原图沿反时针方向旋转使原图沿反时针方向旋转t=pi/6t=pi/6。不同
6、变换矩阵A=1,2生成的图形变换矩阵的行列式的意义求出五个变换矩阵的行列式求出五个变换矩阵的行列式,其结果如下：其结果如下：det(A1)=-1,det(A2)=1.5,det(A3)=0.5,det(A4)=1,det(A5)=1.对二维空间（平面），行列式的几何意义是两个基向量所构对二维空间（平面），行列式的几何意义是两个基向量所构成的平行四边形的面积。一个变换的行列式作用于某图形所成的平行四边形的面积。一个变换的行列式作用于某图形所造成的新图形的面积变化倍数，等于该变换的行列式。造成的新图形的面积变化倍数，等于该变换的行列式。可以看出，可以看出，A1,A4A1,A4和和A5A5的行列式绝
7、对值都是一，所以变换后的行列式绝对值都是一，所以变换后图形的面积不会发生改变。而图形的面积不会发生改变。而A2A2和和A3A3的行列式分别为的行列式分别为1.51.5和和0.50.5，变换后图形面积的增加和减小倍数恰好于这两个值相，变换后图形面积的增加和减小倍数恰好于这两个值相对应。对应。变换矩阵对图形的影响还可从特征值和特征向量来研究。变换矩阵对图形的影响还可从特征值和特征向量来研究。下一讲 5.2 线性变换与形变图形的形变与旋转线性变换对图形的作用可以从其基向量看出。线性变换对图形的作用可以从其基向量看出。A1A4都是形状变化，都是形状变化，A5则是旋转。这些变换，还可以互相则是旋转。这些
8、变换，还可以互相连接，表现变换矩阵的相乘。在实际工程中有广泛的应连接，表现变换矩阵的相乘。在实际工程中有广泛的应用价值。比如先后进行两次转动，每次转角分别为用价值。比如先后进行两次转动，每次转角分别为和和，则两次线性变换矩阵的连乘积为：，则两次线性变换矩阵的连乘积为：其结果与转动角度之和的变换相同。其结果与转动角度之和的变换相同。要注意一般情况下，矩阵乘法不遵守交换律，要注意一般情况下，矩阵乘法不遵守交换律，A2*A5 A5*A2，所以必须非常注意变换的先后次序。，所以必须非常注意变换的先后次序。正体字母变换为斜体字母例5.2 数据矩阵为字符N图形的各个节点,(1)用plot语句在子图1中画出
9、其形状；(2)取A=1,0.25;0,1作为变换矩阵对x进行变换,并画出y=Ax的图形；(3)对结果进行讨论。程序pla502及其运行结果x0=0,0.5,0.5,6,6,5.5,5.5,0;0,0,6.42,0,8,8,1.x0=0,0.5,0.5,6,6,5.5,5.5,0;0,0,6.42,0,8,8,1.58,8;58,8;x=x0,x0(:,1);%x=x0,x0(:,1);%把首顶点坐标补到末顶点之后把首顶点坐标补到末顶点之后A=1,0.25;0,1;y=A*x;A=1,0.25;0,1;y=A*x;subplot(1,2,1),plot(x(1,:),x(2,:)subplot(
10、1,2,1),plot(x(1,:),x(2,:)subplot(1,2,2),plot(y(1,:),y(2,:)subplot(1,2,2),plot(y(1,:),y(2,:)生成的图形见图生成的图形见图5-45-4。这个例子说明在设计计算机字。这个例子说明在设计计算机字库时，斜体字库可以不必单独建立，只要对正体字库库时，斜体字库可以不必单独建立，只要对正体字库进行适当的线性变换，就可以实现斜体字，用这个方进行适当的线性变换，就可以实现斜体字，用这个方法可以节约大量的人力，并可节约存储量。法可以节约大量的人力，并可节约存储量。这个矩阵可根据第一基向量不变，第二基向量变成这个矩阵可根据第一
11、基向量不变，第二基向量变成右斜线的思路构想出来：即右斜线的思路构想出来：即 1=1;0,2=0.5;1,5.2.2 非同维线性变换的用途非同维线性变换的用途这里所实现的还只是同维空间（平面这里所实现的还只是同维空间（平面平面）之间的平面）之间的变换，实际上还有不同维空间之间的变换。比如用变换，实际上还有不同维空间之间的变换。比如用1212的的变换矩阵变换矩阵A=1 0左乘数据矩阵左乘数据矩阵x x，将得到，将得到y=Ax=0,1,1,0y=Ax=0,1,1,0。此时原二维向量此时原二维向量x x被变换为一维的新向量被变换为一维的新向量y y。它的实质是把。它的实质是把原方格图形投影到横坐标轴上
