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1、山东省枣庄市山东省枣庄市 2021-20222021-2022 学年高二上学期期末数学试题学年高二上学期期末数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题一、单选题1,1，b 4,2,x，若a与b共线，则实数x的值为（）1已知向量a 2,A2B1C1D2y22双曲线 x21的渐近线方程是（）4Ax2y 0C2x y 0B2x y 0Dx 2y 03已知等差数列an，若a3 4，a510，则a1（）A1B1C2D34设an是等比数列，且a1 a2 a31，a2 a3+a4 2，则a6a7a8（）A12B24C30D325已知直线l1:axa2y10，l2:xay 2 0，若l1 l2，则实数
2、a的值是（）A0B2 或1C0 或3D36如图，在三棱锥 SABC中，点 E，F 分别是 SA，BC的中点，点 G 在棱 EF 上，且满足EG1，若SA a，SB b，SC c，则SG（）GF2111Aabc326111Cabc632111Babc362111Dabc3667已知直线l:x ym 0与圆x2 y2 4交于 A，B 两点，O为原点，且OAOB 2，则实数 m等于（）A 6B2C 3试卷第 1 页，共 5 页D 2x2y28已知点A,B在椭圆221(a b 0)上，M与A关于原点对称，MAB 90，abMB交y轴于点Q，O为坐标原点，OM OQ 2OQ，则椭圆的离心率为（）2A二、
3、多选题二、多选题12B22C32D639记等差数列an的前n项和为Sn，已知a5 3，S3 9，则有（）Aa1 5Ba4 0CS6 0DS3 S410下列选项正确的是（）A直线3mx4y33m 0mR恒过定点3,3B直线3x y 1 0的倾斜角为 150C圆x2 y2 4上有且仅有 3 个点到直线l:x y 2 0的距离都等于 1D与圆x2 y2 2相切，且在 x轴、y 轴上的截距相等的直线只有一条11在直三棱柱ABC A1B1C1中，BAC90，AB AC AA1 2，E,F分别是BC,A1C1的中点，D在线段B1C1上，则下面说法中正确的有（）2AEF/平面AA1B1BB若D是B1C1上的
4、中点，则BD EFC直线EF与平面ABC所成角的正弦值为2 55D直线BD与直线EF所成角最小时，线段BD长为3 22x2212已知双曲线C:2 y21a 0，若圆x2 y21与双曲线C的渐近线相切，a则（）A双曲线C的实轴长为 6试卷第 2 页，共 5 页B双曲线C的离心率e 2 33C点P为双曲线C上任意一点，若点P到C的两条渐近线的距离分别为d1，d2，则d1d234D直线y k1xm与C交于A，B两点，点D为弦AB的中点，若OD（O为坐标原点）的斜率为k2，则k1k2三、填空题三、填空题13过点A(2,1),B(3,3)的直线方程（一般式）为_.114已知抛物线方程为y x2，则其焦点
5、坐标为_41315已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 2，E、F 分别是棱AA1、A1D1的中点，点 P为底面 ABCD内（包括边界）的一动点，若直线D1P与平面 BEF无公共点，则点 P 的轨迹长度为_.四、双空题四、双空题16我国民间剪纸艺术在剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.现有一张半径为R的圆形纸，对折1次可以得到两个规格相同的图形，将其中之一进行第2次对折后，就会得到三个图形，其中有两个规格相同，取规格相同的两个之一进行第3次对折后，就会得到四个图形，其中依然有两个规格相同，以此类推，每次对折后都会有两个图形规格相同.如果把k次对折后得到的不同规格的图形面积和用Sk表示
6、，由题意知3R2S1，S2，则S4_；如果对折n次，则Sk_.42k1R2n五、解答题五、解答题17已知等差数列an的前n项和为Sn，且a2 3，S6 36(1)求数列an的通项公式；试卷第 3 页，共 5 页(2)若数列bn满足bn1nN，求数列bn的前n项和Tnanan118已知圆C的圆心在第一象限内，圆C关于直线y 3x对称，与x轴相切，被直线y x截得的弦长为2 7.(1)求圆C的方程；(2)若点P(2,1)，求过点P的圆的切线方程.19如图，PA平面 ABCD，四边形 ABCD是正方形，PAAD2，M、N分别是AB、PC的中点（1）求证：平面 MND平面 PCD；（2）求点 P到平面
