函数的定义域值域单调性奇偶性对称性零点.pdf

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1、函函数数的的定定义义域域、值值域域、单单调调性性、奇奇偶偶性性、对对称称性性、反反反函函函数数数、伸伸伸缩缩缩平平平移移移变变变换换换、零零零点点点问问问题题题知知知识识识点点点大大大全全全 一、函数的定义域 1、求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；例.（05 江苏卷）函数20.5log(43)yxx的定义域为_ 2、求函数定义域的两个难点问题（1）知道 f(x)的定义域（a，b），求 f(g(x)的定义域：转化为解不等式 ag(x)b；（2）知

2、道 f(g(x)）的定义域(a，b)，求 f(x)的定义域：转化为求 g(x)的值域。例 3：（1）()x已知f的定义域是-2,5,求f(2x+3)的定义域。（2）(21)xx已知f 的定义域是-1,3,求f()的定义域。例 4：设，则的定义域为 _ 变式练习：24)2(xxf，求)(xf的定义域。二、函数的值域 1 求函数值域的方法 直接法：从自变量 x 的范围出发，推出 y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出 y 的取值范围；适合分母为二次且xR 的分式；分离常数：适

3、合分子分母皆为一次式（x 有范围限制时要画图）；单调性法：利用函数的单调性求值域；图象法：二次函数必画草图求其值域；利用对号函数 几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数 例：1（直接法）222()2242f xxx 3（换元法）12 xxy 44.（法）5.6.(分离常数法)7.(单调性)8.，11yxx (结合分子/分母有理化的数学方法)9(图象法)232(12)yxxx 10(对号函数)11.(几何意义)21yxx 三、函数的单调性 复合函数的单调性：（同增异减）设 xgfy 是定义在 M 上的函数，若 f(x)及 g(x)的单调性相反，则 xgfy 在 M 上是减函

4、数；若 f(x)及 g(x)的单调性相同，则 xgfy 在 M 上是增函数。两个函数 f(x)、g(x)之间的基本性质：增+增=增 增减=减 减+减+减 减增=减 例：1 判断函数)()(3Rxxxf的单调性。2 函数)(xf对任意的Rnm,，都有1)()()(nfmfnmf，并且当0 x时，1)(xf，（1）求证：)(xf在R上是增函数；若4)3(f，解不等式2)5(2 aaf 3 函数)26(log21.0 xxy的单调增区间是_ 4.(高考真题)已知(31)4,1()log,1aaxa xf xx x是(,)上的减函数，那么a的取值范围是（）（A）(0,1)（B）（C）（D）1,1)7

5、四、函数的奇偶性 常用性质：10)(xf是既奇又偶函数；22奇函数若在0 x处有定义，则必有0)0(f；3偶函数满足)()()(xfxfxf；4奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；50)(xf除外的所有函数奇偶性满足：奇函数奇函数=奇函数 奇函数奇函数=偶函数 奇函数偶函数=非奇非偶 奇函数偶函数=奇函数 偶函数偶函数=偶函数 偶函数偶函数=偶函数 6奇偶性的判断 看定义域是否关于原点对称；看 f(x)及 f(-x)的关系 例：1 已知函数)(xf是定义在),(上的偶函数.当)0,(x时，4)(xxxf，则当),0(x时，)(xf .2 已知定义域为R的函数是奇函数。（）求,a

6、b的值；（）若对任意的tR，不等式22(2)(2)0f ttftk恒成立，求k的取值范围；3 已知)(xf在（1，1）上有定义，且满足),1()()()1,1(,xyyxfyfxfyx有 证明：)(xf在（1，1）上为奇函数；4 若奇函数)(Rxxf满足1)2(f，)2()()2(fxfxf，则)5(f_ 五、函数的周期性 1（定义）若)0)()(TxfTxf)(xf是周期函数，T 是它的一个周期。说明：nT 也是)(xf的周期。（推广）若)()(bxfaxf，则)(xf是周期函数，ab是它的一个周期 对照记忆：()()f xaf xa说明：f(x)的周期为 2a;()()f axf ax说明