12、。四个顶点变换（投影）为原方格图形投影到横坐标轴上。四个顶点变换（投影）为横坐标上的两个点横坐标上的两个点0 0和和1 1。把三维的物体图投影到两维平面具有更广泛的用途，最把三维的物体图投影到两维平面具有更广泛的用途，最直接的就是三维动漫技术。直接的就是三维动漫技术。三维到二维投影的另一个最新用途则是三维到二维投影的另一个最新用途则是3D3D打印技术，它打印技术，它把由计算机辅助设计把由计算机辅助设计(CAD)(CAD)生成的立体模型图纸，细密地生成的立体模型图纸，细密地分层截取它的截面形状，这就需要分层截取它的截面形状，这就需要2323维的变换矩阵。然维的变换矩阵。然后一层一层地打印粘叠起来
13、，恢复复杂的三维原型。后一层一层地打印粘叠起来，恢复复杂的三维原型。把二维变换为三维向量的用途把二维变换为三维向量的用途反过来，把二维向量变换为三维向量，即反过来，把二维向量变换为三维向量，即把平面上的向量换成为空间向量，在某些情把平面上的向量换成为空间向量，在某些情况下是很有用的。比如刚体在平面上的运动况下是很有用的。比如刚体在平面上的运动要用两个平移和一个转动来描述，转动可以要用两个平移和一个转动来描述，转动可以从上面的线性变换从上面的线性变换A5A5得到，但平移却不是一得到，但平移却不是一个线性变换。要完全用矩阵乘法来描述刚体个线性变换。要完全用矩阵乘法来描述刚体的运动，就要刚体位置的描
14、述增加一维，采的运动，就要刚体位置的描述增加一维，采用下节介绍的用下节介绍的“齐次坐标系齐次坐标系”。下一讲 线性变换与物体位移5.2.3 用线性变换描述刚体的运动用线性变换描述刚体的运动 前面所研究的矩阵和向量的算法，都是在向量空间内有效的。前面所研究的矩阵和向量的算法，都是在向量空间内有效的。所谓向量空间所谓向量空间V V，要求其所属的向量对加法和数乘满足封闭性：，要求其所属的向量对加法和数乘满足封闭性：即：即：若若a,ba,b V,V,则则a+b a+b V,V,若若a a V V,则则ka ka V,V,其中其中k k为任意实数。为任意实数。但刚体的平移不满足这个条件。因为：但刚体的平
15、移不满足这个条件。因为：设设 ya=xa+c ya=xa+c；yb=xb+cyb=xb+c；则它们的和为；则它们的和为 y=ya+yb=xa+xb+2cx+cy=ya+yb=xa+xb+2cx+c，可见它对加法不封闭；可见它对加法不封闭；、设、设 ya=xa+c ya=xa+c；将它乘以常数；将它乘以常数k k，有，有 y=ky=k*ya=k(xa+c)=kya=k(xa+c)=k*xa+kxa+k*cx+ccx+c，可见它对乘法也不封闭；，可见它对乘法也不封闭；就是说，平移不符合线性变换的规则，无法用矩阵乘法来实就是说，平移不符合线性变换的规则，无法用矩阵乘法来实现平移变换现平移变换y=x+
16、cy=x+c。人们发现，如把平面问题映射到三维空间来建立方程，这个人们发现，如把平面问题映射到三维空间来建立方程，这个问题却可以得到解决。问题却可以得到解决。齐次坐标系中的平移矩阵把原来通过原点的平面沿垂直方向提高一个单位，把原来通过原点的平面沿垂直方向提高一个单位，与原平面保持平行，把原来的二维的与原平面保持平行，把原来的二维的x x用三维向量来用三维向量来表示。这样的坐标系称为齐次坐标系表示。这样的坐标系称为齐次坐标系(Homogeneous(Homogeneous coordinate)coordinate)。可以把向量。可以把向量x x和平移矩阵和平移矩阵M M写成：写成：于是有于是有
