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1、-.z.二次函数综合应用题（拱桥问题）适用学科 数学 适用年级 初中三年级 适用区域 全国 课时时长（分钟）60 知识点 二次函数解析式的确定、二次函数的性质和应用 教学目标 1.掌握二次函数解析式求法。2 学会用二次函数知识解决实际问题，掌握数学建模的思想，进一步熟悉，点坐标和线段之间的转化。3.进一步体验应用函数模型解决实际问题的过程，体会到数学来源于生活，又服务于生活，感受数学的应用价值。教学重点 1.从实际问题中抽象出相应的函数关系式，并能理解坐标系中点坐标和线段之间关系；2.根据情景建立合适的直角坐标系，并将有关线段转化为坐标系中点的坐标 教学难点 如何根据情景建立合适的直角坐标系，
2、并判断直角坐标系建立的优劣。教学过程 一、复习预习 平时的时候我们能够看到小船可以从桥的下面通过，但是当夏天雨季到来，水平面上升，这时小船还能从桥的下面通过吗.对于这样的问题我们可以利用我们所学的二次函数来解决。这节我们就看二次函数解决拱桥问题。二、知识讲解 考点/易错点 1：二次函数解析式的形式 1、一般式：y=a*2+b*+c（a0）-.z.2、顶点式：y=a(*-h)2+k（a0）顶点坐标（h，k）直线*=h 为对称轴，k 为顶点坐标的纵坐标，也是二次函数的最值 3、双根式：y=a(*-1x)(*-2x)（a0）(1x,2x是抛物线与*轴交点的横坐标)并不是什么时候都能用双根式，当抛物线
3、与*轴有交点时才行 4、顶点在原点：5、过原点：)0(2abxaxy 6、顶点在 y 轴：)0(2acaxy 考点/易错点 2：建立平面直角坐标系 1、在给定的直角坐标系,中会根据坐标描出点的位置 2、能建立适当的直角坐标系,描述物体的位置。三、例题精析【例题 1】【题干】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为 20m，拱顶距离水面 4m（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升 h（m）时，桥下水面的宽度为 d（m），求出将 d表示为 h 的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为 2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于1
4、8m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行【答案】（1）设抛物线的解析式为 ya*2，且过点（10，4）故 （2）设水位上升 h m 时，水面与抛物线交于点（）)0(2aaxy 4101252aa，yx 1252dh24，-.z.则 （3）当 d18 时，当水深超过 2.76m 时会影响过往船只在桥下顺利航行。【解析】顶点式：y=a（*-h）2+k（a，h，k 是常数，a0），其中（h，k）为顶点坐标【例题 2】【题干】速度上升，经过多少小时会达到拱顶【答案】解：以 AB 所在的直线为*轴,AB 中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的 顶点 E 在 y 轴上,且 B、D 两点的坐
5、标分别为（5，0）、（4，2）设抛物线为 y=a*+k.由 B、D 两点在抛物线上，有 解这个方程组，得 所以，顶点的坐标为（0，）则 OE=0.1=（h）所以，若洪水到来，水位以每小时 0.1m 速度上升，经过小时会达到拱顶.【解析】以 AB 所在的直线为*轴,AB 中点为原点，建立直角坐标系，求出解析式【例题 3】【题干】如图是抛物线拱桥，已知水位在 AB 位置时，水面宽，水位上升 3m，达hd 412542dh10 41810 4076hh，.m64 -.z.到警戒线 CD，这时水面宽m的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶.【答案】解：根据题意设抛物线解析式为：ya*2h 又知 B
6、(2，0)，D(2，3)解得：y41*26 E(0，6)即 OE6 EFOEOF3 t25.0312(小时)答：水过警戒线后 12 小时淹到拱桥顶【解析】建立直角坐标系，求出解析式 四、课堂运用【基础】1、心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间*(单位：分)之间满足函数关系：y*2*43(0*30)y值越大，表示接受能力越强(1)*在什么范围内，学生的接受能力逐步增加.*在什么范围内，学生的接受能力逐步降低.（2）第 10 分钟时，学生的接受能力是多少.（3）第几分钟时，学生的接受能力最强.【巩固】1、有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y=表示 在正常水位时水面 AB 的宽为20
7、m，如果水位上升 3m 时，水面 CD 的宽是 10m (1)在正常水位时，有一艘宽 8m、高 2.5m 的小船，它能通过这座桥吗 m34633h)32(a0h)62(a226h41a25.0EFO*C*y D B A E F-.z.(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)货车正以每小时 40km 的速度开往乙地，当行驶 1 小时时，忽然接到紧急通过:前方连降暴雨，造成水位以每小时 0.25m 的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)试问:如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥若能，请
8、说明理由若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米【拔高】1、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽 AB1.6m 时，涵洞顶点与水面的距离为 2.4m。这时，离开水面 1.5m 处，涵洞宽 ED 是多少是否会超过1m 五、课程小结（1）用函数的观点来认识问题，从实际问题中抽象出数学问题；（2）根据题意建立直角坐标系，建立数学模型，解决实际问题；（3）找到两个变量之间的关系；掌握数形结合思想；（4）从拱桥问题中体会到函数模型对解决实际问题的价值感受数学在生活实际中使用 六、课后作业【基础】1、如图，抛物线 y=*2+b*+c 经过坐标原点，并与*轴交于点 A（
9、2，0）求此抛物线的解析式。-.z.【巩固】1、如图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度为 60 米，拱高为 18 米，当洪水泛滥到跨度只有 30 米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有 4 米，即 PN=4 米时，是否采取紧急措施【拔高】1、有一座抛物线型拱桥，其水面宽 AB 为 18 米，拱顶 O 离水面 AB 的距离 OM 为 8 米，货船在水面上的部分的横断面是矩形 CDEF，如图建立平面直角坐标系(1)求此抛物线的解析式；(2)如果限定矩形的长 CD 为 9 米，则矩形的高 DE 不能超过多少米，才能使船通过拱桥(3)若设 EF=a，请将矩形 CDEF 的面积 S 用含 a 的代数式表示，并指出 a 的取值范围；