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1、 六年级数学思维训练教材 第一讲 立体图形及展开 同学们在五年级所学习的立体图形主要是长方体和正方体，从这一讲开始我们将一起研究数学竞赛中经常出现的有关长方体和正方体的问题，帮助大家提高观察能力和空间想像能力，以及掌握解答问题的技巧和方法。这一讲我们进一步研究长方体和正方体的特征及展开图 例题选讲 例1:图1所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点F、点G分别与哪个点重合?【分析与解答】为了研究方便，我们将正方体六个面分别标上序号1、2、3、4、5、6，如果将l作为底面，那么4就是后面，5为右面，6为前面，2那么是左面，3就是上面，(如图2)
2、。从图中不难看出点F与点N，重合，点G与点S重合。还有一种方法就是动手制作一张展开图，折一折，结果就一目了然了，同学们不妨试试吧!例2:一只小虫从图l所示的长方体上的A点出发，沿长方体的外表爬行，依次经过前面、上面、后面、底面，最后到达P点。请你为它设计一条最短的爬行路线。【分析与解答】因为小虫在长方体的外表爬行，所以我们可以将长方体的前、后、上、下西个面展开成平面图形(如图2)。又因为在平面上“两点之间的线段长度最短，所以连接AP，那么线段AP为小虫爬行的最短路线。练习与思考 1.如以下图的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。如果将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点B、点D分别与哪
3、个点重合?2.如以下图的是一个棱长3厘米的正方体木块，一只蚂蚁从A点沿外表爬向B点。请画出蚂蚁爬行的最短路线。问：这样的路线共有几条?3.将一张长方形硬纸片，剪去多余局部后，折叠成一个棱长为l厘米的正方体。这张长方形硬纸片的面积最小是多少平方厘米?4.一块长方形的铁皮，长28厘米，在这块铁皮的四角各剪下一个边长为4厘米的小正方形，然后通过折叠、焊接做成一个无盖的长方体盒子。这个盒子的容积是960立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。5.如以下图的是一个正方体木块的外表展开图，假设在正方体的各面填上数，使其对面两数之和为7，那么A、B、c处填的数各是多少?第二讲 长方体和正方体的外表积 在数学竞赛中
4、，有许多问题涉及到长方体和正方体外表积的计算。这些知识不仅有趣而且具有一定的实用性和思考价值。解答长方体和正方体外表积的问题时，需要同学们具备较强的观察能力、作图能力以及空间想像能力，另外还要掌握一些解题的思路和技巧。例题选讲 例1:一个长方体，前面和上面的面积之和是88平方厘米，这个长方体的长、宽、高是以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的外表积。【分析与解答】要求长方体的外表积，就要求长方体的长、宽、高。根据题意，前面与上面的面积之和是88平方厘米，也就是长高+长x宽=88，即长(高+宽)=88因为长、宽、高都是质数，我们把88分解质因数得88=1l222，依题意，11不能分成两个质
5、数和，经试验，有两种情况符合条件，(1)ll(3+5)：88 (2)2(41+3)一88，因此长方体的外表积可以有两种情况。解：88112X22，222：3+5，112241+3。长方体的外表积：(1)(113+1l5+53)2=206(平方厘米)(2)(23+2x4l+413)2422(平方厘米)例2:如图，将3个外表积都是24平方米的正方体木块粘成一个长方体，求这个长方体的外表积。【分析与解答】仔细观察图形，不难看出3个正方体块粘成1个长方体，共有2个粘接处，每一处都有2个面粘在一起，两处共粘去4个面，因此粘成的长方体的外表积等于(634)个面的面积，即246(6 x34)=56(平方厘米
6、)。例3:如以下图的是用19个棱长为1厘米的正方体堆起来的立体图形，其中有一些正方体看不见，那么这个立体图形的外表积是多少?【分析与解答】仔细观察图形，虽然这个立体图形是不规那么的，但是从前面看到的面与从后面看到的面个数是相等，同理从左、右看到的面个数是相等的，从上、下看到的面是一致的，所以这个立体图形的外表积等于(前面十上面+左面)2，即(10+9+8)2=54(平方厘米)。练习与思考 1.有一个长方体，前面和上面两个面面积和为209平方厘米，并且长、宽、高都是以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的外表积。2.将两个长都是8厘米，6厘米，高都是5厘米的长方体拼成一个大长方体，那么这个大