17、可见三维齐次坐标中的前两个分量实现了平移运算的可见三维齐次坐标中的前两个分量实现了平移运算的要求。要求。齐次坐标系中的旋转矩阵对象若同时有旋转和平移，可以分别列出旋转矩阵和平移对象若同时有旋转和平移，可以分别列出旋转矩阵和平移矩阵。不过此时的旋转矩阵也要改为矩阵。不过此时的旋转矩阵也要改为3333维，这可以把上述维，这可以把上述A5A5中增加第三行和第三列，置中增加第三行和第三列，置A(3,3)=1A(3,3)=1，其余新增元素为零。，其余新增元素为零。把平移矩阵把平移矩阵M M左乘旋转矩阵左乘旋转矩阵A5A5就得到既包括平移，又包括转就得到既包括平移，又包括转动的平面齐次坐标系的变换矩阵。动
18、的平面齐次坐标系的变换矩阵。要注意变换矩阵的相乘次序是不符合交换律的。要注意变换矩阵的相乘次序是不符合交换律的。三角形平移和转动的示例例5.3 设一个三角形的三个顶点坐标为(-1,1),(1,1),(0,2)，今要使它旋转90度，右移3，上移4，试设计变换矩阵A，并画出变换前后的图形。平移和转动的程序pla503解：先列出数据矩阵，为了画图方便，把第一点的数据解：先列出数据矩阵，为了画图方便，把第一点的数据补到最后，构成补到最后，构成2424数据阵。根据前面的论述，有平移数据阵。根据前面的论述，有平移要求时，必须采用齐次坐标系，因此数据矩阵应该是要求时，必须采用齐次坐标系，因此数据矩阵应该是3
19、 3行行的，即最后要补一个全幺行。平移和转动矩阵按上面的的，即最后要补一个全幺行。平移和转动矩阵按上面的方法确定：方法确定：程序程序pla503pla503核心语句如下：核心语句如下：x=-1,1,0,-1;1,1,2,1;ones(1,4)%x=-1,1,0,-1;1,1,2,1;ones(1,4)%平面坐标改为齐平面坐标改为齐次坐标次坐标M=1,0,4;0,1,3;0,0,1,%M=1,0,4;0,1,3;0,0,1,%齐次坐标系中的移位矩阵齐次坐标系中的移位矩阵t=pi/2,R=cos(t),-sin(t),0;sin(t),cos(t),0;0,0,1 t=pi/2,R=cos(t),
20、-sin(t),0;sin(t),cos(t),0;0,0,1%转动矩阵转动矩阵y1=R*x,pausey1=R*x,pause%求出转动后图形参数求出转动后图形参数y2=M*R*x,pause%y2=M*R*x,pause%求出两次变换后图形参数求出两次变换后图形参数程序pla503的运行结果程序运行结果是：程序运行结果是：得出的图形见图得出的图形见图5-55-5。Y1Y1对应的图形是红色的，对应的图形是红色的，Y2Y2对应的图形是红色的，矩阵的相乘不符合交换律，对应的图形是红色的，矩阵的相乘不符合交换律，所以线性变换也不遵守交换律。本例取的是先转动所以线性变换也不遵守交换律。本例取的是先转
21、动（绕原点）后平移，也即先用（绕原点）后平移，也即先用R R左乘，再用左乘，再用M M左乘。左乘。如果换了次序，先平移再转动，即把如果换了次序，先平移再转动，即把R R和和M M作用次作用次序交换一下，结果就完全不同了。序交换一下，结果就完全不同了。下一讲 基向量与坐标值5.2.4 基向量改变后坐标值的变化坐标系的变化就是指的基向量变化，对于空间的坐标系的变化就是指的基向量变化，对于空间的固定点或形状不变的刚体，因为基向量变了，其坐固定点或形状不变的刚体，因为基向量变了，其坐标值也必然变化。这可以看做例标值也必然变化。这可以看做例5.15.1的逆过程，在的逆过程，在例例5.15.1的的y=Ax
22、y=Ax中，假定坐标值中，假定坐标值x x不变，改变基向量不变，改变基向量A A，向量，向量y y就发生变化，那是知道就发生变化，那是知道x x求求y y。反过来，知。反过来，知道道y y，也可以求，也可以求x x。工程上往往要研究一个工件在测量仪上测出的数工程上往往要研究一个工件在测量仪上测出的数据与据与CADCAD图纸上的数据如何转换。因为图纸是按照图纸上的数据如何转换。因为图纸是按照工件自身的基准生成的，而三坐标测量仪的数据则工件自身的基准生成的，而三坐标测量仪的数据则是按夹持器为基准，要拿两者进行比较，必须进行是按夹持器为基准，要拿两者进行比较，必须进行坐标转换。坐标转换。基向量改变后