7、 MND的距离20已知数列an中a11，数列an的前 n项和为Sn满足Sn1 2Sn n1.(1)证明：数列an1为等比数列；(2)在ak和ak1kN中插入 k个数构成一个新数列bn：a1，2，a2，4，6，a3，*8，10，12，a4，其中插入的所有数依次构成首项和公差都为2 的等差数列.求数列bn的前 50 项和T50.21如图，在四棱锥P ABCD中，PA面 ABCD，AB/CD，且CD 2，AB 1，BC 2 2，PA1，AB BC，N 为 PD 的中点.试卷第 4 页，共 5 页(1)求证：AN平面 PBC；1(2)在线段 PD上是否存在一点 M，使得直线 CM与平面 PBC所成角的
8、正弦值是.若存3在，求出DM的值，若不存在，说明理由.DPx2y222已知椭圆E:221a b 0的左焦点F1与抛物线y2 4x的焦点重合，椭ab32圆E的离心率为，过点Mm,0m 作斜率不为 0 的直线l，交椭圆E于A,B两42 5点，点P,0，且PAPB为定值4（1）求椭圆E的方程；（2）求OAB面积的最大值试卷第 5 页，共 5 页参考答案：参考答案：1D【解析】【分析】根据空间向量共线有b a，R，结合向量的坐标即可求x的值.【详解】2 4 2.由题设，有b a，R，则 2，可得x 2 x故选：D2C【解析】【分析】根据双曲线的标准方程，即可直接求出其渐近线方程.【详解】y2双曲线的标
9、准方程为 x21，4双曲线的焦点在y轴，a 2，b 1，且双曲线的渐近线方程为y 2x y 0.ax 2x，即b故选：C.3C【解析】【分析】利用等差数列的通项公式进行求解.【详解】设等差数列an的公差为d，因为a3 4，a510，a12d 4所以，a14d 10答案第 1 页，共 16 页a1 2.解得d 3故选：C.4D【解析】【分析】5根据已知条件求得q的值，再由a6a7a8 qa1a2a3可求得结果.【详解】2设等比数列an的公比为q，则a1a2a3 a11qq1，a2a3a4 a1qa1q2a1q3 a1q1qq2 q 2，567525因此，a6a7a8 a1q a1q a1q a1
10、q 1qq q 32.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题5C【解析】由l1 l2，结合两直线一般式有A1A2 B1B2 0列方程求解即可.【详解】由l1 l2知：aa(a2)0,解得：a 0或a 3故选：C.6D【解析】【分析】利用空间向量的加、减运算即可求解.【详解】11由题意可得SG SE EG SE EF SE SF SE332121 1SE SF SE SB SC3333 2答案第 2 页，共 16 页2 11111SASB SC abc.3 26366故选：D7A【解析】【分析】根据给定条件求出AOB，再求出圆 O到直线 l的距离即可计算作答.【详解】圆x
11、 y 4的圆心 O，半径r 2，因OAOB 2，则cosAOB 22OAOBOA OB12，而0AOB，则AOB 因此，d m23，即AOB是正三角形，点 O 到直线 l 的距离d 3，3，解得m 6，所以实数 m等于 6.故选：A8B【解析】【分析】由OM OQ 2OQ，得到t 得kABkMB【详解】设Ax1,y1,Bx2,y2,Q0,t，则Mx1,y1，由OM OQ 2OQ，可得y1t 2t，所以t 因为MAB 90，可得kAB 222x1y1y1k,k，结合MAB 90，得到AB，进而求MBy12x12b2b21 2，得出2，结合离心率的定义，即可求解.aa2y1，2xy1 1,kMB
12、kMQ1，kOAy12x12222x12y12x2y2x12 x2y12 y2 0，又由221,221，两式相减得a2b2abab2y1 y2y1 y2b2b 2，即kABkMB 2，即x1 x2x1 x2aa答案第 3 页，共 16 页又因为kABkMB 22222x1y11，所以b 1，即b1y12x12a22a22a2c21c2.又由b a c，所以，解得e 2a2a2故选：B.9ACD【解析】【分析】先由S3 9，以及等差数列的性质可得a2 3，d 公式，求和公式依次判断即可.【详解】由S3 a1 a2 a3 3a2 9，得a2 3，设等差数列an的公差为d，则有a5 a23d，所以d