7、长方体外表积最大是多少平方厘米?3.如以下图的是由17个边长是1厘米的小正方体拼成的立体图形，求它的外表积。4.有一个长方体,长是8厘米,宽是4 厘米，高是6厘米，把它截成棱长是2厘米的假设干个小正方体，这些小正方体外表积之和比原来长方体的外表积增加了多少平方厘米?共凿小长方体 3 个，即 43=12(立方厘米)，而实际上由于正中间相交，重复凿去了 2 个 1 立方厘米的正方体小块，因此，这个物体的体积是 44412+12=54(立方厘米)。练习与思考 1 把一个长方体的长平均分成 4 段，每段长 6 厘米，外表积增加 24 平方厘米，求原长方体的体积。2 用大小相等的两个正方体积木拼成一个长
8、方体，这个长方体的棱长总和是 80 厘米，每个正方体的体积是多少立方厘米?3如图，在一个棱长为 20 厘米的正方体木块的前面、上面、右面中心位置，分别凿一个边长为 4 厘米的正方形小孔直至对面，做成玩具，求这个玩具的 4 一个长方体，它的前面和上面的面积之和是 156 平方厘米，并且长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少?5一个外表积是 36。平方厘米的长方体，它恰好可以切成两个相同的正方体，每个小正方体的体积是多少立方厘米?6 一个长方体，它的底面是一个正方形，它的外表积是 190 平方厘米，如 果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，那么两个长方体的外表积之和是240 平方厘米，求
9、原来长方体的体积。第四讲 水面高度变化和等积变换 水面高度变化问题是涉及长方体和正方体体积计算的变题，是指把一个物体放入盛水的长方体或正方体容器中，水面将上升；或者把一个物体从盛水的长方体和正方体容器中取出，水面会下降一类的问题。解答时，同学们要仔细观察水面高度变化的现象，发挥空间想像力，发现体积变化的规律，从而解决实际问题。等积变换问题指的是物体经过熔铸、变换，改造成另一种形状的物体，虽然形状变了，但是体积没有发生变化。解答时，应该抓住体积不变这一突口，再根据实际问题进行认真分析，从而寻求解决问题的方法。例题选讲 例 1:在一个长 25 分米，宽 20 分米的长方体容器中，有 15 分米深的
10、水。如果在水中沉入一个棱长是 50 厘米的正方体铁块，那么容器中水深多少分米?、【分析与解答】根据题意，正方体铁块沉入长方体容器中后，水面会上升，而上升局部的水的体积与 正方体铁块的体积相等，因此就可以求出上升局部水的高度，那么现在的水深就迎刃而解了。解：50 厘米一 5 分米 5(25X20)+15 =O25+15 =1525(分米)答：容器中水深 1525 分米。例 2:一个长方体水箱，底面是一个边长为 50 厘米的正方形。水箱里直立着一个高10 分米，底面边长是 25 厘米的长方体铁块，这时水箱里的水深 6 分米。现在把铁块轻轻地向上提起 20 厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的局部长
11、 多少厘米?【分析与解答】露出水面的铁块上被水浸湿的局部包括向上提起的 20 厘米和铁块提起后水面下降的高度两局部。而下降局部水的体积就等于提起的 20厘米的铁块的体积，因此水面下降的高度就可以用高 20 厘米的铁块体积除以水箱的底面积求得。解：252520(5050)+20 =5+20 =25(厘米)练习与思考 1在一个长 20 分米，宽 15 分米的长方体容器中，有 20 分米深的水。现在在水中沉入一个棱长 15 分米的正方体铁块，这时容器中的水深多少分米?2一个长方体容器，长 90 厘米，宽 40 厘米。容器里直立着一个高 1 米，底面边长是 15 厘米的长方体铁块，这时容器里的水深 0
12、5 米。3一个棱长 6 分米的正方体容器，装满了水。现将正方体容器里的水倒人一个长 12分米，宽 6 分米，高 5 分米的长方体水槽中，求现在长方体水槽中水面到水槽口的距离。4现在把铁块轻轻向上提起 24 厘米，那么露出水面的铁块上被水浸湿的局部长多少厘米?5一个长方体水箱，从里面量长 8 分米，宽 6 分米。先倒入 165 升水，再浸入一块棱长 3 分米的正方体铁块，这时水面离水箱口 1 分米。问：这个水箱的容积是多少?6在一个长 15 分米，宽 12 分米的长方体容器中，水深 10 分米。如果在水中浸入一个棱长是 30 厘米的正方体铁块，那么，容器中水深多少分米?7有大、中、小三个底面是正
