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1、2021-20222021-2022 学年山东省德州市高二上学期期末考试数学试题学年山东省德州市高二上学期期末考试数学试题一、单选题一、单选题1已知直线l1:mx 2y 1 0，l2:2x3y n 0，l1 l2，则 m值为（）A6【答案】C【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可；【详解】解：因为l1:mx 2y 1 0，l2:2x3y n 0且l1 l2，所以2m230，解得m 3；故选：C2已知a 4,1,2，b 2,x,1，若a/b，则实数x（）1A2B2C3D10B2C2D12【答案】D【分析】根据给定条件利用空间向量平行的坐标表示计算作答.【详解】因a 4,1,2，b 2
2、,x,1，又a/b，则所以实数x 故选：D3某学校要从 5 名男教师和 3 名女教师中随机选出3 人去支教，则抽取的 3 人中，女教师最多为 1 人的选法种数为（）A10【答案】C【分析】可分为女教师 0 人，男教师3 人和女教师 1 人，男教师2 人两种情况，用组合数表示计算即得解【详解】女教师最多为 1 人即女教师为 0 人或者 1 人3 30 0若女教师为 0 人，则男教师有 3 人，有C C5 5C C3 3 1010种选择；2x11，解得x，24121.2B30C40D461 12 2若女教师为 1 人，则男教师 2 人，有C C5 5C C3 3 3030种选择；故女教师最多为 1
3、 人的选法种数为1030 40种故选：C4在正三棱锥ABCD中，BAC BAD CAD 90，且AB AC AD1，M，N分别为 BC，AD的中点，则直线 AM和 CN夹角的余弦值为（）第 1 页 共 20 页A55B105C105D55【答案】B【分析】由题意可得AB,AC,AD两两垂直，所以以A为原点，AB,AC,AD所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解【详解】因为BAC BAD CAD 90，所以AB,AC,AD两两垂直，所以以A为原点，AB,AC,AD所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为AB AC AD1，所以A(0,0,0),
4、B(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,1),因为 M，N 分别为 BC，AD的中点，1 1 1所以M,0,N0,0,，22 21 1 1所以AM,0,CN 0,1,，22 2设直线 AM和 CN 所成的角为，则cos cos AM,CNAM CNAM CN12152410，510,5所以直线 AM和 CN夹角的余弦值为故选：B5甲、乙、丙、丁、戊共5 名同学进行劳动技术比赛，决出第 1 名到第 5 名的名次甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5 人的名次排列方式共有（）种A54【答案】A第 2 页 共 20
5、页B72C96D120【分析】根据题意，分 2 种情况讨论：、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案【详解】根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，分 2 种情况讨论：甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3 种情况，3剩下的三人安排在其他三个名次，有A3 6种情况，此时有3618种名次排列情况；2甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有A3 6种情况，3剩下的三人安排在其他三个名次，有A3 6种情况，此时有6636种名次排列情况；则一共有36
6、1854种不同的名次情况，故选：A6某一电子集成块有三个元件a，b，c并联构成，三个元件是否有故障相互独立已知至少 1 个元件正常工作，该集成块就能正常运行 若每个元件能正常工作的概率均为4，则在该集成块能够正常工作的情况下，有且仅有一个元件出现故障的概率为（）5A1231B48125C1625D16125【答案】A【分析】记事件A为该集成块能够正常工作，事件B为仅有一个元件出现故障，进而结合对立事件的概率公式得PA124，再根据条件概率公式求解即可.125【详解】解：记事件A为该集成块能够正常工作，事件B为仅有一个元件出现故障，则A为该集成块不能正常工作，4811241 4 1所以PA1 P
