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1、1 灰色预测模型 一、灰色预测的概念 1.灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。灰色系统是介于白色系统和黑色系统之间的一种系统。灰色系统内的一局部信息是的，另一局部信息时未知的，系统内各因素间具有不确定的关系。2.灰色预测，是指对系统行为特征值的开展变化进行的预测，对既含有信息又含有不确定信息的系统进行的预测，也就是对在一定范围内变化的、与时间序列有关的灰过程进行预测。尽管灰过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此可以通过对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来开展趋势的状况
2、。灰色预测是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。二、灰色预测的类型 1.灰色时间序列预测；即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或到达某一特征量的时间。2.畸变预测；即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。3.系统预测；通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。4.拓扑预测；将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点 三、GM1，1模型的建立 1.数据处理 为了弱化原始时间序列
3、的随机性，在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。i.设 ,.00000123XXXXXn 是所要预测的某项指标的原始数据，计算数列的级比()()()(),()0012 3XtttnXt。如果绝大局部的级比都落在可容覆盖区间(,)2211nnee内，那么可以建立GM(1,1)模型且可以进行灰2 色预测。否那么，对数据做适当的预处理。方法目前主要有数据开 n 方、数据取对数、数据平滑。预处理的数据平滑设计为三点平滑，具体可以按照下式处理 ()/00001214XtXtXtXt ()/00013124XXX ()/000134XnXnXn ii
4、.预处理后对数据作一次累加生成处理，即：将原始序列的第一个数据作为生成列的第一个数据，将原始序列的第二个数据加到原始序列的第一个数据上，其和作为生成列的第二个数据。按此规那么进行下去，便可得到生成列。根据()()()()101knXkXn，得到一个新的数列 ,.11111123XXXXXn 这个新的数列与原始数列相比，其随机性程度大大弱化，平稳性大大增加。2.新数列的变化趋势近似地用下面的微分方程描述。()()11dXaXudt 其中：a称为开展灰数；u称为内生控制灰数。3.模型求解。令()()()(),(),()00023TnYXXXn，为待估参数向量，au ，()()()()()()()(
5、)()()()()111111112 12123 12 11 12XXXXBXnXn，于是模型可表示为 nYB 通过最小二乘法得到：1TTnB BB Y 求解微分方程，即可得灰色预测的离散时间响应函数：3 1011atuuXtXeaa,.,0 1 21tn 11Xt 为所得的累加的预测值，将预测值复原即为：()()()()()-()01111XtXtXt 注：假设数据经过预处理，那么还需经过相应变换才能得到实际预测值。4、模型检验 灰色预测检验一般有残差检验、关联度检验和后验差检验。1)残差检验()()()()()-(-)0111XtXtXt 000tXtXt ()(),()001 2tttn
6、Xt 分别求出预测值、绝对误差值和相对误差值，计算出平均相对误差判断精度是否理想。检验表 序号 实际数据)()0(kx 模拟数据)()0(kx 残差 0t 相对误差()t 2 3 4 5 3.278 3.337 3.390 3.679 3.2300 3.3545 3.4817 3.6136 0.0460-0.0175-0.0917 0.0654 1.40%0.52%2.71%1.78%平均相对误差 1.6025%2)关联度检验 i.定义关联系数()t minmax()max0000ttttt 其中：0t为第t个点 0X与 0X的绝对误差；称为分辨率，00.9 0.8 0.7 0.7 C 0.3
7、5 0.5 k0的模拟值进行休整，修正后的精度如下表：误差检验表 序号 实际数据)()0(kx 模拟数据)()0(kx 残差 0t 相对误差()t 10 11 12 13 18 15.5 17 15 17.1858 16.4799 15.7604 15.0372 0.8142-0.9799 1.2396-0.0372 4.52%6.32%7.29%0.25%平均相对误差 4.595%残差修正GM(1,1)模型的模拟精度得到了明显提高。假设对残差精度仍不满意，就只有考虑采用其它模型或对原始数据序列进行适当取舍。再用P和C检验预测效果。五、GM(1,1)模型的适用范围 灰色 GM(1,1)模型评价
8、推广(1)灰色 GM(1,1)模型优点 灰色 GM(1,1)预测模型在计算过程中主要以矩阵为主,它与 MATLAB 的结合解决了它在计算中的问题.由 MATLAB 编制的灰色预测程序简单实用,容易操作,预测精度较高.(2)灰色 GM(1,1)模型的缺点 该模型是指运用曲线拟合和灰色系统理论对我国人口开展进行预测的方法,6 因此它对历史数据有很强的依赖性,而且 GM(1,1)的模型没有考虑各个因素之间的联系.因此,误差偏大,尤其是对中长期预测,例如对中国人口总数变化情况做长期预测时,误差偏大,脱离实际.下面我们来讨论 GM(1,1)模型的适用范围.GM(1,1)模型的白化微分方程：(1)(1)d
9、XaXudt 其中a为开展系数,可以证明，当 GM(1,1)的开展系数|2a 时，GM(1,1)模型无意义。因此，(,)22 是 GM(1,1)开展系数 a 的禁区。在此区间，GM(1,1)模型失去意义。一般地，当|2a 时，GM(1,1)模型有意义。但是，随着 a 的不同取值，预测效果也不同。通过数值分析，有如下结论：1当.0 3a 时，GM(1,1)的 1 步预测精度在 98%以上，2 步和 5 步预测精度都在 97%以上，可用于中长期预测；2当.0 30 5a 时，GM(1,1)的 1 步和 2 步预测精度都在 90%以上，10 步预测精度也高于 80%，可用于短期预测，中长期预测慎用；
10、3当.0 50 8a 时，GM(1,1)用作短期预测应十分慎重；4当.0 81a 时，GM(1,1)的 1 步预测精度已低于 70%，应采用残差修正模型；5当1a 时，不宜采用 GM(1,1)模型。如果要考虑到多因素的联系和影响,此时我们不妨建立 GM(1,n)模型.GM(1,N)模型能模拟系统开展的动态过程,不但吸收了传统的灰色模型的建立,而且建立了多中改良的灰色模型,提高了预测精度.论文小结处：与传统的数理统计模型相比，该模型在 预测方面具有明显优点：无需典型的概率分布；减少时间序列的随机性；小样本即可计算；计算简便。用灰色理论预测理论可靠，方法较简单。对原始数据系列长度要求不高，即使在系列较短的情况下也能取得令人满意的预报结果，弥补了其他方法无法进行短期系列观测资料的的预测。本文建立的模型经拟合精度检验 P=，C=，模型判为，预测精度高，能到达预测要求。