13、方形的水池，它们底面的边长分别是 5 米、3 米、2 米，把两堆碎石分别沉人中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高 6 厘米和 4厘米。如果将这两堆碎石都沉人大水池的水里，大水池的水面升高多少厘米？8一个长方体容器里面装有水，一块棱长 24 厘米的正方体铁块浸没在水中。现将铁块取出，水面下降 18 厘米；如果将一个长 18 厘米，宽 16 厘米，高 12 厘米的长方体铁块浸入水中：水面将上升多少厘米?第五讲 列方程解题 有数量关系比拟复杂的应用题，特别是需要逆向思维的应用题，运用算术方法解答比拟困难，如果列方程解答，通过设未知数，把未知数当作数来 考虑数量 关系，抓住数量之间的相等关系，列出
14、方程式解答就比拟容易了。例题选讲 例 1：御苑小学五(3)班的同学合买一件生日礼物送给班主任。如果每人出 8 元，就多 84 元，如果每人出 6 元，那么就少 12 元，御苑小学五(3)班有多少名学生?【分析与解答】从给出的条件分析，用算术方法解答问题有些困难，似乎数量关系不明显，但深入分析可以看出同学们买的是同一件生日礼物，因比价格是一定的，即每人出 8 元表示的总价与每人出 6 元表示的总价相等，可以列出以下方程式解答。解：设御苑小学五(3)班有 x 名学生。8x-84=6x+12 8x 一 6x=12+84 2x=96 x=48 答：御苑小学五(3)班有 48 名学生。例 2：胜利大队粮
15、库里的大米是面粉的 2 倍，现在用卡车运走，每辆卡车装 4 吨大米和 3 吨面粉，当面粉运完时，还剩 2 0 吨大米，粮库里原来有大米和面粉共多少吨?【分析与解答】这道题的未知数量比拟多：有大米、面粉的重量和卡车的数量，那么设哪个未知数为 x 比拟适宜呢?我们仔细分析一下等量关系，容易看出运大米的卡车数量与运面粉的卡车数量相等，如果设面粉有 x 吨，那么大米有 2x 吨，根据卡车数量相等可以列出方程(2x 一 20)4=x3 再进一步分析条件，可以看出另一个等量关系，即大米的重量等于面粉重量的 2 倍。我们设有 x 辆卡车，根据等量关系可列出方程：4x+20=3x2 比拟两种方法，发现后一种方
16、法列出的方程式比拟容易解答。练习与思考 1爸爸带一些钱去买酸奶，如果买 1 O 瓶就剩下 4 元，如果买 12 瓶同样的酸奶那么差 5.2 元。问：每瓶酸奶多少元?爸爸带了多少钱？2.滨江小学体育室里的篮球是足球的 3 倍。体育课上，每班借 8 只篮球、5 只足球，足球借完时还有 84 只篮球。问：体育室原来有篮球和足球共多少只?。3.某校五、六年级的学生乘公交车去秋游。如果每车坐 60 人，那么有 20 人没有座位；如果每车多坐 5 人，那么有一辆车空出 45 个座位。请问：一共有多少辆公交车?五、六年级去秋游的学生一共有多少人?4.一条船从甲港到乙港顺流丽下，再从乙港返回共用了 8 小时，
17、这船在静水中的速度是每小时，20 千米，水流速度是每小时 5 千米。请问：甲、乙两港之间的距离是多少千米?5.4 个人的年龄之和是 77 岁，最小的是 10 岁，他与年龄最大的人的年龄之和比其他两人的年龄之和大 7。问：年龄最大的人是多少岁?6.一个两位数，十位数上的数字是个位上数字的 15 倍，如果调换十位与个位上的数字，那么新数比原数小 18，求原来的数。7.甲每分钟走50 米，乙每分钟走 60 米，丙每分钟走 70 米，甲、乙从 A 地出发，丙从 B 地出发，丙遇到乙以后 2 分钟又遇到甲，求 A、B 两地的距离。第六讲 假设法解题“假设法是解决问题常用的一种思维方法，是指在解决问题的过
18、程中，根据题目的条件或结论作出某种假设，然后根据假设进行推算，当出现矛盾时，那么分析矛盾产生的原因，并对照条件进行适当调整，最后找到解决问题的方法。例题选讲 例 1:有 5 元和 10 元的邮票共 20 张，总面值 125 元。问：5 元的和 10 元的邮票各多少张?【分析与解答】假设 20 张邮票都是 10 元的，总面值应该是 1020 一 200(元)，而实际上只有 125 元，实际比假设少20012575(元)，仔细分析一下为什么比假设少75元呢?原因就是把5元的邮票当作10元算的、，每张就多算 10-5=5(元)，因此可以求出 5 元的邮票张数 755=15(张)那么 10 元的邮票张