7、 A 1，PBC3，512555125 32所以PB A故选：APABPA481212431x2y27已知斜率为 1 的直线与椭圆C:221a b 0相交于 A、B 两点，O为坐标原ab第 3 页 共 20 页1点，AB的中点为 P，若直线 OP的斜率为，则椭圆 C的离心率为（）25A7B22C53D12【答案】B【分析】这是中点弦问题，注意斜率与椭圆a,b之间的关系.【详解】如图：依题意，假设斜率为 1 的直线方程为：y xm，联立方程：mm y xm22222a，b，代入y xm得y，解得：x1 x2 xy2111122122baaba2b2mm22ba,故 P 点坐标为12121212a
8、bab1，由题意，OP 的斜率为，21112b21222a2b2 1即，化简得：2，a2 2b2b2c2，c b a，e；m22a222b11a2b2故选：B.8已知圆C:x24x y221 0，过点 P的直线 l被圆 C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为 54，若 O为坐标原点，则OP最大值为（）A3【答案】C【分析】由题意，点 P 在圆 C 内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为8，进而可得PC 3，所以点 P的轨迹为以 C2,0为圆心，半径为3 的圆，从而即可求解.第 4 页 共 20 页B4C5D6ma2【详解】解：由题意，圆C:x 2 y2 25，所以圆 C是以2
9、,0为圆心，半径为 52的圆，因为过点 P的直线 l 被圆 C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为54，所以点 P 在圆 C 内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为 8，所以由弦长公式有PC 52 42 3，所以点 P 的轨迹为以 C2,0为圆心，半径为 3 的圆，所以OPmax OC PC 23 5，故选：C.二、多选题二、多选题9设离散型随机变量X 的分布列如下表：XP若离散型随机变量Y 2X 3，且EX3.5，则（）Am 0.1Bn 0.1CEY 4【答案】ACD【分析】先由EX3.5可得m4n 0.9，再由概率和为1 得mn 0.3，从而可求出m,n的值，再利用期望公
10、式求EY即可，从而可得答案.1m20.130.34n50.3DPX 3 PX 3【详解】由EX1m20.130.34n50.33.5得m4n 0.9，又由m0.10.3n0.31得mn 0.3，从而得m 0.1，n 0.2，故A 选项正确，B 选项错误；EY 2EX3 4，故 C 选项正确；因为，PX 3 PX=3+PX=2+PX=1=0.3+0.1+0.1=0.5，PX 3=PX=4+PX=5=0.5故 D 选项正确.故选：ACD10我国南宋数学家杨辉1261 年所著的详解九章算法一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究则下列结论正确的是（）第 5 页 共 20 页13C
11、72C83 C9A1C6B第 2022 行的第 1011 个数最大C第 6 行、第 7 行、第 8 行的第 7 个数之和为第 9 行的第 8 个数D第 34 行中从左到右第 14 个数与第 15 个数之比为 23【答案】ACD【分析】按图索骥，再加一点计算就可以了.123【详解】1C6C7C81676876987384，C984，21321321故 A 正确；由图可知：第n 行有 n个数字，如果n 是奇数，则第n1（最中间的）个数字最大；如2nn果 n是偶数，则第和第1个数字最大，并且这两个数字一样大，故错误；22第 6 行，第 7 行，第 8 行的第 7 个数字分别为：1，7，28，其和为
12、36；第 9 行第 8 个数字就是 36，故 C 正确；13依题意：第 34 行第 14 个数字是C3434!34!14，第 34 行第 15 个数字是C34，13!21!14!20!所以CC1334143434!213!21!2:3，故 D 正确；34!314!20!故答案为：ACD.11 抛物线C:y2 4x的焦点为 F，若 P 是抛物线 C上任意一点，直线 PF的倾斜角为，点 M是线段 PF的中点，则下列说法正确的是（）A若，则PF 431B点 M的轨迹方程为y2 2x1D在 y轴上存在点 E，使得MEF CMF的最小值为2【答案】BC2【分析】求出抛物线C:y2 4x的焦点坐标、准线方
13、程，然后逐项分析、计算作答.【详解】抛物线C:y2 4x的焦点为F(1,0)，准线l:x 1，第 6 页 共 20 页y 3(x1)A对于，直线PF的方程为：y 3(x1)，由2消去 y 并整理得y 4x3x210 x3 0，14解得x1 3，x2，则PF 4或PF，A 不正确；33对于 B，设点M(x,y)，则点P(2x1,2y)，而 P 是抛物线 C上任意一点，于是得(2y)2 4(2x1)，即y2 2x1，所以点 M的轨迹方程为y2 2x1，B 正确；对于 C，设点P(x0,y0)，则MF 的最小值为2，C 正确；t21对于 D，因点 M的轨迹方程为y 2x1，则设M(,t)，令E(0,