23、坐标的变化用例用例5.15.1的数据来分析。取原始直角坐标系中的向量的数据来分析。取原始直角坐标系中的向量y=1,1y=1,1T T为对为对象，当把基向量换成象，当把基向量换成A1A5A1A5后，这个向量在各新坐标系中的坐标值后，这个向量在各新坐标系中的坐标值是多少呢？解就是是多少呢？解就是x=Ax=A-1-1y y，在程序，在程序pla501pla501执行之后，再键入以下执行之后，再键入以下MATLABMATLAB语句：语句：x1=inv(A1)*1;1,x2=inv(A2)*1;1,x1=inv(A1)*1;1,x2=inv(A2)*1;1,x3=inv(A3)*1;1,x4=inv(A
24、4)*1;1,x5=inv(A5)*1;1,x3=inv(A3)*1;1,x4=inv(A4)*1;1,x5=inv(A5)*1;1,运行结果是：运行结果是：前面几项对照图形就可看出了，只把前面几项对照图形就可看出了，只把y5y5列出一个算式，列出一个算式，故向量故向量1,11,1T T在新坐标系中的坐标值为（在新坐标系中的坐标值为（1.366,0.3661.366,0.366），此结果），此结果的正确性不难从图的正确性不难从图5-25-2上看出。上看出。点y=1,1在各基坐标中的值坐标变换时的过渡矩阵设线性空间设线性空间R R3 3中的两组基向量中的两组基向量u1,u2,u3u1,u2,u3
25、，v1,v2,v3,v1,v2,v3,其中其中每每项都是项都是3 3维列向量，它们在固定坐标系中的维列向量，它们在固定坐标系中的3 3个分量都是已知的，个分量都是已知的，因此因此u u和和v v都可表为都可表为3333矩阵。如果矩阵。如果R3R3中的一个向量中的一个向量w w在以在以u u为为基的坐标系内的坐标为基的坐标系内的坐标为c c（311数组），在以数组），在以v v为基的坐标系内为基的坐标系内的坐标为的坐标为d d(311数组数组)，它们在固定坐标系内的坐标应分别，它们在固定坐标系内的坐标应分别为为u*cu*c和和v*dv*d，这两者应该相等。，这两者应该相等。u*c=v*d u*c
26、=v*d 基坐标变换就是已知基坐标变换就是已知c c，求，求d d。将。将(5.2.7)(5.2.7)左右均左乘以左右均左乘以inv(v)inv(v)坐标变换矩阵坐标变换矩阵P(uv)P(uv)称为过渡矩阵，可由基向量称为过渡矩阵，可由基向量u,vu,v求得：求得：P=v u P=v u=inv(v)*u (5.2.9)(5.2.9)当当u u是笛卡尔坐标时，是笛卡尔坐标时，u=Iu=I3 3(平面是平面是I2)，P=vIP=vI3 3=inv(=inv(v)，也就是，也就是例例5.15.1中用到的中用到的inv(A1),inv(A5)inv(A1),inv(A5)，。，。例5.4基向量对坐标
27、的影响图中原来的基向量为笛卡尔坐标图中原来的基向量为笛卡尔坐标e1=1,0e1=1,0T T,e2=0,1,e2=0,1T T，则，则x x的的坐标为坐标为x=1,6x=1,6T T，若改用新基向量，若改用新基向量b1=1,0b1=1,0T T,b2=1,2,b2=1,2T T ，求原来的向量求原来的向量x x在新基向量下的坐标在新基向量下的坐标d d。解：因为原基向量组为解：因为原基向量组为 新基向量组为新基向量组为 ，b=1,1;0,2;b=1,1;0,2;e=1,0;0,1;e=1,0;0,1;x=1;6;x=1;6;d=inv(b)*e*xd=inv(b)*e*x，运行运行结果为结果为
