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1、 单调性、奇偶性函数问题的方法(2 云南省 2010 届高三二轮复习专题（七）题目 高中数学复习专题讲座 处理具有单调性、奇偶性函数问题的方法（2）高考要求 函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样 特别是两性质的应用更加突出 本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象 帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识 重难点归纳 (1)判断函数的奇偶性与单调性 若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性 若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性 同时，注意判断与证明、讨论三者的
2、区别，针对所列的训练认真体会，用好数与形的统一 复合函数的奇偶性、单调性 问题的解决关键在于 既把握复合过程，又掌握基本函数 (2)加强逆向思维、数形统一 正反结合解决 f(x)在(0，1)上为减函数，又 f(x)为奇函数且 f(0)=0 f(x)在(1，1)上为减函数 例 2 设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并在区间(,0)内单调递增，f(2a2+a+1)f(3a22a+1)求 a 的取值范围，并在该范围内求函数y=(21)132 aa的单调递减区间 命题意图 本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法 知识依托 逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性
3、及函数的值域问题 错解分析 逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱 技巧与方法 本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法 解 设 0 x1x2,则x2x10，f(x)在区间(,0)内单调递增，f(x2)f(x1),f(x)为偶函数，f(x2)=f(x2),f(x1)=f(x1),f(x2)f(x1)f(x)在(0，+)内单调递减 .032)31(3123,087)41(2122222aaaaaa又 由f(2a2+a+1)3a22a+1 解之，得 0a3 又 a23a+1=(a23)245 函数 y=(21)132 a
4、a的单调减区间是23，+结合 0a0,f(x)=xxeaae是 R 上的偶函数，(1)求 a 的值；(2)证明 f(x)在(0，+)上是增函数 (1)解 依题意，对一切 xR,有 f(x)=f(x),即xxxaeeaae1+aex 整理，得(aa1)(exxe1)=0 因此，有 aa1=0,即 a2=1,又 a0,a=1 (2)证法一（定义法）设 0 x1x2,则 f(x1)f(x2)=)11)(1121122121xxxxxxxxeeeeeee 21211211)1(xxxxxxxeeee 由 x10,x20,x2x1,112xxe0,1e21xx 0,f(x1)f(x2)0,即 f(x1)
5、f(x2)f(x)在(0,+)上是增函数 证法二（导数法）由 f(x)=ex+ex，得 f(x)=exex=ex(e2x1)当 x(0,+)时，ex0,e2x10 此时f(x)0,所以f(x)在0，+)上是增函数 学生巩固练习 1 下列函数中的奇函数是()A f(x)=(x1)xx11 B f(x)=2|2|)1lg(22xx C f(x)=)0()0(22xxxxxx D f(x)=xxxxsincos1cossin1 2 函数 f(x)=111122xxxx的图象()A 关于 x 轴对称 B 关于 y 轴对称 C 关于原点对称 D 关 于 直 线x=1 对称 3 函数 f(x)在 R 上为
6、增函数，则 y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_ 4 若 函 数f(x)=ax3+bx2+cx+d满 足f(0)=f(x1)=f(x2)=0(0 x11)(1)证明 函数 f(x)在(1，+)上为增函数 (2)用反证法证明方程 f(x)=0 没有负数根 6 求证函数 f(x)=223)1(xx在区间(1，+)上是减函数 7 设函数 f(x)的定义域关于原点对称且满足 (i)f(x1x2)=)()(1)()(1221xfxfxfxf；(ii)存在正常数 a 使 f(a)=1 求证 (1)f(x)是奇函数 (2)f(x)是周期函数，且有一个周期是 4a 8 已知函数 f(x)的定义域为 R，
7、且对 m、nR,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)1,且 f(21)=0,当 x21时，f(x)0 (1)求证 f(x)是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证 参考答案:1 解析 f(x)=2222 (0)()(0)(0)()(0)xxxxxxxxxxxx =f(x)，故 f(x)为奇函数 答案 C 2 解析 f(x)=f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称 答案 C 3 解析 令 t=|x+1|,则 t 在(,1上递减，又 y=f(x)在 R 上单调递增，y=f(|x+1|)在(,1上递减 答案 (,1 4 解析 f(0)=f(x1)=f(x2)=0,f(0
8、)=d=0 f(x)=ax(xx1)(xx2)=ax3a(x1+x2)x2+ax1x2x，b=a(x1+x2),又 f(x)在 x2,+)单调递增，故 a0 又知 0 x1x,得 x1+x20,b=a(x1+x2)0 答案 (,0）5 证明 (1）设1x1x2+,则 x2x10,12xxa1 且1xa0,)1(12112xxxxxaaaa0,又 x1+10,x2+10)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122xxxxxxxxxxxxxx0,于是 f(x2)f(x1)=12xxaa+12121122xxxx 0 f(x)在(1，+）上为递增函数 (
9、2）证法一 设存在 x00(x01)满足f(x0)=0,则12000 xxax且由 00 xa1 得 01200 xx1,即21x02 与 x00 矛盾，故 f(x)=0 没有负数根 证法二 设存在 x00(x01)使 f(x0)=0,若1x00,则1200 xx2,0 xa1,f(x0)1与f(x0)=0矛盾，若 x01,则1200 xx0,0 xa0，f(x0)0 与 f(x0)=0 矛盾，故方程 f(x)=0 没有负数根 6 证明 x0,f(x)=22422322)11(1)1(1)1(1xxxxxxx,设 1x1x2+,则01111,11121222122xxxx 2211222222
10、112222)11(1)11(1.0)11()11(xxxxxxxx f(x1)f(x2),故函数 f(x)在(1，+）上是 减函数 (本题也可用求导方法解决）7 证明 (1）不妨令 x=x1x2,则 f(x)=f(x2x1)=)()(1)()()()(1)()(12212112xfxfxfxfxfxfxfxf =f(x1x2)=f(x)f(x)是奇函数 (2）要 证f(x+4a)=f(x),可 先 计 算f(x+a),f(x+2a)f(x+a)=fx-(-a)=)1)(1)(1)()()(1)()()()(1)()(afxfxfxfafxfafxfafxfaf ).(111)(1)(11)(1)(1)(1)()()2(xfxfxfxfxfaxfaxfaaxfaxf f(x+4a)=f(x+2a)+2a=)2(1axf=f(x),故 f(x)是以 4a 为周期的周期函数 8 (1）证明 设 x1x2,则 x2x12121,由题意 f(x2x121)0,f(x2)f(x1)=f(x2x1)+x1f(x1)=f(x2x1)+f(x1)1f(x1)=f(x2x1)1=f(x2x1)+f(21)1=f(x2x1)210,f(x)是单调递增函数 (2)解 f(x)=2x+1 验证过程略 课前后备注