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1、20212021 学年第一学期期末学业水平测试学年第一学期期末学业水平测试高二年级数学试卷高二年级数学试卷一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的1.全集U 0,1,2,3,4，M 0,1,2,N 0,3,4，则CUMA.0B.3,4C.1,2D.N（）2.若复数 z 满足z12i34i（其中 i 为虚数单位），则 z 的虚部是（）A.2iB.2i2C.2D.23.已知x2 y26x7 0与抛物线y axA.a 0的准线相切则a
2、（）C.116B.1618D.84.下列命题中，不正确的是（）A.若事件 A，B 互斥，则PAB.若事件 A，B 互B PAPB为独立，则P AB P A P B C.若事件 A，B，C 两两互斥，则PABC PAPBPCD.若事件 A，B，C 两两独立，则PABC PAPBPC5.如图所示，是某厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，其中，圆锥的底面和球的直径都是0.2m，圆锥的高是 0.24m要对 1000 个这样的台灯表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100 克，则共需胶（）克A.340B.440C.4600D.66006.已知函数fxsinx（0，），其图象关于点
3、邻两条对称轴的距离为,0成中心对称，相67，则在下列区间中，f(x)，且对任意xR R，都有fx f1227122 为单调递减函数的是（）A.,63xB.0,C.,12 2,D.1277.已知函数fx 2 x，gxlog2x x，hx x log2x的零点分别为 a，b，c，下列各式正确的是（）A.ab 0aB.2 log2b 0C.b cD.2a c28.a 为实数，函数fx x2 2ax在区间0，1上的最大值记为 g（a）当 g（a）取得最小值时，a（）A.2 1B.2 1C.2 1D.1二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020
4、 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得有多项符合题目要求全部选对的得 5 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分分9.若椭圆的焦点为F1c,0，F2c,0c 0，长轴长为2a，则椭圆上的点（x，y）满足（）A.xcxc22 y 2xcca2 y 2a22y2cB.21x a2a22 y21C.a xcD.xc2 y2 acxa10.设，为两个平面，则A.内有无数条直线与 平行C.，垂直于同一条直线11.已知点 A、B、P 在的必要不充分条件是（）B.内有两条相交直线与 平行D.，垂直于同一平面C上
5、，则下列命题中正确的是（）1212A.AC 1，则ACAB的值是B.AB 1，则ACAB的值是C.AC AB 1，则AP AB的范围是1 3,2 2D.AC AB 1，且AP AB AC，则的范围是12 3,12 3331,xM12.定义全集 U 的子集 M 的特征函数fMx已知AU，B U，则以下0,xMU结论中正确的是（）A.若A B，则对于任意xU，都有fAx fBxB.对于任意xU，都有fUAx1 fAxC.对于任意xU，都有fAD.对于任意xU，都有fABx fAx fBxx fAx fBxB三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共
6、 2020 分，分，1616 题第题第 1 1 空空 2 2 分，第分，第 2 2 空空 3 3分分1113.log342_914.已知tan 1，2 3，则sin_315.某地现有耕地 10000 公顷规划 10 年后粮食单产比现在增加20%，人均粮食占有量比现在至少提高16%如果人口年增长率_公顷（精确到小数点后一位，1.003101.0304）（备注：粮食单产2为3000（即千分之三），那么耕地平均每年至多只能减少总产量总产量，人均粮食占有量）耕地面积总人口数p上，216.过抛物线y 2pxp 0的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 C 在直线x 则ACB的最大值是_；若ACB
