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1、对角互补模型【说明】：（知二推一）在四边形中，已知一组邻边相等、其它两边夹角平分线、对角互补。【题目】：如图，在四边形ABCD中，zB+zD=180,zBCA=zDCA，求证：AB=AD。【解析】：过点A作AJ丄CD,AK丄BC,垂足分别为J、K zBCA=zDCA 且 AK丄 BC,AJ丄CD AK=AJ（角平分线上的点到角两边距离相等）/.zAKB=zAJD=90 又T zABC+zADJ=180/.zABC+zABK=180 zABK=zADJ（同角的补角相等）在3XBK和“ADJ中 r-zABK=zADJ zAKB=zAJD AK=AJ ABK斗ADJ(AAS)AB=AD【题目】：如图
2、,在四边形ABCD中，AB=AD,zB+zD=180 z求证:zBCA=zDCA。【解析】：过点A作A丿丄CD,AK丄BC,垂足分别为人K T AK丄 BC,AJ丄CD zAKB=zAJD=90 又T zABC+zADJ=180/.zABC+zABK=180 zABK=zADJ(同角的补角相等)在MBK和“ADJ中 zAKB=zAJD zABK=zADJ AB=AD ABKADJ(AAS)/.AK=AJ CA平分zBCD(角平分线的判走定理)zBCA=zDCA【题目】：如图，在四边形ABCD中，AB=AD z zBCA=zDCA,求证：zB+zD=180o 【解析】：过点A作AM CDf AK
3、丄BC,垂足分别为人K zBCA=zDCA 且 AK丄 BC,AJ丄CD.AK=AJ（角平分线上的点到角两边距离相等）zAKB=zAJD=90 在 RUABK 和 RMADJ 中 AB=AD AK=AJ RtAABKRtADJ(HL)zABK=zADJ/zABC+zABK=180 zABC+zADJ=180 gPzB+zD=180 9090全等型：【题目】：如图，已知zAOB二zDCE二90,OC平分zAOB,求证：CD二CE,OD+OE 二/2 OC,SODCE=%OC2 【解析】：点C作CM丄O A于点M,C N丄OB于点N 0C 平分zAOB 且 CM丄OA、CN 丄OB CM二CN（角
4、平分线上的点到角两边的距离相等）zCMD=zCNE=90 在四边形ODCN中，由题意可得zCDO+zCEN二180。又T zCDO+zCDM=180 zCDM=zCEN（同角的补角相等）在MDM和“CEN中-zCDM=zCEN y zCMD=zCNE CM 二 CN“CDMMCEN（AAS）CD=CE 四边形MONC为正方形 OM=ON 二罟 OC OD+O E=OD+ON+NE=OD+ON+DM=OM+ON OD+OE 二 vOC 又四边形MONC为正方形且SaS：cEN/.SoDCE=SoDCE=V2OC2.【变式】：如图，zAOB二zDCE二90。，OC平分zAOB,则可得到如下几个结论
5、:CD 二 CE,OE-OD 二 OC,S（：OE-SCOD=OC2.【解析】：过点C作CF丄O A于点F,CG丄O B于点G OC 平分zAOB 且 CF 丄OA、CG 丄OB CF二CG(角平分线上的点到角两边的距离相等)zCFD=zCGE=90 四边形CFOG为正方形 zl+z2=90 f z3+z2=90.zl=z3 adCEG(ASA)CD=CE FD=GE ffiE方形 CFOG 中 z OF 二 OG 二 VZoC,2 OE-OD=OG+GE-OD=OG+FD-OD=OG+OF OE-OD=2X OC=V2OC S-COE-S-COD=SCOG+S-CGE（S：CFDS：CFO）
6、=S；COG+S：CGE-S-CFD+SCFO=VCOC2.60。一120。全等型：【题目】：如图，已知zAOB=2zDCE二120,OC平分zAOB r求证：CD二CE#OD 十 OE 二 OC,SCDOE=V3/4 OC 【解析】：过点 C 作 CF 丄 O A 于点 F,CG 丄 0 B 于点 G OC平分zAOB且CF丄OA、CG丄OB CF二CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）zCFD=zCGE=90 zAOB+zDCE=180 zCDO+zCEG=180 又T zCDO+zCDF=180.zCDF二zCEG(同角的补角相等)“CDFaCEG(AAS)CD=CE 在 R3C0F
7、和 RWCOG 中，zCOF 二 zCOG 二 60/.OF=OG=舟 OC 又T OD+OE 二 OD+OG+EG=OD+0G+DF=OF+OG OD+OE=2X OC=OC:.SCDOE=2S_CFO=V3/4 OC2.120。一60。全等型：【题目】：如图，MBC中，zABC=120,D为三角形外一点，若zADC=60 r且 DB 平分zADC r 求证：AB=BC#AD+CDZ3BD r SABCD=V3/4 BD2.【解析】：过点B作BF丄AD于点F,BE丄DC于点E T DB 平分zADC 且 BF丄AD、BE丄DC BF=BE（角平分线上的点到角两边的距离相等）/.zBFA=zB