13、 a5a23(3)2，33a5a2 2，然后根据等差数列通项3所以an a2(n2)d 3(n2)2 2n7，所以a1 27 5，a4 87 1 0，S6 6(5)652 0，2由S4 S3 a41 0，得S4 S3，故选：ACD.10AC【解析】【分析】答案第 4 页，共 16 页根据直线过定点、直线的倾斜角、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，3m34333m 93m1233m0，A 选项正确.B 选项，直线3x y 1 0的斜率为 3，对应的倾斜角为120，B 选项错误.C 选项，圆x2 y2 4的圆心为0,0，半径为2.圆心到直线x y2 0的距
14、离为221，所以圆x2 y2 4上有且仅有 3 个点到直线l:x y 2 0的距离都等于 1，C 选项正确.D 选项，圆x2 y2 2的圆心为2,0，半径为2.2直线y x的横纵截距相等，圆心2,0到直线x y 0的距离为22，所以y x与圆2x22 y2 2相切.22，所以yx与2直线yx的横纵截距相等，圆心2,0到直线x y 0的距离为圆x2 y2 2相切.所以 D 选项错误.故选：AC11ACD【解析】【分析】2由题意写出空间中的点的坐标，利用EF与平面AA1B1B法向量的数量积等于零可判断A；根据BDEF可判断 B；求出平面ABC的一个法向量，利用空间向量数量积求线面角可判断 C；利用
15、异面直线所成角的空间向量求法可判断D.【详解】由题意可得A0,0,0，B2,0,0，C0,2,0，B12,0,2，C10,2,2，E1,1,0，F0,1,2，设Dx,2 x,2，EF 1,0,2，BD x2,2 x,2，直三棱柱ABC A1B1C1中，BAC90，答案第 5 页，共 16 页可得AC为平面AA1B1B的一个法向量，AA1为平面ABC的一个法向量，对于 A，AC 0,2,0，EF AC 0，即EF AC，又EF 平面AA1B1B，所以EF/平面AA1B1B，故 A 正确；对于 B，若D是B1C1上的中点，则BD 1,1,2，所以EF BD 14 5，所以EF与BD不垂直，故 B
16、不正确；对于 C，由AA1为平面ABC的一个法向量，AA10,0,2，设直线EF与平面ABC所成角为，则sin cos EF,AA1EF AA1EF AA142 5C5，故正确；52对于 D，设B1D B1C12,2,0，01则BD BB1 B1D 2,2,2，BDEF 24cos BD,EF BDEFBD EF2522114235239当341时，即时，cos BD,EF取最大值，4231 1即直线BD与直线EF所成角最小，此时BD,2，2 2 BD BD 3 2，故 D 正确.2故选：ACD12BCD【解析】【分析】先求 C 的渐近线方程，由点到直线的距离可得圆心到渐近线的距离为半径解得a
17、，进而可判断 A；离心率定义可判断B 是否正确；设Px0,y0，求出d1,d2，即可判断 C；利用点差法可判断 D.答案第 6 页，共 16 页【详解】由题意知C的渐近线方程为xay 0，所以21a21，解得a 3，所以半焦距c 2，所以e 22 3，故 A 错误，B 正确；33，d2设Px0,y0，所以d1x03y02x03y02，所以d1d2x03y02x03y0222x03y043，故 C 正确；4设Ax1,y1，Bx2,y2，2x12x2221，所以 y11，y233x x(x x)两式相减，得1212y1 y2y1 y2 0，3x1 x2y1 y2 y y 0，x1 x2y1 y2k
18、1 0，所以123x1 x232x xy y所以12122k1 0，3222所以xD yD2k1 0，32yD2k1 0，所以2k22k1 0，所以3xD3所以k1k21，故 D 正确，3故选：BCD【点睛】22关键点点睛：（1）点在曲线上，进而点的坐标满足曲线方程，即x03y0 3；（2）利用“点差法”解决中点弦问题.134x5y 3 0【解析】【分析】利用两点式方程可求直线方程.【详解】答案第 7 页，共 16 页直线过点A(2,1),B(3,3)，化简得4x5y 3 0.故答案为：4x5y 3 0.140,1【解析】【分析】y 1x(2)y1x2，313(2)45先将抛物线的方程转化为标