14、m)，22111|PF|(x01)，当且仅当x0 0时取“=”，即MF2221t21t211112有EF (1,m),EM (,t m)，EF EM m tm(mt)2t2 0，22242于是得FEM为锐角，D 不正确.故选：BC12如图，在棱长为1 的正方体ABCD A1B1C1D1中，M 为棱AA1的中点，P为线段BC1上的动点（包含 B，C1两个端点），则下列说法正确的是（）9A平面MBC1截正方体ABCD A1B1C1D1所得截面图形的面积为8B存在一点 P，使得直线AA1与直线 DP的公垂线段长为2 55C直线 DP与平面MBC1所成角的最小值为6D当 P 从 B移动到C1的过程中，
15、直线 DP与直线 MB的夹角由小变大【答案】ABD【分析】取棱A1D1中点，作出截面并求其面积判断A；建立空间直角坐标系，借助空间向量计算判断 B，C，D 作答.第 7 页 共 20 页【详解】对于 A，取棱A1D1中点 E，连接ME,C1E,AD1，如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，对角面ABC1D1是矩形，M为棱AA1的中点，则ME/AD1/BC1，ME 512，BM C1E，等腰梯形BC1EM是平面MBC1截正方体BC1222ABCD A1B1C1D1所得截面，等腰梯形BC1EM的高h BM2(ME BC19BC1ME23 2h，)，SBC1EM28249因此，平面MBC1截正方
16、体ABCD A1B1C1D1所得截面图形的面积为，A 正确；8以点 D为原点，射线DA,DC,DD1分别为 x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，1D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),M(1,0,)，AA1(0,0,1),BC1(1,0,1)，2因 P 为线段BC1上的动点，设BP tBC1(t,0,t)，0t 1，点P(1t,1,t)，DP (1t,1,t)，对于 B，令与AA1、DP都垂直的向量为n (x1,y1,z1)，则，令x11，得n (1,t 1,0)，DA (1,0,0)，异面直线AA1与直线 DP的距离第 8 页
17、 共 20 页d|DAn|12 5，225|n|1(t 1)而0t 1，解得t 公垂线段长为1，点P为BC1的中点，即存在一点P，使得直线AA1与直线 DP 的22 5，B 正确；511mBM y2z2 0BM (0,1,)，令平面MBC1的法向量为m(x2,y2,z2)，则2，2mBC1 x2 z2 0令y21，得m (2,1,2)，令直线 DP与平面MBC1所成角为，则sin|cosm,DP|mDP|2(1t)12t11|m|DP|3(1t)21t2132t22t 22(t)22226,，显然最小值为，C 不正确；423|BM DP|BM|DP|对于 D，令直线 DP 与直线 MB的夹角为
18、，则cos|cosBM,DP|1t24t 413t22(42)，210t t 110t t 1510(t t 1)(1t)21t222t13cos(4)10当t 0时，cos，当t(0,1时，对t(0,1递减，111015t2t11t2即cos 随 t的增大而减小，而锐角随cos 的增大而递减，因此，当 P从 B 移动到C1的过程中，直线 DP 与直线 MB的夹角由小变大，D 正确.故选：ABD【点睛】思路点睛：涉及几何体中动点按规律移动问题，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量的运算解决.三、填空题三、填空题13某市有 30000 人参加阶段性学业水平检测，检测结束后的数学成绩X 服从正态分
19、布N120,2，若P100 X 120 0.495，则成绩在 140 分以上的大约为_人【答案】150【分析】根据考试的成绩X 服从正态分布N(120,2)得到考试的成绩 X的正太密度曲线关于X 120对称，根据P(100 X 120)0.495，得到P(X 140)0.005，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数第 9 页 共 20 页【详解】由题意，考试的成绩X服从正态分布N(120,2)考试的成绩 X 的正太密度曲线关于X 120对称，P(100 X 120)0.495，P(100 X 140)20.495 0.99，1P(X 140)P(X 100)(10.99)0.005，2该
