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1、 规律探索 一、选择题 1.如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成 4 个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成 4 个小三角形，共得到 7 个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成 4 个小三角形，共得到 10 个小三角形，称为第三次操作；根据以上操作，假设要得到 100 个小三角形，那么需要操作的次数是 A25 B33 C34 D50【考点】规律型：图形的变化类【分析】由第一次操作后三角形共有 4 个、第二次操作后三角形共有4+3个、第三次操作后三角形共有4+3+3个，可得第 n 次操作后三角形共有 4+3n1=3n+1 个，根据题意得 3
2、n+1=100，求得 n 的值即可【解答】解：第一次操作后，三角形共有 4 个；第二次操作后，三角形共有 4+3=7 个；第三次操作后，三角形共有 4+3+3=10 个；第 n 次操作后，三角形共有 4+3n1=3n+1 个；当 3n+1=100 时，解得：n=33，应选：B 2.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数 2021 应标在 A第 504 个正方形的左下角 B第 504 个正方形的右下角 C第 505 个正方形的左上角 D第 505 个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标 【分析】根据图形中对应的数字和各个数字所在的位置，可以推出数 2021 在第多少个正方形和它所在的位
3、置，此题得以解决【解答】解：20214=504，又由题目中给出的几个正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是 0，0 在右下角，然后按逆时针由小变大，第 504 个正方形中最大的数是 2021，数 2021 在第 505 个正方形的右下角，应选 D 3 2021.山东省临沂市，3 分用大小相等的小正方形按一定规律拼成以下图形，那么第 n 个图形中小正方形的个数是 A2n+1 Bn21 Cn2+2n D5n2【考点】规律型：图形的变化类【分析】由第 1 个图形中小正方形的个数是 221、第 2 个图形中小正方形的个数是321、第 3 个图形中小正方形的个数是 421，可知第 n
4、个图形中小正方形的个数是n+121，化简可得答案 【解答】解：第 1 个图形中，小正方形的个数是：221=3；第 2 个图形中，小正方形的个数是：321=8；第 3 个图形中，小正方形的个数是：421=15；第 n 个图 形中，小正方形的个数是：n+121=n2+2n+11=n2+2n；应选：C【点评】此题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的局部和变化的局部及变化局部的特点是解题的关键 二、填空题 1如图，是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图，再连接图中间小三角形三边的中点得到图，按这样的方法进行下去，第 n 个图形中共有三角形的个数为 4n3 【考
5、点】规律型：图形的变化类【分析】结合题意，总结可知，每个图中三角形个数比图形的编号的 4 倍少 3 个三角形，即可得出结果【解答】解：第是 1 个三角形，1=413；第是 5 个三角形，5=423；第是 9 个三角形，9=433；第 n 个图形中共有三角形的个数是 4n3；故答案为：4n3【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系 2如图，直线l：y=34x，点 A1坐标为3，0.过点 A1作x轴的垂线交直线l于点 B1，以原点 O 为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点 A2，再过点 A2作x轴的垂线交直线l于点 B2，以原点 O 为圆心，O
6、B2长为半径画弧交x轴负半轴于点 A3，按此做法进行下去，点 A2021的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类 【分析】由直线l：y=34x 的解析式求出 A1B1的长，再根据勾股定理，求出 OB1的长，从而得出 A2的坐标；再把 A2的横坐标代入 y=34x 的解析式求出 A2B2的长，再根据勾股定理，求出 OB2的长，从而得出 A3的坐标；，由此得出一般规律【解答】解：点 A1坐标为3，0，知 O A1=3，把 x=3 代入直线 y=34x 中，得 y=4，即 A1B1=4.根据勾股定理，OB1=BAOA11122=4322=5，A2坐标为5，0，O A2=5
7、；把 x=5 代入直线 y=34x 中，得 y=320 ，即 A2B2=320.根据勾股定理，OB2=BAOA22222=)(532022=325=3512，A3坐标为3512，0，O A3=3512；把 x=3512代入直线 y=34x 中，得 y=9100 ，即 A3B3=9100.根据勾股定理，OB3=BAOA33322=)()(910032522=9125=3523，A4坐标为3523，0，O A4=3523；同理可得 An坐标为3521nn，0，O An=3521nn；A2021坐标为3520142015，0 故答案为：3520142015，0【点评】此题是规律型图形的变化类题是全国
8、各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征.解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键.解此类题时，要得到两三个结果后再比拟、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。3.设一列数中相邻的三个数依次为 m、n、p，且满足 p=m2n，假设这列数为1，3，2，a，7，b，那么 b=128 【考点】规律型：数字的变化类 【分析】根据题意求出 a，再代入关系式即可得出 b 的值【解答】解：根据题意得：a=322=11，那么 b=1127=128 故答案为：128 4.如图，下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定 x 的值为 370 【考点】规律型：
9、数字的变化类【分析】首先观察规律，求得 n 与 m 的值，再由右下角数字第 n 个的规律：2n2n1n，求得答案【解答】解：左下角数字为偶数，右上角数字为奇数，2n=20，m=2n1，解得：n=10，m=19，右下角数字：第一个：1=121，第二个：10=342，第三个：27=563，第 n 个：2n2n1n，x=192010=370 故答案为：370【点评】此题考查了数字规律性问题注意首先求得 n 与 m 的值是关键 5.我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角这个三角形给出了a+bnn=1，2，3，4的展开式的系数规律按 a 的次数由大到小的顺序：请依据上述规律，写