19、准方程的形式x2 4y，即可判断抛物线的焦点坐标为p 0,，从而解得答案.2【详解】12解：因为抛物线方程为y x，即x2 4y，4所以2p 4，p 1，2所以抛物线的焦点坐标为0,1，故答案为：0,1.155【解析】【分析】取 BC中点 G，证明平面AD1G/平面BEF确定点 P 的轨迹，再计算作答.【详解】在正方体ABCD A1B1C1D1中，取 BC中点 G，连接AG,AD1,D1G，如图，答案第 8 页，共 16 页因 E、F 分别是棱AA1、A1D1的中点，则EF/AD1，而EF 平面BEF，AD1平面BEF，则有AD1/平面BEF，因BC/AD/A1D1，则BG/D1F，而BG D
20、1F，则有四边形BGD1F为平行四边形，有D1G/BF，又BF 平面BEF，D1G 平面BEF，于是得D1G/平面BEF，而AD1D1G D1，AD1,D1G 平面AD1G，因此，平面AD1G/平面BEF，即线段 AG 是点 P 在底面 ABCD内的轨迹，AG AB2BG222125，所以点 P 的轨迹长度为5.故答案为：516115R2R2k k1216【解析】【分析】12首先根据题意得到SkR1k2，再计算S4即可；根据题意得到Sk1nk11 1R21121k222，再利用分组求和法求和即可.【详解】3R2因为S1，S2，42R211 1k1 122 11所以SkR22kR2R21k122
21、22121 1522所以S4R14R.216，Sk1nk11 1R21121k222答案第 9 页，共 16 页1 1122Rk 2kR k 2221R2k k1.2115R2；R2k k1故答案为：21617(1)an 2n1；(2)Tn11122k112n.2n1【解析】【分析】（1）设等差数列an的公差为d，根据已知条件可得出关于a1、d的方程组，解出这两个量的值，即可求得数列an的通项公式；1 11（2）求得bn，利用裂项相消法可求得Tn.22n12n1(1)a1d 3a11a2 3解：设等差数列an公差为d，65S 36d 26a d 36612an12n1 2n1.(2)解：bn1
22、11，2n12n122n12n1211111Tn123352112n 12n 111n.122n 12n 118(1)x1y3 9(2)x 2或5x 12y 2 0【解析】【分析】（1）结合点到直线的距离公式、弦长公式求得a,b,r，由此求得圆C的方程.（2）根据过P的圆的切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得切答案第 10 页，共 16 页线方程.(1)由题意，设圆C的标准方程为：xayb r2,a 0,b 0，圆C关于直线y 3x对称，b 3a圆C与x轴相切：r b 3a点Ca,b到y x的距离为：d122ab12122a2a，2圆C被直线y x截得的弦长为2 7，r2
23、 d12结合有：9a2 2a27，a21，又a 0，7，2a1，r b 3a 3，22圆C的标准方程为：x1y3 9.(2)当直线l的斜率不存在时，x 2满足题意当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则方程为y 1 k(x2).又圆 C 的圆心为1,3，半径r 3，由3k 2k 123，解得k 5.125(x2)，即5x 12y 2 012所以直线方程为y 1 即 直线l的方程为x 2或5x 12y 2 0.19（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）作出如图所示空间直角坐标系，根据题中数据可得MN、ND、PD的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法算出平面MND、平面PCD的法向量分别为m
24、 (2，1，1)和n (0，1，1)，算出mn 0，可得m n，从而得出平面MND平面PCD；2 63（2）由（1）中求出的平面MND法向量m (2，1，1)与向量PD(0，2，2)，利用点答案第 11 页，共 16 页到平面的距离公式加以计算即可得到点P到平面MND的距离【详解】（1）证明：PA 平面ABCD，AB AD，AB、AD、AP两两互相垂直，如图所示，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，M(1，0，0)，N(1，1，1)，MN (0，1，1)，ND (1，1，