28、:d=-2;3:d=-2;3，即，即 下一讲 正交坐标系5.3 正交坐标系正交坐标系构成坐标系的基向量必须是线性无关的，这只是必要条件，工构成坐标系的基向量必须是线性无关的，这只是必要条件，工程上通常还要求这些基向量相互正交，且长度相同。因为在正程上通常还要求这些基向量相互正交，且长度相同。因为在正交坐标系中进行计算，可以避免各个数据分量之间的交叉影响，交坐标系中进行计算，可以避免各个数据分量之间的交叉影响，并保证在整个向量空间计算精度的一致性。特别是在坐标变换并保证在整个向量空间计算精度的一致性。特别是在坐标变换时，不会造成数据对象形状的扭曲，对于刚体这尤其重要。时，不会造成数据对象形状的扭
29、曲，对于刚体这尤其重要。相互都正交的向量组称为正交向量组。由单位向量组成的正交相互都正交的向量组称为正交向量组。由单位向量组成的正交向量组称为规范（标准）正交向量组。以三维为例，设向量组称为规范（标准）正交向量组。以三维为例，设1 1,2 2,3 3为正交向量组，其规范向量组：为正交向量组，其规范向量组：（5.3.15.3.1）在正交条件下有：在正交条件下有：（5.3.25.3.2）故有：故有：正交坐标系正交坐标系对规范正交向量组，必有对规范正交向量组，必有 。这是检验规范正。这是检验规范正交组的方法。由此推论，正交向量组交组的方法。由此推论，正交向量组 必定线性无关。必定线性无关。也即向量组
30、正交的要求比线性无关的要求更为严格。不难推想，也即向量组正交的要求比线性无关的要求更为严格。不难推想，n n维规范向量组的正交条件为维规范向量组的正交条件为 。把例把例5.15.1中的各二维矩阵看作两个向量组成的向量组，由于其中的各二维矩阵看作两个向量组成的向量组，由于其行列式都不等于零，显然都是线性无关的。用行列式都不等于零，显然都是线性无关的。用MATLABMATLAB语句语句X=A*A/norm(A)2X=A*A/norm(A)2对它们进行规范正交性检验，只有对它们进行规范正交性检验，只有A1,A5A1,A5两两种情况的种情况的X=I2X=I2，满足规范正交条件，满足规范正交条件，A2,
31、A3A2,A3和和A4A4都不符合。从都不符合。从变换后的图形看出，经变换后的图形看出，经A1,A5A1,A5变换以后，原始图形仍保持正方变换以后，原始图形仍保持正方形不变，只是位置和方向有变化，这符合一切几何形状为刚体形不变，只是位置和方向有变化，这符合一切几何形状为刚体的描述要求，也是正交变换得到广泛应用的主要原因之一。的描述要求，也是正交变换得到广泛应用的主要原因之一。工程中的正交坐标系工程中的正交坐标系 在研究几何空间任何对象形状和运动时，必须建立坐标系。在研究几何空间任何对象形状和运动时，必须建立坐标系。通常首先要有一个固定坐标系，它是我们观察和测量运动的基础，通常首先要有一个固定坐
32、标系，它是我们观察和测量运动的基础，在大多数情况下采用地面坐标系。在大多数情况下采用地面坐标系。在所研究的对象上，通常要设定另一个坐标系。比如研究飞在所研究的对象上，通常要设定另一个坐标系。比如研究飞机、汽车、船舶、机、汽车、船舶、等运动物体时，就要在这些载体上建立坐标等运动物体时，就要在这些载体上建立坐标系；在研究机床、测量仪、机械手、系；在研究机床、测量仪、机械手、等部分可动的设备时，等部分可动的设备时，也要在其运动终端上建立坐标系。也要在其运动终端上建立坐标系。此外还往往需要一些中间坐标系，例如航母坐标系是舰载机此外还往往需要一些中间坐标系，例如航母坐标系是舰载机与地面坐标的中间坐标系，
33、机械臂坐标系是夹持端与固定基座的与地面坐标的中间坐标系，机械臂坐标系是夹持端与固定基座的中间坐标系等。这些坐标系之间相互转换，都要利用线性代数的中间坐标系等。这些坐标系之间相互转换，都要利用线性代数的理论和方法。理论和方法。固定坐标系通常取笛卡尔坐标，载体坐标系则多种多样。在固定坐标系通常取笛卡尔坐标，载体坐标系则多种多样。在大多数情况下它们也多取正交坐标系大多数情况下它们也多取正交坐标系.运动坐标系 举飞行器为例举飞行器为例(图图5-75-7），它的机），它的机身坐标系的身坐标系的x x轴沿机身纵轴，指向机首；轴沿机身纵轴，指向机首；它的它的y y轴与机翼轴与机翼-机身平面垂直，指向上机身平
