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1、 1椭圆的定义：平面内与两个定点12FF，的距离之和等于常数（大于12|F F）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距 2椭圆的标准方程：22221(0)xyabab，焦点是1(0)Fc，2(0)F c，且222cab 22221(0)yxabab，焦点是1(0)Fc，2(0)Fc，且222cab 3椭圆的几何性质（用标准方程22221(0)xyabab研究）：范围：axa ，byb；对称性：以x轴、y轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心；椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的1212AABB，；长轴与短轴：焦点
2、所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的12A A；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段12B B 椭圆的离心率：cea，焦距与长轴长之比，01e，e越趋近于1，椭圆越扁；反之，e越趋近于0，椭圆越趋近于圆 My=-by=bx=-ax=aB2B1A2A1cbaF2F1Oyx 4直线l：0AxByC与圆锥曲线C：()0f xy，的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切这三种位 板块三.直线与抛物线 置关系的判定条件
3、可归纳为：设直线l：0AxByC，圆锥曲线C：()0f xy，由0()0AxByCf xy，消去y（或消去x）得：20axbxc 若0a，24bac，0 相交；0 相离；0 相切 若0a，得到一个一次方程：C为双曲线，则l与双曲线的渐近线平行；C为抛物线，则l与抛物线的对称轴平行 因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件 5连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦 求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求；另外一种求法是如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两端点坐标分别为1122()(
4、)xyxy，则弦长公式为2212121|11ABkxxyyk 两根差公式：如果12xx，满足一元二次方程：20axbxc，则2221212124()44bcbacxxxxx xaaaa（0）6直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有：从方程的观点出发，利用根与系数的关系来进行讨论，这是用代数方法来解决几何问题的基础要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在适当时利用图形的平面几何性质 以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题 【例1】已知抛物线C的方程为212xy，过点(0,1)A和点(,3)B t的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（）A(,1)(1,)
5、B22,22 C(,2 2)(2 2,)D(,2)(2,)【例2】点P在直线:1l yx上，若存在过P的直线交抛物线2yx于A，B两点，且PAAB，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（）A直线l上的所有点都是“点”B直线l上仅有有限个点是“点”典例分析 C直线l上的所有点都不是“点”D直线l上有无穷多个点（但不是所有的点）是“点”【例3】如图抛物线1C：22ypx和圆2C：22224ppxy，其中0p，直线l经过1C的 焦 点，依 次 交1C，2C于,A B C D四 点，则AB CD的 值 为 （）A 24p B 23p C 22p D2p ODCBAyx 【例4】斜率为2的直线与圆锥
6、曲线交于1122()()A xyB xy，两点，若弦长2 5AB，则12yy _ 【例5】抛物线21yxmx与直线0 xy有两个不同的交点，则实数m的范围是_ 【例6】若直线2ykx与抛物线28yx交于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标是2，则AB _ 【例7】已知抛物线24yx的一条弦AB，11A xy，22B xy，AB所在的直线与y轴交于点02，则1211yy 【例8】过点(2 4)，作直线与抛物线28yx只有一个公共点，这样的直线有_条 【例9】对于抛物线C：24yx，我们称满足2004yx的点00()M xy，在抛物线的内部，若点00()M xy，在抛物线的内部，则直线l：002(
7、)y yxx与抛物线C的位置关系是_ 【例10】设抛物线28yx的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_ 【例11】若曲线2|1yx与直线ykxb没有公共点，则k、b分别应满足的条件是 【例12】过抛物线22(0)ypx p的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A B，两点，若线段AB的长为8，则p _ 【例13】已知抛物线22xpy（p为常数，0p）上不同两点A、B的横坐标恰好是关于x的方程2640 xxq（q为常数）的两个根，则直线AB的方程为_ 【例14】抛物线212yx截直线21yx所得弦长12A A的中点坐标为_，弦长12A A为_ 【例1