20、市成绩在 140 分以上的人数为0.00530000 150故答案为：150.14正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为 2，侧棱长为2 3，则AC1与侧面ABB1A1所成角的正弦值为_【答案】34【分析】作图，考虑底面是正三角形，按照线面夹角的定义构造直角三角形即可.【详解】依题意，作图如下，取A1B1的中点 G，连结C1G，A1B1C1是正三角形，C1G A1B1，GC13，又ABC A1B1C1是正三棱柱，AA1底面A1B1C1，AA1 C1G，即C1G 平面ABB1A1，AGC12AC1AA12 AC11 42，AC1与平面ABB1A1的夹角=GAC1，在Rt AGC1中，sinGA
21、C1GC13，AC14第 10 页 共 20 页故答案为：3.415 如图所示，高尔顿钉板是一个关于概率的模型，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间 小球每次下落时，将随机的向两边等概率的落下当有大量的小球都落下时，最终在钉板下面不同位置收集到小球 现有 5 个小球从正上方落下，则恰有 3 个小球落到 2 号位置的概率是_【答案】45512【分析】先研究一个小球从正上方落下的情况，从而可求出一个小球从正上方落下落到2 号位置的概率，进而可求出5 个小球从正上方落下，则恰有3 个小球落到 2 号位置的概率【详解】如图所示，先研究
22、一个小球从正上方落下的情况，11，12，13，14 指小球第 2层到第 3 层的线路图，以此类推，小球所有的路线情况如下：01-11-21-31，01-11-21-32，01-11-22-33，01-11-22-34，01-12-23-33，01-12-23-34，01-12-24-35，01-12-24-36，02-14-26-38，02-14-26-37，02-14-25-35，02-14-25-36，02-13-24-36，02-13-24-35，02-13-23-34，02-13-23-33，共 16 种情况，其中落入 2 号位置的有 4 种，所以每个球落入 2 号位置的概率为41，1
23、64所以 5 个小球从正上方落下，则恰有3 个小球落到 2 号位置的概率为31C543451，14512455122故答案为：第 11 页 共 20 页四、双空题四、双空题16已知圆C被x轴截得的弦长为 4，被y轴分成两部分的弧长之比为12，则圆心C的轨迹方程为_，若点M5,1，N5,0，则CMN周长的最小值为_y2【答案】x 14221 11【分析】设Cx,y，圆C半径为r，进而根据题意得x r，r 4 y2，进而得其2轨迹方程为双曲线，再根据双曲线的定义，将周长转化为求CM CF1 MN 2的最小值，进而求解.【详解】解：如图 1，因为圆C被x轴截得的弦长为 4，被y轴分成两部分的弧长之比
24、为 12，所以AB 4，DCE 120，所以DE,AB中点F,G，则AG2，DCF 60,DF FC，AG GC所以CF 1DC，2故设Cx,y，圆C半径为r，则GC y，CF x，CF x 22211DC r，AC r 22AG GC4 y222y2所以r 4x 4 y，即x 142y2所以圆心C的轨迹方程为x 1，表示双曲线，焦点为N425,0，F1 5,0，如图 2，连接CF1，由双曲线的定义得CF1 CN 2，即CF12 CN，所以CMN周长为CM CN MN CM CF1 MN 2，因为CM CF1 MF121,MN 1，所以CMN周长的最小值为21 1第 12 页 共 20 页y2
25、故答案为：x 1；21 1.42五、解答题五、解答题1 17已知2x3展开式中，第三项的系数与第四项的系数相等x(1)求 n的值；(2)求展开式中有理项的系数之和（用数字作答）【答案】(1)8；(2)2160.knk【分析】（1）由题设可得Tk1Cn2xn43kn，进而写出第三、四项的系数，结合已知列方程求 n值即可.8（2）由（1）有Tk1C8k28kx3，确定有理项的对应 k值，进而求得对应项的系数，4k即可得结果.【详解】(1)由题意，二项式展开式的通项公式Tk1C2xknnk x13kknkCn2xn43k所以第三项系数为Cn2由Cn22n22n2，第四项系数为Cn23n3，3n3 C
26、n2，解得n 8，即 n 的值为 8(2)由（1）知：Tk1C8k28kx843kk 0,1,2,3,8当k 0，3，6 时，对应的是有理项0888当k 0时，展开式中对应的有理项为T1 C82 x 256x；3544当k 3时，展开式中对应的有理项为T4 C82 x 1792x；620当k 6时，展开式中对应的有理项为T7 C82 x 112；故展开式中有理项的系数之和为2561792112 2160第 13 页 共 20 页x2y218已知抛物线C:y 2pxp 0的焦点与双曲线E:21b 0的右焦点重合，3b2双曲线 E 的渐近线方程为x 3y 0(1)求抛物线 C的标准方程和双曲线E的