7、为正三角形，则其边长为_四、解答题：本题包括四、解答题：本题包括 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤步骤17.已知 a，b，c 分别为ABC的三个内角 A，B，C 的对边，在asin B 3bcos A，absin AsinBcbsinC这三个条件中任选一个，2acos A bcosC ccosB，并解答下列问题（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）：（1）求角 A；（2）若b 5，c 3，求 BC 边上的中线长18.某城市为节能减排，提出了在保障生活必需的基础上，“低碳生活，节约用电”的倡议以下是某社区随机
8、提取的100 户居民的月平均用电量（单位：度）的数据，根据这些数据，以160，180），180，200），200，240），240，260），260，280），280，300分组的频率分布直方图如图所示（1）求月平均用电量的25%分位数（精确到小数点后1 位）；（2）在月平均用电量最小组160，180）和最大组280，300用户中，各随机抽取1 户到社区做用电情况交流，其中最小组的甲与最大组的乙恰有一人被选到的概率19.莱昂哈德欧拉（LeonhardEuler，瑞士数学家），1765 年在他 著作三角形的几何学中的首次提出定理：三角形的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高线的交点）和外心（三条
9、中垂线的交点）共线 这条线被后人称为三角形的欧拉线 已知QMN的顶点M1,0，N3,2，Q1,4（1）求QMN的欧拉线方程；（2）记QMN的外接圆的圆心为 C，直线 l：kx yk 1 0kR与圆 C 交于 A，B 两点，且Cl，求ABC的面积最大值20.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱PD 底面 ABCD，二面角 PBCA的大小是 45，E、G 分别是 PC、PA的中点，EF PB交 PB 于点 F（1）求证：D、E、F、G 四点共面；（2）设 Q 是直线 AD 的中点，求直线 FQ 与平面 DFG 所成角的正弦值21.已知双曲线 C 的离心率e（1）求双曲线
10、C方程；3，左焦点F1c,0到其渐近线的距离为6的（2）设 T 是 y 轴上的点，过 T 作两直线分别交双曲线C 的左支于 P、Q 两点和 A、B 两点，若TATP，P、Q 两点的中点为 M，A、B 两点的中点为 N，O 为坐标原点，求两直线OM 和TBTQON 的斜率之和22.我们知道，函数y fx的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y fx为奇函数，有同学发现了更一般结论：函数y fx的图象关于点Pa,b成中心对称图形的充要条件是函数y fxab为奇函数，试根据此结论解答下列问题：n，（1）若函数y gx满足对任意的实数 m，恒有gmn gm gn1，求g0的值，并判断此函数图
11、象是否中心对称图形？若是，请求出对称中心坐标；（2）若（1）中的函数还满足m 0时，gm1，求不等式g 3x 2x1 1的解集；2x23（3）若函数hxx若hx与gx的图象有 3 个不同的交点Ax1,y1，Bx2,y2，3 1Cx3,y3其中x1 x2 x3，且AC 4 29，求g1值51【答案】B2【答案】D3【答案】A4【答案】D5【答案】C6【答案】C7【答案】D8【答案】A9【答案】ABD10【答案】AD11【答案】BCD12【答案】ABC13【答案】3#-1.5214【答案】101015【答案】3.916【答案】.90.6p17【答案】（1）A（2）3；7.2【小问 1 详解】选，在
12、ABC中，由正弦定理及asin B 3bcos A得：sin Asin B 3sin Bcos A，而0 B，即sinB 0，于是得tan A 3，又0 A，所以A3.选，在ABC中，由正弦定理及2acos A bcosC ccosB得：2sin Acos A sin BcosC sinCcosB sin(B C)sin A，而0 A，sin A 0，则cos A 1，2所以A3.选，在ABC中，由正弦定理及absin AsinBcbsinC得：ababcbc，b2c2a21，而0 A，即a b c bc，由余弦定理得cos A2bc2222所以A3.【小问 2 详解】由(1)知，BAC 3，
13、在ABC中，由余弦定理得：a2 b2c22bccosBAC 5232253119，即a 19，211a2c2b2(19)23252119，设 BC 的中点为 D，则BD a cosB 222ac2 1932 19在ABD中，由余弦定理得：1111149AD2 c2(a)22cacosB 32(19)22319，22222 194解得AD 7，27.2所以 BC 边上的中线长18【答案】（1）201.8（2）720【小问 1 详解】由图可得月平均用电量在160，180）的频率为 0.00220=0.04，180，200）的频率为 0.0095200，220）20=0.19，的频率为 0.0112
