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1、.正四面体的性质及其应用 正四面体是四个面都是等边三角形的凸多面体，它是一个很规则的几何体，因此具有一些特有的性质，设正四面体的棱长为a，则（1）全面积S全=3 a2；（2）高h=6 3a；（3）体积V=2 12 a3；（4）对棱中点的连线是对棱的公垂线，其长为d=2 2a；（5）相邻两面所成的二面角=arccos13；（6）棱与其相交的面所成的角=arctan2；（7）正四面体的内切球和外接球的球心重合，内切球半径 r6 12a，外接球半径R6 4a，rR=13；（8）正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值（等于正四面体的高）。将正四面体置于正方体中，结合正方体的性质以上诸性质容易得到证明
2、。考查正四面体的性质多出选择或填空题，熟记以上八条性质对快速求解相关问题有很大帮助，例如：例 1：已知半径为 1 的球面上有 A、B、C 三个点，且它们之间的球面距离都为3，则球心O到平面 ABC 的距离为（）A 3 2 B 6 3 C 12 D 21 7 解析：如右图所示，OA=OB=OC=1 又3CABCAB，球的半径r=1 AOB=BOC=COA=3，则 AB=BC=CA=1 所以 O-ABC 为棱长为 1 的正四面体，则由正四面体的性质得球心 O 到平面 ABC 的距离即其高为6 3，答案 B。例 2：（05 年湖南省十所示范校联考）已知棱长为a的正四面体 ABCD 有内切球 O，经过
3、该棱锥 A-BCD 的中截面为 M，则 O 到平面 M 的距离为（）A a4 B 6 6a C 6 12a D 2 8a 解析：直接运用正四面体的性质，内切球的半径r=6 12a，中截面到底面的距离为高的一半6 6a，则O到平面 M 的距离为6 6a6 12a=6 12a，因此选C。例 3：（06 年陕西卷）将半径为 R 的四个球两两相切地放在桌面上，则上面一个球的球心到桌面的距离为 。解析：注意分析四个球的球心的位置关系。设四个球心分别为 D C A B C B O A C A B D.A、B、C、D，因为四个球两两相切，则ABCD是棱长为 2R的正四面体，A到面BCD的距离为2 6 3R，
4、则上面一个球的球心A到桌面的距离为R+2 6 3R=（1+2 6 3）R。例 4：（06 年山东卷）如图 1，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，DAB=60，E为AC的中点，将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为（）A 4 3 27 B 6 2 C 6 8 D 6 24 解析：三棱锥P-DCE实质上是棱长为 1 的正四面体，则其外接球的体积为 V=43R3=43(6 4)3=6 8。例 5：（06 年湖南卷）棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一球面上，若过该球球心的一个截面如图 1，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（）A
5、 2 2 B 3 2 C 2 D 3 解析：由截面图形可知，正四面体恰好有两个顶点在球面上，且截面圆经过其外接球的球心（正四面体的中心），由 正四面体的对称性可知M为AB对棱CD的中点，M 到AB的距离即为正四面体对棱公垂线的长2 2a，所以 SABC=122 2 2 2。例 6：(07 年安徽卷)半径为 1 的球面上的四点 A、B、C、D 是正四面体的顶点，则A与B两点间的球面距离为（）A)33arccos(B)36arccos(C)31arccos(D)41arccos(解析：由题意可知，此球O为正四面体的外接球，且外接球的半径为 1，则正四面体的棱长为2 6 3，根据余弦定理得cosAOB=1+1(2 6 3)2211=13,所以AOB=arccos(13)，因此A与B两点间的球面距离为l=R=arccos(13)1=arccos(13)。D C A E B B A M