34、面垂直，指向上方；而它的方；而它的z z轴则与轴则与x,yx,y轴正交，按右手轴正交，按右手法则，其正向指向右翼。两个三维坐标法则，其正向指向右翼。两个三维坐标系之间有系之间有9 9个夹角，但可用三个空间角个夹角，但可用三个空间角,独立确定。独立确定。这几个空间角这几个空间角,是很难是很难度量的，通常都要转化为绕具体转轴的度量的，通常都要转化为绕具体转轴的转角。空间航行器与地面坐标系的关系转角。空间航行器与地面坐标系的关系通常用三个空间角（欧拉角）来度量，通常用三个空间角（欧拉角）来度量，机器人或机械手都有几个自由度，要把机器人或机械手都有几个自由度，要把每一个关节的运动换算为上述方向余弦每一
35、个关节的运动换算为上述方向余弦也有不小的计算量。也有不小的计算量。固定坐标与载体坐标关系载体坐标系u1u2u3固定坐标系x123y123z123再把它们的方向余弦排成矩阵：如果固定坐标系是正交系，则任何一个单位向量在三个坐标轴上的投影的平方就等于1，故变换矩阵p p 各列的平方和均为1。如果载体坐标系也是正交系，则方阵p p 各行的平方和也均为1。所以有。下一讲 以数据为基础的坐标系 5.4 以数据为基础建立坐标系 三坐标测量仪（见图），三坐标测量仪（见图），其工作原理一般都采用三个其工作原理一般都采用三个直线光栅尺做测量基准，测直线光栅尺做测量基准，测量头以电触头触发，测量出量头以电触头触发
36、，测量出工件触点的实际（工件触点的实际（x,y,zx,y,z）位）位置。根据工件多点的大量数置。根据工件多点的大量数据，对工件的形状、尺寸的据，对工件的形状、尺寸的精确性进行分析。这样，测精确性进行分析。这样，测量的数据来自固定坐标系，量的数据来自固定坐标系，它与夹持状况有关，图纸的它与夹持状况有关，图纸的数据则以工件位置为基准，数据则以工件位置为基准，两者之间必须要进行坐标转两者之间必须要进行坐标转换才能对比。换才能对比。5.4.1 用数据建坐标的一个应用实例 例5.5 用坐标测量仪测出一个工件边界上的四点坐标如右表，问这四点是否在一根直线上？求此直线方程，及各点离此直线的距离，绘图说明。解
37、：把这四个点作图，可以得出图5-10。测试数据是在固定坐标系，坐标原点不在这根线上，要求出的各点误差则是在这根斜线的垂直方向，其测量误差的起点都以斜线为准。坐标测量仪测出的四点坐标值abcdx-2102y32.31.7.33四点共线误差的分析下面用数学表达思路：下面用数学表达思路：1.1.列出表示四点原坐标的向量组列出表示四点原坐标的向量组2.2.将此向量组各向量都减去将此向量组各向量都减去d d点坐标，得到差向量矩阵点坐标，得到差向量矩阵M M：3.M3.M中的第一列表示中的第一列表示d-ad-a两点联线向量，也就是新坐标系中的两点联线向量，也就是新坐标系中的x x1 1轴基向量，将它称为轴
38、基向量，将它称为q q1 1，并规范化为单位向量，并规范化为单位向量q q1010，第二个基向量第二个基向量q q2 2可以把第一个基向量旋转可以把第一个基向量旋转9090度获得，度获得，四点共线误差的分析(续)得出新的基向量矩阵得出新的基向量矩阵4.4.有此两个基向量，就可以按基变换的公式有此两个基向量，就可以按基变换的公式(5.4.2)(5.4.2)求这四求这四点点在新坐标系内的坐标值在新坐标系内的坐标值R R。可以看出在新的坐标系中，代表这四个点误差的可以看出在新的坐标系中，代表这四个点误差的y1y1坐标都非坐标都非常小，说明四点基本共线。常小，说明四点基本共线。：四点共线误差的分析(续
39、)解此题的解此题的MATLABMATLAB程序程序pla505pla505如下：如下：L=-2,-1,0,2;3,2.3,1.7,0.33L=-2,-1,0,2;3,2.3,1.7,0.33%输入四点的坐标矩输入四点的坐标矩阵阵M=L-L(:,4)*ones(1,4)%M=L-L(:,4)*ones(1,4)%求出差向量矩阵求出差向量矩阵q10=M(:,1)/norm(M(:,1)%q10=M(:,1)/norm(M(:,1)%把第一差向量作为基向量把第一差向量作为基向量q10q10q20=0,-1;1,0*q10%q20=0,-1;1,0*q10%与它正交的第二基向量与它正交的第二基向量q2