19、数为 2015=5(张)。解：(1020125)(10 一 5)=755=15(张)5 元的邮票张数 20-15=5(张)10 元的邮票张数 答：5 元的邮票 15 张，10 元的邮票 5 张。请同学想想如果假设 2 张邮票都是 5 元的应该如何解答呢?例 2:中央百货公司委托搬运公司送 1000 只茶杯，双方签订合同每只运费是 O.3 元如果打破 1 只，不但不付运费，而且还要照价赔偿 15 元。结果搬运公司共得运费 291元。问：搬运公司在搬运过程中打破了几只茶杯?【分析与解答】假设在搬运过程中没有茶杯被打破，那么应该得运费 O3 x 1000=300(元)，而实际上却少得了运费(3002
20、91)=9(元)，原因是打破了几只茶杯，每打破 1 只不但拿不到运费，还要赔偿，所以打破 1只就损失：03+15=18(元)，因此在搬运过程中打破了 918=5(只)。解：(O3X1000291)(O3+15)=918 =5(只)答：在搬运过程中打破了 5 只茶杯。练习与思考 1笼中共有鸡兔 100 只，鸡兔共有 280 只脚。问：鸡兔各有多少只?2某搬运站为某商店运 800 只花瓶，运费为每只 3 元，如果损坏一只，不但不给运费还要照价赔偿 5 元，结果搬运站共得运费 2352 元。问：搬运公司在搬运过程中打破几只花瓶?3松鼠爸爸采松子,晴天可以采 30 个,雨天只能采 20 个，它一连几天
21、共采了 240 个松子，平均每天采 24 个。问：这几天当中有几个晴天?几个雨天?4甲、乙两人进行投飞镖比赛，规定每中一次记 10 分，脱靶一次扣 6 分，两人各投 l0 次，共得 152 分，其中甲比乙多 16 分。问：甲、乙两人各投中几次？5蜘蛛有 8 只脚，没有翅膀，蜻蜓有 6 只脚和 2 对翅膀，蝉有 6 只脚和 1 对翅膀，现在这三种小动物共 78 只脚，13 对翅膀。问：每种小动物各有几只?6甲仓库存粮是乙仓库的 2 倍，甲仓库每天运出 40 吨，乙仓库每天运出 30 吨，假设干天后，乙仓库的粮食运完了，甲仓库还有 80 吨。问：甲、乙两个仓库原来各有粮食多少吨?7一堆硬币：面值为
22、 1 分、2 分、5 分三种，其中 1 分的个数是 2 分的 ll 倍，如果这堆硬币共 1 元，那么 5 分硬币有多少个?8某班同学参加学校的数学竞赛，试题共 50 道。评分标准是：答对 l 题给 3 分，不答给 1 分，答错倒扣 1 分。请你说明：该班同学得分总和一定是偶数。第七讲 代换法解题 在一些较复杂的应用题中，经常会出现两个或两个以上的未知量，但是这些未知量是有一定的逻辑关系的。解题时，可以用其中一个未知量通过等量代换，代替其它未知量，从而使复杂的问题变得简单，这种解题的方法称为代换法。例题选讲 例 1:一个足球的价格等于两个篮球的价格，也等于三个排球的价格，还等于一个篮球加一个排球
23、和一个垒球的价格。那么一个足球等于多少个垒球的价格?【分析与解答】这道题条件比拟多，我们把条件摘录如下，列出等式：1 个足球：2 个篮球，1 个足球=3 个排球，一个足球=1 个篮球+1 个排球+1 个垒球，由此可以推出 2 个篮球=3 个排球，即 1 个篮球：1 5个排球，又 1 个篮球：1 个排球+1 个垒球，所以 1个垒球一 O5 个排球，即 2 个垒球=1 个排球，因此 1 个足球=23=6(个)垒球。例 2:5 只同样的红球和 18 只同样的绿球共重 396 克，1 只红球和 3 只绿球的重量相等，求每只红球和每只绿球各重多少克?【分析与解答】摘录条件：(1)5 只红球+18 只绿球
24、=396，(2)1 只红球=3 只绿球，由(2可得 5 只红球=15 只绿球，因此用 15 只绿球代替1中 5 只红球可得 15 只绿球+18 只绿球=396，即 33 只绿球=396，所以每只绿球=396(15+18)=12(克)，每只红球的重量=123=36(克)。同学们想一想用几只同样的红球可以代换 18只绿球，又如何计算呢?例 3:甲、乙、丙三人，甲的年龄比乙的 2 倍大 3 岁，乙的年龄比丙的 2 倍小 2 岁，三人年龄之和是 109 岁。问：三人各几岁?【分析与解答】摘录条件(1)甲=2 乙+3，(2)乙=2丙-2，由(2)可得 2 乙=4 丙-4，又根据(1)可得甲=4丙=1，如