27、标准方程；(2)若 O 是坐标原点，直线l:y x2与抛物线 C交于 A，B两点，求AOB的面积x2【答案】(1)y 8x；y2132(2)8 2【分析】（1）由双曲线的渐近线方程为x 3y 0，可得b 1，继而得到双曲线的右焦点为2,0，即为抛物线的焦点坐标，可得p 4，即得解；（2）联立直线与抛物线，可得x1 x212，再由直线过抛物线的焦点，故AB p x1 x216，三角形的高为O 到直线l的距离，利用点到直线公式，求解即可【详解】(1)由题意，双曲线渐近线方程为：y b1所以，b 133x2所以双曲线 E 的标准方程为：y213bx，3故双曲线a2 3,b21,c2 a2b2 4故双
28、曲线的右焦点为2,0，所以p 2，p 4，2所以y28xy28x(2)由题意联立，y x2得x212x 4 0，又 12244 0所以x1 x212因为直线l过抛物线的焦点(2,0)，所以AB p x1 x216O 到直线l的距离d|2|1 1222，SOAB1216 8 2219已知某电器市场由甲、乙、丙三家企业占有，其中甲厂产品的市场占有率为40，第 14 页 共 20 页乙厂产品的市场占有率为36，丙厂产品的市场占有率为24，甲、乙、丙三厂产品432的合格率分别为，354(1)现从三家企业的产品中各取一件抽检，求这三件产品中恰有两件合格的概率；(2)现从市场中随机购买一台该电器，则买到的
29、是合格品的概率为多少？【答案】(1)(2)37501330【分析】（1）由相互独立事件的概率可得；（2）根据各产品的市场占有率和合格率，由条件概率公式计算可得.【详解】(1)记随机抽取甲乙丙三家企业的一件产品，产品合格分别为事件B1，B2，B3，则三个事件相互独立，恰有两件产品合格为事件D，则D B1B2B3 B1B2B3 B1B2B3PD P B1B2B3 P B1B2B3 P B1B2B34214131231353453453430故从三家企业的产品中各取一件抽检，则这三件产品中恰有两件合格的概率是(2)记事件 B 为购买的电器合格，记随机买一件产品，买到的产品为甲乙丙三个品牌分别为事件A
30、1，A2，A3，PA11330239642，PA2，PA3，P(B|A1)，P(B|A2)，P(B|A3)，54325255P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)249263375525325450故在市场中随机购买一台电器，买到的是合格品的概率为375020如图，已知菱形ABCD的边长为 3，对角线BD2，将BCD沿着对角线 BD 翻折至BDE的位置，使得AE 4，在平面 ABCD上方存在一点 M，且MA平面 ABCD，MA 10第 15 页 共 20 页(1)求证：平面EBD平面 ABD；(2)求点 M 到平面 ABE的距离；(3)求二面角E AB
31、M的正弦值【答案】(1)证明见解析；(2)1；(3)10.10【分析】（1）过 E 作 EO垂直于 BD于 O，连接 AO，由勾股定义易得EO AO，由菱形的性质有EO BD，再根据线面垂直、面面垂直的判定即可证结论.（2）构建空间直角坐标系，确定相关点的坐标，进而求MA的坐标及面 ABE的法向量，应用空间向量的坐标运算求点面距.（3）由（2）求得面 MBA的法向量，结合（2）中面 ABE的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求二面角E ABM的余弦值，进而求其正弦值.【详解】(1)过 E 作 EO 垂直于 BD 于 O，连接 AO，因为OD1，ED 3，故EO 2 2，同理AO 2 2，又AE
32、 4，所以EO2 AO2 AE2，即EO AO因为 ABCD为菱形，所以EO BD，又BD AO O，所以EO面 ABD，又EO面 EBD，所以面EBD面 ABD(2)以 O 为坐标原点，以OD，OA，OE分别为 x 轴，y轴，z 轴的正方向，如图建立空间直角坐标系，第 16 页 共 20 页则O0,0,0，M 0,2 2,10，A0,22,0，B1,0,0，D1,0,0，E 0,0,22所以AB 1,2 2,0，AE 0,2 2,2 2，MA 0,0,10n AB x2 2y 0面 ABE的法向量为n x,y,z，所以，令x 2 2，则n AE 2 2y2 2z 0n 2 2,1,1又MA