8、5】已 知 抛 物 线22(0)ypx p，过 定 点(0)M p，作 一 弦PQ，则2211MPMQ_ 【例16】已知抛物线22(0)ypx p过点A(14)，求抛物线的焦点坐标与准线方程；直线m：2yx与抛物线交于两点MN，求线段MN的中点坐标及MN的值 【例17】设抛物线24yx被直线2yxk截得的弦长为3 5，求k值 以中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标 【例18】已知点Q到定点(,0)p（0p）与它到定直线xp 的距离相等，求动点Q的轨迹方程；设过点(30)Ap，的直线与Q的轨迹交于E、F两点，设(30)Ap，当直线A E与A F的斜率都存在
9、时，求证直线A E、A F的斜率之和为0 【例19】在平面直角坐标系xOy中，过抛物线22(0)xpy p的焦点F作直线与抛物线相交于A B，两点 若点N是点F关于坐标原点O的对称点，求ANB面积的最小值 【例20】过抛物线22(0)ypx p的对称轴上的定点(0)(0)M mm，作直线AB与抛物线相交于A、B两点，若点N为定直线l：xm 上的任意一点，试证明：三条直线AN、MN、BN的斜率成等差数列 【例21】已知抛物线22(0)ypx p过动点(0)M a，且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B若2ABp，求a的取值范围 【例22】已知曲线C为顶点在原点，以x轴为对称轴，开口向右
10、的抛物线，又点(2 1)M，到抛物线C的准线的距离为94，求抛物线C的方程；证明：过点M的任意一条直线il与抛物线恒有公共点；若中的直线(i1 2 3 4)il，分别与抛物线C交于上下两点1B，1A，2B，2A，3B，3A，4B，4A，又点1A，2A，3A，4A的纵坐标依次成公差不为0的等差数列，试分析1414AMA MMBMB与3223A MA MMBMB的大小关系 【例23】已知抛物线2yx和圆22(7)5xy，过点(0)P a，作直线l交抛物线于A、B，交圆于CD，（自下而上依次为BD CA，），且ACBD，求实数a的取值范围 【例24】已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点(10)F
11、，的距离减去它到y轴距离的差是 1 求曲线C的方程；是否存在正数m，对于过点(0)M m，且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有0FA FB?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由 【例25】已知(3 0)H ，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足302HP PMPMMQ，当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；过点(1 0)T ，作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点0(0)E x，使得ABE是等边三角形，求0 x的值 【例26】已知12,F F分别是椭圆22143xy的左、右焦点，曲线C是以坐标原点为顶点，以2F为焦点的抛物线，自点1F引直线交
12、曲线C于P、Q两个不同的交点，点P关于x轴的对称点记为M设11F PFQ 求曲线C的方程；证明：22F MF Q；若2 3，求|PQ的取值范围 【例27】已知抛物线24yx，点(1,0)M关于y轴的对称点为N，直线l过点M交抛物线于,A B两点 证明：直线,NA NB的斜率互为相反数；求ANB面积的最小值；当点M的坐标为(,0)(0mm，且1)m 根据推测并回答下列问题（不必说明理由）：直线,NA NB的斜率是否互为相反数？ANB面积的最小值是多少？【例28】过抛物线22(0)ypx p的对称轴上一点00A aa，的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线:l xa 作垂线，垂足分别为1M
13、、1N 当2pa 时，求证：1AM1AN；记1AMM、11AM N、1ANN的面积分别为1S、2S、3S，是否存在，使得对任意的0a，都有2213SS S成立若存在，求出的值；若不存在，说明理由 【例29】已知曲线C是到点1328P，和到直线58y 距离相等的点的轨迹l是过点1 0Q ，的直线，M是C上（不在l上）的动点；A、B在l上，MAl，MBx轴（如图）求曲线C的方程；求出直线l的方程，使得2QBQA为常数 lyxQOBAM 【例30】已知抛物线C：24yx，点(0)M m，在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交A、B两点，O为坐标原点 若1m，l的斜率为 1，求以AB为直径的圆的方程；
14、若存在直线l使得|AM，|OM，|MB成等比数列，求实数m的取值范围 【例31】已知抛物线24Cyx的焦点为F，过点(10)K ，的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D 证明：点F在直线BD上；设89FA FB，求BDK的内切圆M的方程 【例32】已知抛物线22yx及定点(1 1)(1 0)AB，M是抛物线上的点，设直线AMBM，与抛物线的另一交点分别为12MM，求证：当点M在抛物线上变动时（只要12MM，存在且1M与2M是不同两点），直线12M M恒过一定点，并求出定点的坐标 【例33】在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线24yx相交于不同的，A B两点 如果直线l过抛物
15、线的焦点，求OA OB的值；如果4OA OB 证明直线l必过一定点，并求出该定点 【例34】在平面直角坐标系xoy中，设点(1 0)，F，直线:1l x ，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQFP，PQl 求动点Q的轨迹的方程；记Q的轨迹的方程为E，过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD，设AB、CD的中点分别为M，N 求证：直线MN必过定点(3 0)，R-11yxOFRQP 【例35】已知：O为坐标原点，点F、T、M、1P满足(1 0)OF，(1)OTt ，FMMT，1PMFT，1PTOF 当t变化时，求点1P的轨迹方程；若2P是轨迹上不同与1P的另一点，且存在非零实数，使得12FPFP，求证：12111FPFP