25、果甲正好是丙的 4 倍，乙正好是丙的 2 倍，那么年龄和应是(109+l+2)=112(岁)，也就相当于 丙的(4+2+1)倍，因此丙的年龄=1127=16(岁)。乙的年龄：16X22=30(岁)，甲的年龄=302+3=63(岁)。练习与思考 1.2 只红球与 4 只蓝球的重量相等，3 只蓝球的重量等于 1 只红球加 1 只黑球的重量，那么几只黑球的重量等于 3 只红球加 4 只蓝球的重量?2.百货商店运来 400 双球鞋，分别装在 2 个木箱和 6 个纸箱中，如果 2 个纸箱同 1个木箱装的鞋一样多，那么每个木箱和每个纸箱各装多少双鞋?3.有红、黄、蓝三色笔共 94 枝，红色笔比黄色笔的 2
26、 倍少 2 枝，黄色笔比蓝色笔的2 倍多 4 枝，求三色笔各多少枝?4.一批货物，如果用大号集装箱要 20 只箱子，如果用小号集装箱装，要 25 只箱子，大号箱比小号箱可多装货物 200 千克，求这批货物重多少千克?5.学校图书馆购置 5 本科技书和 3 本文学书共用去 1475 元，如果用 1 本文学书换回 2 本科技书，那么还要用去 73 元。问：科技书和文学书每本的价格各是多少元?6.甲、乙、丙、丁四个数的和是 325，如果甲加上 lO，乙减去 5，丙乘以 2，丁除以3，那么四个数恰好相等，求丁数。7.甲、乙两数之差是 1782，如果将乙的小数点向右移动两位就与甲数相等。求甲、乙两数分别
27、是多少?第八讲 消去法解题 有些较复杂的应用题，给出了两个或两个以上的未知量，在解题时除了运用前一讲代换法来解答，还可以运用另一种方法消去法。消去法解题是指在求多个未知量时，通过比拟条件，分析对应未知数量的变化情况，设法消去其中一个未知量，使复杂问题简单化。例题选讲 例 1:妈妈第一次买了 3 千克苹果和 5 千克桔子，共用去 145 元；第二次又买了 3千克苹果和 7 千克桔子，共用去 185 元。苹果和桔子的单价各是多少元?【分析与解答】根据条件写出以下数量关系式：3 千克苹果的价格+5 千克桔子的价格=145 元 3 千克苹果的价格+7 千克桔子的价格=185 元 比拟、两个等式，我们可
28、以看出，145 元与 185 元的差价正好是(75)千克桔子的价格。因为两次买的苹果重量相同，根据这个条件，在解答时可以把 3 千克苹果的价格消去，先求桔子的价格，再求苹果的价格。解：(185145)(75)=42 =2(元)桔子的单价 (14525)3 =453 =15(元)苹果单价 答：苹果的单价是 15 元，桔子的单价是 2 元。例 2:紫金小学买了 4 个足球和 12 个篮球，一共用去 980 元，育才小学买了同样的 8 个足球和 10 个篮球，一共用去 1 1 90 元。每个足球和每个篮球各多少元?【分析与解答】先列出数量关系式。4 个足球的价钱十 12 个篮球的价钱=980 元 8
29、 个足球的价钱+10 个篮球的价钱=1190 元 与例 1 比拟、两个等式中没有相同数量的量，这样就不能直接消去其中的一个未知量。那怎么办呢?仔细观察比拟、两个数量关系式，不难看出式中足球数量是式中足球数量的2 倍，如果把式中未知量的数量扩大 2 倍，问题就迎刃而解了。解：根据条件可得 8 个足球的价钱+24 个篮球的价钱：1960 元 (1960 一 1190)(24 一 lO)=77014 =55(元)篮球的单价 (9805512)4 =3204 =80(元)足球单价 答：每个足球 80 元，每个篮球 55 元。练习与思考 1.食堂第一次运来 6 袋大米和 4 袋面粉，一共重 400 千克
30、，第二次又运来 9 袋大米和 4 袋面粉，一共重 550 千克。每袋大米和每袋面粉各重多少千克?2.小明和小刚去商店买文具用品，小明买了 1 枝钢笔和 2 块橡皮共用去 14 元，小刚买同样的 2 枝钢笔和 8 块橡皮共用去 36 元。问：钢笔和橡皮的单价各是多少元?，3.文峰水果超市购置 5 筐苹果和 7 筐梨共重 135 千克，第二天又购置了同样的苹果 3筐、梨 5 筐共重 85 千克。问：每筐苹果和每筐梨各多少千克?4.学校买来 5 包科技书和 7 包故事书共 620 本，6 包科技书和 3 包故事书 420 本。问：每包科技书和每包故事书各多少本?第九讲 作图法解题 图形具有直观性，用
31、作图的方法可以将复杂应用题的数量关系直观地表示出来，使题目的条件和所求问题一目了然，并借助直观的图形进行分析、推理，进而很快找到解决问题的策略。这种方法我们称为作图法解题，特别是对解答条件复杂、数量关系不明显的应用题，能起到化难为易的作用。例题选讲 例 1:鸡与兔同笼共 100 只，一共有 240 只脚鸡与兔各多少只?【分析与解答】这是鸡兔同笼问题，我们在前几讲已学会用其它方法解答，现在用作图法来解答，让同，学们体会一下这种方法的作用。图 1 中两个长方形的总面积表示的是鸡与兔脚的总个数，宽表示每只鸡与兔的脚的个数。那么长就是要求的鸡与兔 的只数。仔细观察图 2，阴影局部的面积表示鸡与兔多出的
