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1、 1 离散数学样题 一、选择题（每小题 2 分，共 20 分）设 P 和 Q 都是命题，则 PQ 的真值为假当且仅当（）。（A）P 为假,Q 为真 （B）P 为假,Q 也假 （C）P 为真,Q 也真 （D）P 为真,Q 为假 2下面（）不是命题。（A）(x)P(x)（B）(x)P(x)（C）(x)P(x)P(y)（D）(x)(y)(P(x)Q(y)3设 A=a,b,c,B=b,c,d,e,C=b,c,则(AB)C 为（）。（A）a,b （B）b,c （C）a,b,e （D）a,b,c 4集合1,2,3上共有（）个等价关系。（A）3 （B）4 （C）5 （D）6 5集合 A 到 B 共有 64
2、个不同的函数，则 B 中元素个数不可能是（）。（A）4 （B）8 （C）16 （D）64 6半群、群及独异点的关系是（）。（A）群独异点半群 （B）独异点半群群（C）独异点群半群 （D）半群群独异点 7设 N 为自然数集合，在()运算下不构成代数系统(其中+、-、为普通加法、减法和乘法)。(A)X*Y=X+Y-2XY (B)X*Y=X+Y (C)X*Y=X-Y(D)X*Y=|X|+|Y|85 阶无向完全图的边数为（）。(A)5 (B)10 (C)15 (D)20 9下列命题中，()是正确的。(A)欧拉图是哈密尔顿图 (B)哈密尔顿图是欧拉图 (C)平面图是树 (D)树是平面图 10设(A,)是
3、偏序集，是整除关系，则当A=()时，(A,)是格。(A)1,2,3,4 (B)2,3,4,6 (C)2,3,4,12 (D)2,4,6,8 2 二、填空题（每空 2 分，共 20 分）1.设 P:我考试得满分，Q:我很快乐，则命题“我考试没得满分，但我很快乐”可符号化为 。2.个体域为1,2,命题(x)(y)(x+y=4)的真值为 。3.(PQ)(PQ)可化简为 。4.设 I 为整数集合，A=x|x230,xI,B=x|x 是素数，x20,C=1,3,5,则(B-A)C=。5.设集合 A=a,b,c,R=(a,a),(b,b),(a,c),(c,a),那么 R 是 关系。6.设A,B,C,D为
4、 四 个 非 空 集 合，则ABCD的 充 要 条 件是 。7.若 A=1,2,3,4,9,36,R是 A 上的整除关系，则 R 的哈斯图为 。8.树的每一对结点之间有 。9.一个图是平面图当且仅当 。10.设是一个代数系统，*是 A 上的一个代数运算，则 A 中关于*有幺元当且仅当运算表中 。三、解答题（共 40 分）1.(6 分)求公式(P(QR)(P(QR)的主析取范式及主合取范式，并指出它是否是重言式。2.(6 分)设个体域为整数集，P(x,y):x+y=1;Q(x,y):xy0。说明下列命题中，哪些命题的真值为真：(1)(x)(y)P(x,y);(2)(x)(y)P(x,y);(3)
5、(x)(y)Q(x,y);(4)(x)(y)Q(x,y)。3(6 分)设 A=a,b,c,试给出 A 上的一个二元关系 R，使其同时不满足自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性（要求画出 R 的关系图）。4.(6 分)设 S=1,2,3,P(S)是 S 的幂集，则是格(不要求证明，其中是集合的包含关系)。求 P(S)中每个元素的补元。5(6 分)画出满足下列要求的图：(1)有一条欧拉回路和一条哈密尔顿回路；(2)有一条欧拉回路但没有一条哈密尔顿回路；(3)没有一条欧拉回路但有一条哈密尔顿回路。6(10 分)在实数集合上定义二元运算 X*Y=XY-2X-2Y+6.(1)验证*是否满足 3 交换律和结合律；(2)求*的幺元和零元；(3)对任何实数 X，求其逆元。四、证明题(共 20 分)(6 分)证明 RQ,RS,SQ,PQ P。(分步骤写，每步后要注明所用的规则)2(6 分)设 R 是 A 上的自反且可传递的二元关系；S 是 A 上的二元关系当且仅当(a,b)和（b,a）都属于 R 时，才有(a,b)S，证明 S 是 A 上的等价关系。3(8 分)元素属于实数的所有 n 阶矩阵所组成的集合记作(R)n,证明(R)n关于矩阵的加法和乘法构成一个环。