25、1)，PD(0，2，2)设m (x，y，z)是平面MND的一个法向量，mMN y z 0可得，取y 1，得x 2，z 1，mND x y z 0m (2，1，1)是平面MND的一个法向量，同理可得n (0，1，1)是平面PCD的一个法向量，mn 20(1)111 0，m n，即平面MND的法向量与平面PCD的法向量互相垂直，可得平面MND平面PCD；（2）解：由（1）得m (2，1，1)是平面MND的一个法向量，PD(0，2，2)，得PDm 0(2)2(1)(2)1 4，点P到平面MND的距离d|mPD|42 6|m|341120(1)证明见解析；(2)2735.答案第 12 页，共 16 页
26、【解析】【分析】(1)利用给定的递推公式结合“当n 2时，an SnSn1”计算推理作答.(2)插入的所有项构成数列cn，cn 2n，再确定数列bn的前 50 项中含有数列an和cn的项数计算作答.(1)依题意，Sn1 2Sn n1，当n 2时，Sn 2Sn1n，两式相减得：an1 2an1，则有an11 2(an1)，而a11，即a11 2，所以数列an1是以 2 为首项，2 为公式的等比数列.(2)nn由(1)知，an1 2，即an 2 1，插入的所有项构成数列cn，cn 2n，数列bn中a9前插入数列cn的项数为：1234567836，而a10前插入数列cn的项数为 45，因此，数列bn
27、的前 50 项中包含数列an前 9 项，数列cn前 41 项，所以T504128222 129129 2735.21(1)证明见解析(2)存在，且【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得AN/平面PBC.（2）设(1)设E是CD的中点，连接AE，由于AB/CE,AB CE,AB BC，所以四边形ABCE是矩形，所以AE AB，由于PA平面ABCD，所以PA AB,PA AE，答案第 13 页，共 16 页DM t，利用直线CM与平面PBC所成角的正弦值列方程，化简求得t.DPDM1DP2以A为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，1 1P0,0,1,B0,1,0,C 2 2,
28、1,0,D 2 2,1,0，N2,，2 2 PB 0,1,1,PC 2 2,1,1，设平面PBC的法向量为n x,y,z，nPB y z 0则，故可设n 0,1,1.nPC 2 2x y z 0AN n 0，且A平面PBC，所以AN/平面PBC.(2)DP 2 2,1,1，设DM t0 t 1，DP则DM tDP 2 2t,t,t，AM AD DM 2 2 2 2t,t 1,t，CM AM AC 2 2t,t 2,t，设直线CM与平面PBC所成角为，nCMn CM1，3则sin2t 222 2t2t 2t221，3两边平方并化简得4t216t 7 0，解得t 17或t（舍去）.22DM11.所
29、以存在M，使直线CM与平面PBC所成角的正弦值是，且3DP2x2222(1)y21（2）22答案第 14 页，共 16 页【解析】【分析】（1）由抛物线焦点可得 c，再根据离心率可得 a，即得 b；（2）先设直线方程 x=ty+m，根据向量数量积表示PAPB，将直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理代入化简可得PAPB为定值的条件，解出m；根据点到直线距离得三角形的高，利用弦公式可得底，根据面积公式可得关于 t的函数，最后根据基本不等式求最值【详解】试题解析：解：（1）设 F1（c，0），抛物线 y2=4x的焦点坐标为（1，0），且椭圆E 的左焦点 F与抛物线 y2=4x的焦点重合，c=1
30、，又椭圆 E 的离心率为2222，得 a=2，2x2于是有 b=a c=1故椭圆 的标准方程为：y212（2）设 A（x1，y1），B（x2，y2），直线 l的方程为：x=ty+m，x tym由2整理得（t2+2）y2+2tmy+m22=0，2x 2y 22tmm22，y1 y22,y1y22t 2t 255PA (x1,y1),PB (x2,y2)，4455525PAPB (x1)(x2)y1y2=x1x2(x1 x2)y1y2444165525=（t2+1）y1y2+（tmt）（y1+y2）+m2m21645(m2m)t2(m22)572m2m2t 221652m2mm22要使PAPB为定值，则，解得 m=1 或 m=（舍）23122 2(1t2)当 m=1 时，|AB|=1t|y1y2|=，2t 21点 O 到直线 AB 的距离 d=，1t22t2112 22 OAB面积 S=t 21t 11t222答案第 15 页，共 16 页当 t=0，OAB面积的最大值为2.2答案第 16 页，共 16 页