32、脚，它应该等于总面积减空白面积，即 2402 x 100=40(只)，那么阴影局部的长，也就是兔的只数应为 40(42)=20(只)，鸡的只数就是1OO-20=80(只)例 2:甲、乙两车同时从 A、B 两地相向开出，第一次相遇时离 A 地有 90 千米，然后各按原速度继续行驶，到达目的地后立即沿原路返回，第二次相遇时离 B 地 70 千米处，求 A、B 两地的路程。【分析与解答】求 A、B 两地的路程，题中既没有给出甲、乙 的速度，也没有给出相遇时间，解答比拟困难。下面我们借助 线段图来帮助分析。从图上可以看出，甲、乙两车从出发到第一次相遇共行驶了一个全程，当两车共行驶 1 个全程时，甲车行
33、驶了 90 千米。从第一次相遇到第二次相遇，甲、两车又共行驶了 2 个全程。因此从出发到第 l 二次相遇甲、乙两车共行驶了 3 个全程，那么甲车就行驶了 3 个 90 千米，即903=270 千米，而甲车比全程多行 70 千米。所以A、B 的距离为 27070=200(千米)。练习与思考 1.有 10 分和 20 分的邮票共 18 张，总面值为 280 元。请问：10 分和 20 分的邮票各有几张?2.张红与李明同时从甲、乙两地相向而行，第一次两人相遇时离乙地 400 米。然后两人继续步行，各自到达目的地后立即返回，第二次相遇时离甲地 200 米，求甲、乙两地的距离。3.两根同样长的电线,第一
34、根用去 60 米，第二根用去 20 米，剩下的电线，第二根的长度是第一根的 3 倍。问：原来两根电线各长多少米?(先画图再列式计算)4.在一个除法算式里，被除除以除数商是 25，余数是 10，被除数、除数、商与余数的和是 357，除数是多少?5.甲、乙、丙、丁四个数，甲、乙、丙三个数的总和是 300，丁数比甲、乙、丙、丁四个数的平均数少 30，求丁数。6.甲、乙两车同时从 A、B 两地相向而行，第一次相遇时离 A 地 50 千米，相遇后继续按原速度行完全程，到达目的地后返回，第二次相遇时离 A 地 25 千米。问：A、B两地距离是多少千米?7.一辆汽车从甲地开往乙地，往返共用 20 小时，去时
35、用的时间是回来时的 15 倍，去时的速度比回来的速度每小时慢 12 千米。问：往返共行了多少千米?第十讲 倒推法解题 在我们生活中经常会遇到“复原问题，如把一盒包装精美的玩具翻开，再把它重新包装好，重新包装的步骤与翻开的步骤正好相反。其实在数学中，也有许多类似的复原问题。解决这类问题最常用的方法就是倒推法，即从结果入手，逐步向前逆推，最终找到原问题的答案。例题选讲 例 1:有一群猴子分吃桃子，第一只拿走半，第二只拿走余下的一半多 3 个，第三只拿走第二只取剩的一半少 3 个，第四只拿走第三只取剩的一半多 3 个，第五只拿走第四只取剩的一半，最后还剩 3 个，这堆桃原来有多少个?【分析与艉答】l
36、|这道题条件比拟多，顺向思考很困难,如果根据最后的结果倒推复原，解决起来就轻松了。曲于第五只猴子拿走余下的一半，还剩 3 个，所以第五只猴子拿之前应该有桃子：32=6(个)，同理，第四只猴子拿之前应该有桃子：(6+3)2=18(个)，第三只猴子拿之前应该有桃子：(183)2=30(个)，第二只猴子拿之前应该有桃子：(30+3)2=66(个)，第一只猴子拿之前应该有桃子：662=132(个)，即这堆桃有 132 个。例 2:甲、乙、丙三人各有假设干元钱，甲拿出与乙相同多的钱给乙，也拿出与丙相同多的钱给丙；然后乙也按甲和雨手中的钱分别给甲、丙相同的钱；最后丙也按甲和乙手中的钱分别给甲、乙相同的钱，
37、此时三人都有 48 元钱。问：开始时三人各有多少元钱?【分析与解答】从第三次丙给甲、乙钱逐步向前推算，根据三人最后都有 48 元，那么在丙给甲、乙添钱之前：甲：482：24(元)，乙：48224(元)，丙：48+24+2496(元)；第二次在乙给甲、丙添钱之前：甲：24212(元)，乙：24+12+48=84(元)，丙：962=48(元)；第一次在甲给乙、丙添钱之前：甲：12+42+2478(元)，乙：842=42(元)，丙：482=24(元)。所以开始时甲有 78 元，乙有 42 元，丙有 24 元。例 3:甲、乙、丙三人共有 48 张邮票，第一次甲先拿出与乙的邮票数相等的张数给乙；第三次乙