40、0q20Q=q10,q20,%Q=q10,q20,%将将q10,q20q10,q20排成向量组，排成向量组，R=inv(Q)*M%R=inv(Q)*M%其逆其逆inv(Q)inv(Q)即坐标变换矩阵即坐标变换矩阵 上面的例题说明了以数据为基础建立坐标系并进行变换上面的例题说明了以数据为基础建立坐标系并进行变换的作用。其中比较麻烦的一项工作就是建立与数据相关的的作用。其中比较麻烦的一项工作就是建立与数据相关的正交坐标系。于是有人就研究了以正交坐标系。于是有人就研究了以n n个个n n维向量为基础的构维向量为基础的构建建n n维正交坐标系的方法，称为施密特正交系生成法。它的维正交坐标系的方法，称为
41、施密特正交系生成法。它的思路不错，但算法很麻烦，特别是高阶的时候，会有积累思路不错，但算法很麻烦，特别是高阶的时候，会有积累误差。采用它的思想，又经过算法上的改进，发展为误差。采用它的思想，又经过算法上的改进，发展为“qr正交分解正交分解”。下一讲 qr分解 5.4.2 qr分解 MATLABMATLAB中的矩阵正交分解子程序中的矩阵正交分解子程序qr.mqr.m可将可将A A分解为分解为Q Q和和R R两个矩阵的乘积。调用方法为：两个矩阵的乘积。调用方法为：Q,RQ,R qr(A)qr(A)得出的得出的Q Q和和R R满足满足Q*R=AQ*R=A（5.4.15.4.1）当当A A是是m m
42、n n矩阵时，输出变元矩阵时，输出变元R R是是m m n n的上三角矩阵。而的上三角矩阵。而Q Q则是则是m m m m规范化正交矩阵。在三维空间应用中，规范化正交矩阵。在三维空间应用中，m m不大于不大于3 3，而，而n n是对象的图形中的顶点的数目，可能是很大的数，是对象的图形中的顶点的数目，可能是很大的数，故一般有故一般有 nmnm。起主要作用的是前。起主要作用的是前m m列。列。先从二阶开始分析，在例先从二阶开始分析，在例5.55.5的程序后面加一句的程序后面加一句Q1,R1Q1,R1=qr(qr(M)，可以发现，可以发现Q1=Q,R1=RQ1=Q,R1=R。可见例。可见例5.55.
43、5正是进正是进行了这样的计算，行了这样的计算，QRQR分解代替了好几条语句。分解代替了好几条语句。二维平面上的qr分解看看看看qrqr分解的几何意义。设两个列向量分解的几何意义。设两个列向量v1=-1;2,v1=-1;2,v2=6;8v2=6;8，组成向量组：，组成向量组：，键入键入Q,RQ,R qr(A)qr(A)，作，作qr分解，得出：分解，得出：在笛卡尔坐标系中画出列向量在笛卡尔坐标系中画出列向量v1,v2v1,v2如图，如图，Q Q满足正交满足正交向量组的条件向量组的条件Q QT TQ=IQ=I2 2。两个列向量。两个列向量Q(:,1)Q(:,1)和和Q(:,2)Q(:,2)是长是长度
44、为度为1 1的单位向量，它们代表了新建立的坐标系的单位向量，它们代表了新建立的坐标系x1x1和和y1y1。R R则是向量则是向量v1,v2v1,v2在新坐标系中的坐标值。它的第一列在新坐标系中的坐标值。它的第一列只有一个元素，说明新坐标系的第一根轴取的就是只有一个元素，说明新坐标系的第一根轴取的就是v1v1方向，第二根轴则是按与方向，第二根轴则是按与v1v1成正交的条件取的。成正交的条件取的。二维平面上的qr分解（续）qr分解实际上是一个正交坐标变换，从原来的笛卡尔正交分解实际上是一个正交坐标变换，从原来的笛卡尔正交坐标系转到新的正交坐标系。两者之间仅仅是转动了一个坐标系转到新的正交坐标系。两