8、EC=90 zABC+zADC=180 zBAF+zBCD=180 又T zBCD+zBCE=180 zBAF=zBCE(同角的补角相等)/.“BAF生BCE(AAS)AB=BC,AF=CE AD+CD=AF+FD+CD=2DF T zADC=60。且 DB 平分zADC zBDF=30 AD+CDF3BD B A D R/.SABCD=2S-BFD=V3/4 BD2.【跟踪训练】1如图，画zAOB=90,并画zAOB的平分线，将三角尺的直角顶点落在角平分线上的任 意一点P,使三角尺的两条直角边与zAOB的两边分别相交于点E、F,试猜想PE、PF的 大小关系,并说明理由 2.在匕ABC中，AD
9、是zBAC的平分线化、F分别为AB、AC上的点，且zEDF+zEAF“80,求证：DE=DF 3已知匕ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B,点C重合）以 AD为边作等边三角形ADE，连接CE(1)如图1,当点D在边BC上时.求证：ABDACE;直接判断结论AODC+CE是否成立(不需证明)；(2)如图2,当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出AC,DC,CE之间存 在的数呈关系，并写出证明过程 图 1 图 2 4如图，四边形 ABCD 中，E 点在 AD 上，其中zBAE 二 zBCE 二 zACD 二 90,且 BC 二 CE,求证：ABC孕DEC.5.已知三角
10、形ABC中，zA=90,AB=AC,D为BC的中点.(1)如图，E,F分别是AB,AC上的点,且BE=AF,求证:厶DEF为等腰直角三角形(2)若E,F分别为AB,CA延长线上的点，仍有BE二AF,其他条件不变，那么,2EF 是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论.【解析1】:PE=PF,理由是：过点P作PM丄0A,PN丄0B,垂足是M,N,则zPME=zPNF=90,TOP 平分zAOB,.-.PM=PN,.zArOB=zPME=zPNF=90,/.zMPN=90,vzEPF=90,.zMPE=zFPN,rZPME=ZPNF 在/EM 和PFN 中 PH二PN ZMPE=ZNPF/APEMPF
11、N(ASA)f PE=PF.【解析2】：过 D 作 DM丄AB 于 M,DN丄AC 于 N 即zEMD=zFND=90.AD 平分zBAC,DM丄AB,DN 丄AC/.DM=DN(角平分线性质)vzEAF+zEDF=180,.zMED+zAFD=360-180=180.zAFD+zNFD=180.-.zMED=zNFD 在“EMD和“FND中 SED=乙 DFN ZDME=乙DNF DM=DN 厶EMD沪FND(AAS).DE二DF A 【解析3】：(1)ABC和DE是等边三角形，/.zBAC=zDAE=60,AB=BC=AC,AD=DE=AE.-.zBAC-zDAC=zDAE-zDAC,.-
12、.zBAD=zEAC.在“ABD和AACE中 GB=AC ZBAD=ZEAC,AD=AE.ABDACE(SAS)./AABDACE,/.BD=CE.BOBD+CD,BOCE+CD 即 AOCE+CD(2)BC+CD二CE 沁ABC禾2ADE是等边三角形，/.zBAC=zDAE=60 r AB=BC=AC r AD=DE=AE .e.zBAC+zDAC=zDAE+zDAC r/.zBAD=zEAC.在BD和“ACE中 fAB 二虻 ZBAD=ZEAC,AD=AE.ABDMACE(SAS).-.BD=CE.BD=BC+CD,.-.CE=BC+CD;JCE=AC+CD【解析4】：.NBAE 二 zB
13、CE二 zACD 二90,/.zl+z2=z2+zD=90,z3+z4=z4+z5=90.zl=zD,z3=z5,在 ABC和DEC中 zl=zD,T z3=z5,BC 二 CE,mABCDEC(AAS)【解析5】(1)证明：连结ADAB二AC zBAC二90。D为BC的中点.zB二zBAD=zDAC二45：AD丄BC.BD=AD,zBDA=90又 BE=AF.nBDE生ADF(SAS).ED=FD zBDE=zADF/.zEDF=zEDA 十 zADF=zEDA 十 zBDE=zBDA=90 巳DEF仍为等腰直角三角形 证明：连结AD.AB 二 AC zBAC 二 90。D BC.-.zDAC=zBAD=zABD=45,AD丄BC.-.BD 二AD,zBDA二 90/.zDAF 二 zDBE二 135 又 AF 二 BE工DAF旻ADBE(SAS).FD 二 ED zFDA 二 zEDB zEDF 二 zEDB+zFDB 二 zFDA+zFDB 二 zADB 二 90/.DEF 仍为等腰直角三角形