38、拿出与丙的邮票数相等的张数给丙；第三次丙又拿出与这时的甲的邮票数相等的张数给甲，最后三人的邮票数相等，三人原来各有多少张邮票?【分析与解答】此题条件复杂，因此我们可以用列表的方法，从最后的果一步步按每次的变化倒推，这样就容易看清题中的数量关系了。列表如下：练习与思考 1.张强去银行取款，第一次取了存款的一半多 100 元，第二次取了余下的一半少 50元，第三次取了余下的一半多 50 元，这时他的存折上还剩下 575 元。问：张强原来 有存款多少元?2.书架上有上、中、下三层书，共 2400 本一先从上层拿出与中层同样多的书放进中层，再从中层拿出与下层同样多的书放进下层，最后从下层拿出与上层现在
39、同样多的书放进上层，这时三层书同样多。问：开始时，上、中、下三层各有多少本书?3.做一道整数加一个学生把个位上的 7 看作 5，把十位上的 5 看作 7，把百位上的 9看作 6，结果得出和为 775。问：正确的答案应该是多少?4.有 26 块砖，兄弟两人争着去挑,弟弟走在前面，刚摆好砖哥哥赶来了。哥哥见弟弟挑得太多，就拿来一半给自己。弟弟觉得自己能行，又从哥哥那里拿来一半。哥哥不让，弟弟只好给哥哥 5 块，这样哥哥比弟弟多挑 2 块。问：开始时，弟弟准备挑多少块?5.甲、乙、丙三个瓶子共装了 24 升水,现在把甲瓶的水分别倒给乙、丙两瓶，使乙、丙两瓶的水比原来增加 1 倍；之后，又将乙瓶的水按
40、上面的要求倒给甲、丙；最后，再按上面的要求将丙瓶的水倒一局部给甲、乙两瓶，这样倒了三次后，三个瓶中的水一样多。问：开始时甲、乙、丙三瓶各装水多少升?第十一讲 分数大小的比拟 在分数计算中经常要比拟分数的大小，同学们已经知道根据分数的根本性质，可以将两个异分子分母的分数变为分子相同或分母相同的情况进行比拟。但在有些时候比拟两个分数的大小，要根据分数的具体情况采取灵活的方法来比拟它们的大小，这一讲我们就来研究比拟分数大小的方法。例题选讲 例1:比拟 1233、511 和217，这三个分数中最大的是哪一个分数?最小的是哪一个分数?【分析与解答】仔细观察这三个分数，分子、分母都不相同，如果把它们通分比
41、拟当然可以，但较麻烦。再看分5子，都是60的约数，因此可以根据分数的根本性质将这三个分数化成分子都是60的分数，再进行比拟 解：1233=60165，511=60130，217=60510 因为60130 60165 60510 ，所以 511 1233 60510 ，即 511 最大，217 最小。例3:比拟右两个分数的大小：3340 和3241。【分析与解答】观察这两个分数，它们的分子和分母都不相同，用分数的根本性质把它们变为分子相同或分母相同来比拟都很麻烦。这时我们可以借助一个中间数“3240 作为“桥梁进行间接比拟。解：因为3340 3240 ，而3240 3241 ，所以3340 3
42、241。练习与思考 1把下面各组中的分数按从大到小的 顺序排列：3027、1513、2017、1211 2 45 7 12 ，中可以填人的最大整数是多少?最小整数是多少?3比拟以下两个分数的大小：613 和815。4比拟444443444445 和555554555556 的大小。5写出三个大于16 而小于15 的最简真分数。6在分数25、511、817、2041 中，最大的是哪一个分数?最小的是哪一个分数?第十二讲 分数求和的解题技巧 在数学竞赛中，常常遇到一些分数求和的问题。当然，这些求和的问题并不是只用一般通分的方法就能解决的。这一讲我们来研究一些特殊的分数求和的解题技巧。例题选讲 例1
43、:先观察以下各式的特点，找出规律再解答以下各题。112+14+18+116 213+16+112+124+148 【分析与解答】仔细观察这两组算式，不难发现从第二个分数开始，每个分数都是前一个分数的一半，如果加上与它相同的分数就得到前面的分数了。因此我们可以借一个分数先加，最后再减去。如第(1)小题借 116 逐次往左递加就得到2个 12，最后第(1)题结果就是 12 2116=1516 同学们想一想，第(2)题该如何解答?例2:从计算了前五道算式的结果中找出规律，填写出第六道算式的结果。13+23=1=22 16+26+36+46+56=212=52 14+24+34=112=32 17+2
44、7+37+47+57+67=3=62 15+25+35+45=2=42 18+28+38+48+58+68+78=？【分析与解答】上面六道算式是求分母为3、4、5、6、7、8的所有真分数的和。观察计算结果，不难发现分母增加1，结果就递增12，如果每题结果都用2做分母，于是我就可以看出，分母是几的所有真分数的和都可以写成以2为分母，分子是比分母少1的分数。因此第六道算式的结果为 72。练习与思考 1计算以下各题：112+14+18+116+132+164 2112 14 18 116 132 2计算：1100+2100+3100+99100 3计算：111024+21512+41256+2561