33、0,0,10，则点 M 到面 ABE的距离为nMAn10110(3)由（2）得：面 ABE的一个法向量为n 2 2,1,1，且BA 1,2 2,0，BM 1,2 2,10n1BA x12 2y1 0n x,y,zMBA若面的法向量为1，令x 2 2，111，则n BM x 2 2y 10z 01111则n1 2 2,1,0所以|cos n,n1|813 1010|，故二面角M BE A的正弦值为101010 921在实验室中，研究某种动物是否患有某种传染疾病，需要对其血液进行检验现有nnN N份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需要检验n 次；二是混合检验，将其中k（k N N且k
34、 2）份血液样本分别取样混合在一起检验，如果检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，那么这 k份血液的检验次数共为k 1次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检1验结果是阳性还是阴性都是独立的且每份样本是阳性结果的概率为 3(1)假设有 5 份血液样本，其中只有 2 份血液样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好第 17 页 共 20 页经过 3 次检验就能把阳性样本全部检测出来的概率；(2)假设有 4 份血液样本，现有以下两种方案：方案一：4 个样本混合在一起检验；方案二：4
35、 个样本平均分为两组，分别混合在一起检验若检验次数的期望值越小，则方案越优现将该 4 份血液样本进行检验，试比较以上两个方案中哪个更优？【答案】(1)310(2)方案一更优【分析】（1）分两类，由古典概型可得;（2）分别求出两种方案的数学期望，然后比较可知.【详解】(1)恰好经过 3 次检验就能把阳性样本全部检测出来分为两种情况：第一种：前两次检测中出现一次阳性一次阴性且第三次为阳性112C2C3A2121P13A56053A361113，所以概率为P P第二种：前三次检测均为阴性P231 P2A5601051010(2)方案一：混在一起检验，记检验次数为X，则 X的取值范围是1,5，1665
36、1665341116，EX15PX 11，PX 5181818181813814方案二：每组的两个样本混合在一起检验，14若结果呈阴性，则检验次数为1，其概率为1，39若结果呈阳性，则检验次数为3，其概率为145992设检验次数为随机变量Y，则 Y 的取值范围是2,4,6，44164540PY 2，PY 4 2，998199815525164025342PY 6，EY 246，818181819981所以EX EY，方案一更优22已知 O为坐标原点，F1、F2为椭圆 C的左、右焦点，F1F2 2，P 为椭圆 C 的上顶点，以 P为圆心且过F1、F2的圆与直线x 2相切第 18 页 共 20 页
37、(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若过点F2作直线 l，交椭圆 C 于 M，N两点（l与 x轴不重合），在 x轴上是否存在一点 T，使得直线 TM与 TN的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点T 的坐标；若不存在，请说明理由x2【答案】(1)y21；2(2)存在；T 2,0.【分析】(1)根据给定条件求出 a，c，b即可作答.(2)联立直线 l与椭圆 C 的方程，利用斜率坐标公式并结合韦达定理计算即可推理作答.【详解】(1)依题意，F11,0，F21,0，PF1 PF22，由椭圆定义知：椭圆长轴长2a PF1 PF2 2 2，即a 2，而半焦距c 1，即有短半轴长b 1，x2所以椭
38、圆 C的标准方程为：y212x my1(2)依题意，设直线 l 方程为x my 1，由2消去 x并整理得2x 2y 2(m2 2)y2 2my 1 0，设Mx1,y1，Nx2,y2，则y1 y2 直线 TM与 TN的斜率分别为kTMkTMkTN2m1y y ，假定存在点Tt,0，12m22m22y2y2yy1k1，TN，x2tmy21tx1tmy11ty1y2y1y22(my11t)(my21t)m y1y2m(1t)(y1 y2)(1t)2m2(12m)m(1t)()(1t)222m 2m 21m221，12(1t)(1t)2m22(1t)22要使kTMkTN为定值，必有121t1t 0，即t 2，当t 2时，mR R，kTMkTN12 1212 1223 2，232，当t 2时，mR R，kTMkTN22 所以存在点T 2,0，使得直线 TM与 TN的斜率之积为定值【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关第 19 页 共 20 页(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值第 20 页 共 20 页