10、出x 2021展开式中含 x2021项的系数是 4032 【考点】整式的混合运算【分析】首先确定 x2021是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题 【解答】解：x 2021展开式中含 x2021项的系数，根据杨辉三角，就是展开式中第二项的系数，即20212=4032 故答案为4032 6.以下图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案需 8 根火柴棒，图案需 15 根火柴棒，按此规律，图案需 50 根火柴棒 【考点】规律型：图形的变化类【分析】根据图案、中火柴棒的数量可知，第 1 个图形中火柴棒有 8 根，每多一个多边形就多 7 根火柴棒，由此可知第 n 个图案需火柴棒 8+7n1=
11、7n+1 根，令 n=7 可得答案【解答】解：图案需火柴棒：8 根；图案需火柴棒：8+7=15 根；图案需火柴棒：8+7+7=22 根；图案 n 需火柴棒：8+7n1=7n+1 根；当 n=7 时，7n+1=77+1=50，图案需 50 根火柴棒；故答案为：50【点评】此题主要考查了图形的变化类，解决此类题目的关键在于图形在变化过程中准确抓住不变的局部和变化的局部，变化局部是以何种规律变化 7 2021山东枣庄一列数1a，2a，3a，满足条件：112a，111nnaan2，且n为整数，那么2016a=【答案】-1.【解析】试题分析：根据题意可知，112a，221112a，1-2113a，211
12、-114）（a，.,由此可得这组数据 3 个一循环，20213=672，所以2016a是第 672 个循环中的第 3 个数，即2016a=-1.考点：规律探究题.8如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中局部小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有4n+1个涂有阴影的小正方形用含有n的代数式表示 考点：找规律 分析：由图可知，涂有阴影的正方形有 5+4n-1=4n+1 个 解答：4n+1 9.2021 山东省聊城市，3 分如图，在平面直角坐标系中，边长为 1 的正方形 OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线 OB1为边作正方形 OB1B2C2，再以正方形 OB1B2
13、C2的对角线 OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推、那么正方形 OB2021B2016C2021的顶点 B2021的坐标是 21008，0 【考点】正方形的性质；规律型：点的坐标【分析】首先求出 B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点 B2021的坐标【解答】解：正方形 OA1B1C1边长为 1，OB1=，正方形 OB1B2C2是正方形 OA1B1C1的对角线 OB1为边，OB2=2，B2点坐标为0，2，同理可知 OB3=2，B3点坐标为2，2，同理可知 OB4=4，B4点坐标为4，0，B5点坐标为4，4，B6点坐标为0
14、，8，B78，8，B816，0 B916，16，B100，32，由规律可以发现，每经过 8 次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，20218=252 B2021的纵横坐标符号与点 B8的相同，横坐标为正值，纵坐标是 0，B2021的坐标为21008，0 故答案为：21008，0【点评】此题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答此题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍 10 2021.山东省泰安市，3 分如图，在平面直角坐标系中，直线 l：y=x+2 交 x 轴于点 A，交 y
15、轴于点 A1，点 A2，A3，在直线 l 上，点 B1，B2，B3，在 x 轴的正半轴上，假设A1OB1，A2B1B2，A3B2B3，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在 x 轴上，那么第 n 个等腰直角三角形 AnBn1Bn顶点 Bn的横坐标为 2n+12 【分析】先求出 B1、B2、B3的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题 【解答】解：由题意得 OA=OA1=2，OB1=OA1=2，B1B2=B1A2=4，B2A3=B2B3=8，B12，0，B26，0，B314，0，2=222，6=232，14=242，Bn的横坐标为 2n+12 故答案为 2n+12 【点评】此题考查规律型：点的坐标
16、、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型 11 2021.山东省威海市，3 分 如图，点 A1的坐标为 1，0，A2在y 轴的正半轴上，且A1A2O=30，过点 A2作 A2A3A1A2，垂足为 A2，交 x 轴于点 A3；过点 A3作 A3A4A2A3，垂足为 A3，交 y 轴于点 A4；过点 A4作 A4A5A3A4，垂足为 A4，交 x 轴于点 A5；过点 A5作 A5A6A4A5，垂足为 A5，交 y 轴于点 A6；按此规律进行下去，那么点 A2021的纵坐标为 2021 【考点】坐标与图形性质【分析】先求出 A1、A2、A3
17、、A4、A5坐标，探究规律，利用规律解决问题【解答】解：A11，0，A20，1，A32，0A40，3，A54，0，序号除以 4 整除的话在 y 轴的负半轴上，余数是 1 在 x 轴的正半轴上，余数是 2 在 y 轴的正半轴上，余数是 3 在 x 轴的负半轴上，20214=504，A2021在 y 轴的负半轴上，纵坐标为2021 故答案为2021 三、解答题 1 1观察以下图形与等式的关系，并填空：2观察以下图，根据1中结论，计算图中黑球的个数，用含有 n 的代数式填空：1+3+5+2n1+2n+1+2n1+5+3+1=2n2+2n+1 【考点】规律型：图形的变化类【分析】1根据 1+3+5+7
18、=16 可得出 16=42；设第 n 幅图中球的个数为 an，列出局部 an的值，根据数据的变化找出变化规律“an1=1+3+5+2n1=n2”，依此规律即可解决问题；2观察1可将2图中得黑球分三局部，1 到 n 行，第 n+1 行，n+2 行到 2n+1 行，再结合1的规律即可得出结论【解答】解：11+3+5+7=16=42，设第 n 幅图中球的个数为 an，观察，发现规律：a1=1+3=22，a2=1+3+5=32，a3=1+3+5+7=42，an1=1+3+5+2n1=n2 故答案为：42；n2 2观察图形发现：图中黑球可分三局部，1 到 n 行，第 n+1 行，n+2 行到 2n+1 行，即 1+3+5+2n1+2n+11+2n1+5+3+1，=1+3+5+2n1+2n+1+2n1+5+3+1，=an1+2n+1+an 1，=n2+2n+1+n2，=2n2+2n+1 故答案为：2n+1；2n2+2n+1