45、4+51212 412+13+14+120+23+24+220+34+35+320+1819+1820+1920 第十三讲 平均数 专题简析 把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的输就是平均数。如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？下面的数量关系必须牢记：平均数=总数量总份数 总数量=平均数总份数 总份数=总数量平均数 例 1 某 3 个数的平均数是 2，如果把其中一个数改为 4，平均数就变成了 3，被改的数原来是多少？分析解答：原来三个数的和是 23=6，后来个数的和是 33=9，9 比 6 多出了 3，是因为把那个数改成了 4，因此，
46、原来的数应该是 4-3=1。33-23=3 4-3=1 答：被改的数原来是 1。随堂练习：1、九个数的平均数是 72，去掉一个数后，余下数的平均数是 78，去掉的数是多少？2、有五个数，平均数是 9，如果把其中的一个数改为 1，那么这五个数的平均数为 8。这个改动的数原来是多少？例 2 把五个数从小到大排列，其平均数时 38，前三个数的平均数是 27，后三个数的平均数是 48，中间一个数是多少？分析解答：先求五个数的和：385=190。在秋初前三个数的和：273=81，后三个数的和：483=144。用前三个数的和加上后三个数的和，这样，中间的那个书就算了两次，必然比 190 多，而多出的局部就
47、是所求的中间的一个数。273+483-385=35 答：中间一个数是 35。随堂练习：1、甲、乙、丙三人的平均年龄为 22 岁，如果甲乙的平均年龄是 18 岁，乙丙的平均年龄是 25 岁，那么乙的年龄是多少岁？2、十名参赛者平均分是 82 分，前 6 人的平均分是 83 分，后 6 人的平均分是 80分，那么第 5 人和第 6 人的平均分是多少分？拓展训练 1、化肥厂在一星期前 3 天平均每天生产化肥 250 吨，后 4 天共生产化肥 1126吨，这个星期平均每天生产化肥多少吨？2、修一条渠，第一天修 3 小时，平均每小时修 4.5 千米;第二天修 5 小时,平均每小时修 5.3 千米,这两天
48、平均每天修多少千米?平均每小时修多少千米?第十四讲 倍数问题一 专题分析：倍数问题是数学竞赛中的重要内容之一，它是指几个数的和或者差以及几个数的倍数关系，求这几个数的应用题。解答倍数问题，必须先确定一个数通常选用较小的数作为标准数，即 1 倍数，再根据其他几个数与这个数的关系，确定“和或者“差相当于这样的几倍。最后用用除法求出 1 倍数。和数倍数1较小数 差数倍数1较小数 例 1 两根同样长的铁丝，第一根剪去 18 米，第二根剪去 26 米，余下的铁丝第一根是第二根的 3 倍。原来两根铁丝各长多少米？分析解答：这两根铁丝的差保持不变，而剩下的铁丝的差依然是原来铁丝的差。根据余下的铁丝第一根是第
49、二根的3 倍。那么余下的铁丝相差2倍。这样很容易计算第二根余下的铁丝是：2618314厘米 那么原第二根铁丝长 30 厘米。随堂练习：1、两根绳子一样长，第一根用去 6.5 米，第二根用去 0.9 米，剩下局部第二根是第一根的 3 倍。两根绳子原来各长多少米？2、一筐苹果和一筐梨的个数相同，卖掉 40 个苹果和 5 个梨后，剩下的梨是苹果的 6 倍。原来两筐水果一共有多少个？例 2 甲组有图书是乙组的 3 倍，假设乙组给甲组 6 本，那么甲组的图书是乙组的 5 倍。原来甲组有图书多少本？分析解答：甲组的图书是乙组的 3 倍，假设乙组拿出 6 本，甲组相应的也拿出 6318本，那么甲组仍是乙组的
50、 3 倍，事实上甲组不但没有拿出 18 本，反而接受了乙组的 6 本，这样 24 本正好对应后来两组的532倍。因此后来乙组的图书是：6365312本。那么原来乙组为 18 本，甲组就是 18354本。随堂练习：1、原来小明的画片是小红的 3 倍，后来二人个买了 5 张，这样小明的画片就是小红的 2 倍。原来二人各有多少张画片？2、一个书架分上下两层，上层的书的本数是下层的 4 倍，从下层拿出5 本放入上层后，上层的本数正好是下层的 5 倍。原来下层有几本书？拓展训练 1、幼儿园买来的苹果的个数是 梨的 3 倍，吃掉 10 个梨和 6 个苹果后，还有苹果正好是梨的 5 倍。原来买来苹果和梨共多