45、者之间仅仅是转动了一个角度角度，Q Q就是按就是按 与与关联的：关联的：新坐标系的特点是其第一根轴沿着新坐标系的特点是其第一根轴沿着A A的第一根列向量的第一根列向量v v1 1，第，第二根轴则按正交于二根轴则按正交于v v1 1的条件建立。如果两个向量的条件建立。如果两个向量v v1 1,v,v2 2调换调换一下位置，一下位置，Q Q和和都会发生改变，因为这时新坐标系的第都会发生改变，因为这时新坐标系的第一根轴将取为一根轴将取为v v2 2的方向。因此对数据向量组的方向。因此对数据向量组A做做qr变换时，变换时，A中第一列所代表的向量必须慎重选择。中第一列所代表的向量必须慎重选择。对于三维空
46、间中的向量组对于三维空间中的向量组A，第一、二列所代表的向量更，第一、二列所代表的向量更须慎重选择，因为他们决定了新坐标系的方向。下面将举须慎重选择，因为他们决定了新坐标系的方向。下面将举一个三维空间一个三维空间qr变换的数字实例。变换的数字实例。三维空间中的qr分解例5.6 设四个列向量v1=(9;-5;2),v2=(0;7;5),v3=(-1;-9;6),4=(2,5,-3)，组成向量组A。用语句Q,R=qr(A)对A作QR分解后，得到：同样可以检验QTQ=I3，说明Q是规范化的三维空间正交坐标系，R中第一个列向量只有一个元素，说明新坐标的第一根轴取的是v1方向；R中第二个列向量有两个元素
47、，说明新坐标的第二根轴在v3方向没有分量，它是位于v1,v2平面上，方向与v1正交；它的第三个列向量有三个元素，说明它在新坐标系的三个方向都有分量，它与 v1,v2共同构成新的正交坐标系。5.5.1特征值与特征向量矩阵A的特征方向 一个二维线性变换一个二维线性变换A A就有四个参数，这表明它对就有四个参数，这表明它对x x平平面上不同方向的向量产生的作用是不同的。可以取面上不同方向的向量产生的作用是不同的。可以取x x平面平面上的一个单位向量，让它渐渐转动，看看变换后的上的一个单位向量，让它渐渐转动，看看变换后的y=Axy=Ax如何变化。如何变化。MATLABMATLAB设计了这样一个演示程序
48、，程序名为设计了这样一个演示程序，程序名为eigshoweigshow，其输入变元是二维矩阵，其输入变元是二维矩阵A A。键入。键入eigshow(1,0.5;0,1)eigshow(1,0.5;0,1)就出现了所示的图形。就出现了所示的图形。用鼠标左键点住绿色的用鼠标左键点住绿色的x x向量并拖动它围绕原点转向量并拖动它围绕原点转动，它表示原坐标系中的单位向量。图中同时出现以蓝动，它表示原坐标系中的单位向量。图中同时出现以蓝色表示的色表示的AxAx向量，它表示变换后的新向量向量，它表示变换后的新向量y y。y y与与x x在长度在长度和相角上的不同就表示了该变换造成的这个向量的幅度和相角上的
49、不同就表示了该变换造成的这个向量的幅度增益和相角增量。增益和相角增量。eigshow(1,0.5;0,1)产生的图形5.5.1 特征值和特征向量 当两个向量处在同一条直线上时（包括同向和反向），表示两当两个向量处在同一条直线上时（包括同向和反向），表示两者之间的方向重合，只差一个实数乘子者之间的方向重合，只差一个实数乘子。Ax=xAx=x 或或 (I-A)x=0 （5.1.75.1.7）把这时的向量把这时的向量x x称为特征向量，对应的乘子称为特征向量，对应的乘子称为特征值。称为特征值。在这个图中，当在这个图中，当x x转到转到11的水平位置时，的水平位置时，AxAx也恰好与也恰好与x x重合
50、，重合，并具有同样的长度，说明其特征值等于并具有同样的长度，说明其特征值等于1 1，特征向量则是实数单，特征向量则是实数单位向量位向量1+j01+j0。在其他方向的。在其他方向的x x所产生的所产生的y=Axy=Ax，不仅大小与，不仅大小与x不同，不同，而且方向也不同，所以要做一个二维运算。只有在特征向量的方而且方向也不同，所以要做一个二维运算。只有在特征向量的方向，只要简单地乘以向，只要简单地乘以，也就是只做一个一维运算。在数值计算，也就是只做一个一维运算。在数值计算和物理概念方面都带来方便。在矩阵数学上就表现为：和物理概念方面都带来方便。在矩阵数学上就表现为：P-1AP=或或 A=P P-