7、：f(x)关于直线 x=a 对称。2若)()(xfaxf；则)(xf周期是 2a 例：1 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),则,f(6)的值为（）(A)1 (B)0 (C)1 (D)2 2 定义在 R 上的偶函数()f x，满足(2)(2)fxfx，在区间-2,0上单调递减，设(1.5),(2),(5)afbfcf，则,a b c的大小顺序为_ 3 已知 f(x)是定义在实数集上的函数，且,32)1(,)(1)(1)2(fxfxfxf若f(2005)=.4 已知)(xf是(-，)上的奇函数，)()2(xfxf，当 0 x1 时，f(x)=x，则f(7.5)=_

8、5 设)(xf是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x 恒满足)()2(xfxf，当2,0 x时22)(xxxf 求 证：)(xf是 周 期 函 数；当4,2x时，求)(xf的 解 析 式；计 算：六、函数的对称性 我们知道：偶函数关于 y（即 x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(xfxf 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(xfxf上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(xfy 关于ax 对称)()(xafxaf)()(xafxaf也可以写成)2()(xafxf 或)2()(xafxf 简 证：设点),(11yx在)(xfy 上，通 过)2()(xaf

9、xf可 知，)2()(111xafxfy，即 点)(),2(11xfyyxa也在上，而 点),(11yx及 点),2(11yxa 关于 x=a 对称。得证。若写成：)()(xbfxaf，函数)(xfy 关于直线22)()(baxbxax 对称（2）函数)(xfy 关于点),(ba对称bxafxaf2)()(bxfxaf2)()2(上述关系也可以写成 或 bxfxaf2)()2(简证：设点),(11yx在)(xfy 上，即)(11xfy，通过bxfxaf2)()2(可知，bxfxaf2)()2(11，所以1112)(2)2(ybxfbxaf，所以点)2,2(11ybxa也在)(xfy 上，而点)

10、2,2(11ybxa及),(11yx关于),(ba对称。得证。若写成：cxbfxaf)()(，函数)(xfy 关于点 对称（3）函数)(xfy 关于点by 对称:假设函数关于by 对称，即关于任一个x值，都有两个y 值及其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于by 对称。但在曲线 c(x,y)=0，则有可能会出现关于by 对称，比如圆04),(22yxyxc它会关于 y=0 对称。两个函数的图象对称性 1、)(xfy 及)(xfy关于 X 轴对称。换种说法：)(xfy 及)(xgy 若满足)()(xgxf，即它们关于0y对称。2、)(xfy 及)(xfy关于 Y 轴对称。换种说法：

11、)(xfy 及)(xgy 若满足)()(xgxf，即它们关于0 x对称。3、)(xfy 及)2(xafy关于直线ax 对称。换种说法：)(xfy 及)(xgy 若满足)2()(xagxf，即它们关于ax 对称。4、)(xfy 及)(2xfay关于直线ay 对称。换种说法：)(xfy 及)(xgy 若满足axgxf2)()(，即它们关于ay 对称。5、)2(2)(xafbyxfy与关于点(a,b)对称。换种说法：)(xfy 及)(xgy 若满足bxagxf2)2()(，即它们关于点(a,b)对称。6、)(xafy及)(bxy关于直线对称。七、反函数 1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和

12、值域分别为原函数的值域和定义域；2、求反函数的步骤（1）解(2)换(3)写定义域。3、关于反函数的性质（1）y=f(x)和 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称；（2）y=f(x)和 y=f-1(x)具有相同的单调性；（3）已知 y=f(x)，求 f-1(a)，可利用 f(x)=a，从中求出 x，即是 f-1(a)；（4）f-1f(x)=x;（5）若点(a,b)在 y=f(x)的图象上，则(b,a)在 y=f-1(x)的图象上；（6）y=f(x)的图象及其反函数 y=f-1(x)的图象的交点一定在直线 y=x 上;例：设函数()yf x的反函数为1()yfx，且(21)yfx的图像过点