14、0=0.22，0.04+0.19=0.230.25，所以 25%分位数一定位于200，220）内，由200202 201.8，所以，月平均用电量的25%分位数约为 201.822【小问 2 详解】最小组中有 4 户，设为甲，A,B,Cb,c,d，最大组有 5 户，设为乙，a,各随机抽取 1 户，有（甲，a），（甲，b），（甲，c），（甲，d），（甲，乙），(A,乙)，（A,a），（A,b），（A,c），（A,d），（B，乙），（B,a），（B,b），（B,c），（B,d），（C，乙），（C,a），（C,b），（C,c），（C,d），共 20 种可能，其中最小组的甲与最大组的乙恰有一人被选到有：
15、（甲，a），（甲，b），（甲，c），（甲，d），(A,乙)，（B，乙），（C，乙），共 7 种甲、乙被选到的事件分别记为A、B，所以最小组的甲与最大组的乙恰有一人被选到的概率为：19【答案】（1）y 2（2）3【小问 1 详解】720QMN的顶点M1,0，N3,2，Q1,4利用两点之间距离公式知MN QN 2 2，MQ 4又MN QN22 MQ，所以QMN为等腰直角三角形，2MQ的中垂线方程是y 2，也是MNQ的平分线，三线合一，欧拉线方程是y 2【小问 2 详解】由（1）知QMN为等腰直角三角形，故外心为斜边MQ中点，即外心是C1,2，r 2圆心 C 到直线 l 的距离d 所以SABC1AB
16、 d 1k2121，AB 2 4d2，224ddd 2422利用二次函数性质知，当d21时，即k 0时，Smax320【小问 1 详解】（1）依题意，PCD为二面角 PBCA 的平面角，即PCD 45，因 E 是 PC 中点，所以DE PC，因PD 平面 ABCD，所以PD BC，又BC CD且PDCD D，所以BC 平面 PCD，因DE 平面 PCD，所以BC DE，又因DE PC，且BC PC C，所以DE 平面 PBC，所以DE PB，同理DG PB，又PB EF，EFDE E，PB 平面 DEF所以PB DF且DF DG D，PB DG，PB 平面 DFG，平面 DFG 与平面 DEF
17、 是同一平面，即 D、E、F、G 四点共面【小问 2 详解】以 DA、DC、DP 为轴建立坐标系如图，设AD 2，则 Q（1，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），E（0，1，1），G（1，0，1），设PF PB 2,2,2 0，则EF PF PE 2,21,21由PBEF 0，得12,2,2，所以PF 3 333FQ PQPF 1,2,4，333由（1）知，PB 2,2,2是平面 DFG 的法向量，设直线 FQ 与平面 DFG 所成角为，则sinFQPB1，7FQ PB所以直线 FQ 与平面 DFG 所成角的正弦值是177x2y221【答案】（1）136（2）0【小问 1 详解】依题
18、意，焦点在 x 轴上，设实半轴、虚半轴长分别为a，b，则渐近线为y bx，a左焦点F1c,0到其渐近线的距离d bca1ba2 b 6，c3，c2 3a2 a2b2，解得a2 3，ax2y2所以双曲线方程是136【小问 2 详解】设T0,m，直线 AB：y k1xm，Ax1,y1，Bx2,y2，直线 PQ：y k2xm，Px3,y3，Qx4,y4，y k1xm 2k12x22mk1xm26 0，联立x2y21 362k12 02222 4m k142k1m 6 02x xx1x24m2k12122mk12 2依题意，x1 x2 022x xxx1221k12m 62k12m 6x1x2 02k
19、 212x3x44m2k22 2同理可得，x4x3k22m26，TATPx1x3，xx4TBTQ224m2k124m2k22222，化简得k1 k2，22k12m 6 k22m 6k1 k2，k1 k2 022kONk1 e 1，kOMk2 e 1，kOMkON 022【答案】（1）g01，gx是中心对称图形，其对称中心为0,11（2）,1,37（3）g15【小问 1 详解】取m n 0，得g0 g0 g01，所以g01，取m x，n x，得g0 gx gx1，于是gx1 gx1，即y gx1是奇函数，所以gx是中心对称图形，其对称中心为0,1【小问 2 详解】若m 0时，gm1，则gnm gn gm1 gn，所以gx是 R 上单调递增函数，12由g 3x 2x1 1 g0得，3x22x1 0，解得x 1或x 31所以不等式的解集为,1,3【小问 3 详解】xx2323x 2，于是hx1 hx1因为hxhxx3 131所以hx的图象也是以0,1为中心的对称图形，又gx的图象也是以0,1为中心的对称图形，因此B0,1，x1 x3 0，y1 y3 2y2 2x322324 29，AC 2 BC 2x30 x31 2 x31x353 13 122299解得x3 2，gx3 hx3，即g255又g2 2g11，g175