13、，则1()yfx的图像必过（A）（B）1(1,)2 （C）(1,0)（D）(0,1)八、函数的平移伸缩变换 1、平移变换：（左+右-，上+下-）即 对称变换：（对称谁，谁不变，对称原点都要变）例：1f(x)的图象过点(0,1)，则 f(4-x)的反函数的图象过点（）A.(3,0)B.(0,3)C.(4,1)D.(1,4)2作出下列函数的简图：（1）y=|logx2|；（2）y=|2x-1|；（3）y=2|x|；九、函数的零点问题 1函数零点概念 对函数 yf x，把使 0f x 的实数x叫做函数 yf x的零点 2.零点存在性定理：如果函数 yf x在区间a,b上的图象是连续不断一条曲线，并且

14、有 0f af b，那么，函数 yf x在区间a,b内有零点.即存在ca,b，使得 0f c，这个c 也就是方程 0f x 的根.问题 1:函数,有 1120,2022ff,那么在2,2上函数有零点吗?问题 2:函数2()68fxxx在区间1,3,0,1,1,5有零点吗?引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗?解法二:几何解法(1).e2xf xx 可化为2xex 画出函数xye和2yx 的图象，可观察得出 C 正确.函数零点、方程的根及函数图像的关系(牢记)函数 yF xf xg x有零点 方程 0F xf xg x有实数根 函数 12,yf xyg x 图像有交点

15、.三、能力提升 1.利用函数图像求函数零点问题 例 1：（1）函数 lgcosf xxx的零点有 （）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 变式 1：若函数为 lgcosf xxx，则有 个零点.变式 2：若函数为 lgcosf xxx，则有 个零点.解:由 lgcos0f xxx,可化为lgcosxx,画出lgyx和cosyx的图像,可得出 B 正确.lgcosf xxx有 4 个零点,lgcosf xxx有 6 个零点.(2)函数及2sinyx的图像在2,4有 个交点,交点的横坐标之和为 43211224y=x+2y=ex0 x y 4224510152025oy=cosxy=lgxy

16、x 3212246810 x)y=1x 1y=sin 2xx y o 解:函数及2sinyx的图像在2,4有 8 个交点,因为图像都关于1,0点对称,故交点的横坐标之和为 4.（3）:若关于x的方程2a xxa0a有两个不同的实数根,求a的取值范围.解 1:设2,ya x yxa,分别画两函数的图像,两图像有两个不同的交点即方程2a xxa有两个不同的实数根.xay2及axy的图像，当1a时，在第一象限平行，第二象限有一个交点，当1a时只有一个交点在第二象限，当1a时有两个交点，故1a.解 2:设,分别画两函数的图像,两图像有两个不同的交点即方程2a xxa有两个不同的实数根.只有当的斜率小于

17、 1 时有两个交点，即，1a.2.利用零点性质求参数的取值范围 探究：32()69f xxxxa在xR上有三个零点，求 a 的取值范围.解：由22()31293(43)3(3)(1)fxxxxxxx得 令()0fx，得3x 或1x，0fx,得13x()f x在(,1)，(3,)上单调递增，在(1,3)上单调递减 变式 1：方程32690 xxxa在2,4上有实数解，求a 的取值范围.解：由方程32690 xxxa在2,4上有实数解，即3269xxxa 由 3269f xxxx的图像可得：04a 变式2：3290 xaxx在2,4上有实数解，求a 的取值范围.5432112224O y x O 432112422468x y 4.543.532.521.510.50.51112345678Ax o y 32.521.510.50.511.522.5211234567x o y 解 1：由3299,2,4xxaxxxx，.变式 3：若不等式3290 xaxx在2,4上恒成立，求a 的取值范围.解：转化为恒成立问题，即得,6a.课堂小结 解决函数零点存在的区间或方程根的个数问题的主要方法有函数零点定理和应用函数图像进行判断;根据函数零点的性质求解参数的取值范围主要有分类讨论、数形结合、等价转换等方法，注重导数求出函数的单调区间和画出函数的图像的应用可以有效解决和零点相关的问题.