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1、课时作业(三十七)1抛物线 x2y2的准线方程是()Ay12 By18 Cx14 Dx18 答案 D 2已知抛物线的焦点在直线 3xy360 上，则抛物线的标准方程是()Ax272y Bx2144y Cy248x Dx2144y 或 y248x 答案 D 3到定点(3，5)与定直线 2x3y210 的距离相等的点的轨迹是()A圆 B抛物线 C线段 D直线 答案 D 解析 点(3，5)在直线 2x3y210 上，符合条件的点的轨迹是过点(3，5)且与直线 2x3y210 垂直的直线 4抛物线 y2mx 的准线与直线 x1 的距离为 3，则此抛物线的方程为()Ay216x By28x Cy216x
2、 或 y28x Dy216x 或 y28x 答案 D 解析 抛物线的准线方程为 xm4，则1m43，m8 或16.故所求抛物线方程为 y28x 或 y216x.故选 D.5设抛物线 y28x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是()A4 B6 C8 D12 答案 B 6.为响应国家“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个太阳灶，如图所示集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为 2 m，镜深0.25 m，为达到最佳吸收太阳光的效果，容器灶圈应距离集光板顶点()A0.5 m B1 m C1.5 m D2 m 答案 B 7若抛
3、物线 y28x 上有一点 P，它到焦点的距离为 20，则 P 点的横坐标为_ 答案 18 解析 dx0p2，20 x02，x018.8.如图，抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 m，水面宽 4 m，水位下降 1 m 后，水面宽_m.答案 2 6 9求出下列抛物线的焦点坐标和准线方程(1)y14x2;(2)xay2(a0)思路分析 首先根据抛物线的方程确定抛物线的方程是哪一种类型，求出 p.再写出焦点坐标和准线方程 解析(1)y14x2的标准形式为 x24y，p2，焦点是(0，1)，准线方程是 y1.(2)抛物线方程的标准形式为 y21ax，2p1|a|.当 a0 时，p214a，抛
4、物线开口向右，焦点坐标是14a，0，准线方程是 x14a；当 a0)，则p23，p6，抛物线的方程为 y212x.(2)设所求焦点在 x 轴上的抛物线的方程为 y22px(p0)，A(m，3)，由抛物线定义得 5|AF|mp2.又(3)22pm，p1 或 p9，故所求抛物线方程为 y22x 或 y218x.11已知动点 M(x，y)满足方程|xy2|2（x2）22（y2）2，则动点 M 的轨迹是()A抛物线 B椭圆 C圆 D不是上述三种曲线 答案 A 解析 由方程|xy2|2（x2）22（y2）2.得|xy2|2（x2）2（y2）2.由此可知，动点 M(x，y)到定点(2，2)的距离等于动点
5、M(x，y)到直线 xy20 的距离，且定点(2，2)不在直线 xy20 上，所以所给的方程表示的轨迹是以定点(2，2)为焦点，定直线 xy20 为准线的抛物线 12已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且 2x2x1x3，则有()A|FP1|FP2|FP3|B|FP1|2|FP2|2|FP3|2 C2|FP2|FP1|FP3|D|FP2|2|FP1|FP3|答案 C 解析 抛物线的准线方程为 xp2，由定义得|FP1|x1p2，|FP2|x2p2，|FP3|x3p2，则|FP1|FP3|x1p2x3p2x1x3p
6、，2|FP2|2x2p.由 2x2x1x3，得 2|FP2|FP1|FP3|.故选 C.13【多选题】以下说法正确的是()A在平面内，到定点 F 的距离等于到定直线 l(不过点 F)的距离的点的轨迹是抛物线 B与抛物线的对称轴平行的直线一定与抛物线交于一点 C过抛物线 y22px(p0)的焦点且与抛物线的对称轴垂直的直线交抛物线于 A，B 两点，则|AB|2p D直线 l 过抛物线 y22px(p0)的焦点且与抛物线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|x1x22p 答案 ABC 解析 由抛物线的定义知 A 正确；与抛物线的对称轴平行的直线一定与抛物线交于一点，B正确；将 x
7、p2代入抛物线方程 y22px(p0)，得 yp，所以|AB|2p，C 正确；由抛物线的定义知|AB|x1x2p，D 不正确故选 ABC.14【多选题】设抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|5，若以 MF 为直径的圆过点(0，2)，则抛物线 C 的方程为()Ay24x By28x Cy216x Dy22x 答案 AC 解析 因为抛物线 C 的方程为 y22px(p0)，所以焦点 Fp2，0，设 M(x，y)，由抛物线的性质知|MF|xp25，得 x5p2.因为圆心是 MF 的中点，所以根据中点坐标公式可得圆心的横坐标为52，由已知得圆的半径也为52，故该圆与
8、 y 轴相切于点(0，2)，故圆心的纵坐标为 2，则点 M 的纵坐标为 4，即 M5p2，4，代入抛物线方程，得 p210p160，解得p2 或 p8.所以抛物线 C 的方程为 y24x 或 y216x.15已知椭圆 C1、抛物线 C2的焦点均在 x 轴上，C1的中心和 C2的顶点均为坐标原点下表给出的五个点中，有两个点在 C1上，另有两个点在 C2上，则椭圆 C1的方程为_，C1的左焦点到 C2的准线的距离为_ x 1 3 2 4 2 y 3 2 3 0 4 22 答案 x24y21 31 解析 因为椭圆 C1，抛物线 C2的焦点均在 x 轴上，所以可设椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0
9、)，抛物线 C2：y22px(p0)易知点(2，0)必定不在 C2上，若点(2，0)在 C1上，可得 a2，则 C1：x24y2b21(ab0)，所以点(3，2 3)，(4，4)必定不在椭圆 C1上，则点(1，3)，2，22中必有一个点在 C1上，假设点(1，3)在 C1上，则将点(1，3)代入x24y2b21，得143b21，得 b2，因为 ab0，所以不符合题意假设点2，22在 C1上，将点2，22代入x24y2b21，得2412b21，得 b1，符合题意，所以此时椭圆 C1的方程为x24y21.因为点(2，0)，2，22在 C1上，所以点(1，3)，(3，2 3)，(4，4)中必有两点在
10、 C2上，将点(1，3)代入 y22px，得 p32，将点(3，2 3)代入 y22px，得 p2，将点(4，4)代入 y22px，得 p2，可知点(3，2 3)和点(4，4)在同一抛物线上，所以抛物线 C2的方程为 y24x.假设点(2，0)不在 C1上，则点(1，3)，(3，2 3)，(4，4)，2，22中必有两点在 C1上，另外两点在 C2上 若点(1，3)在 C2上，经验证点(3，2 3)，(4，4)，2，22均不在 C2上，不满足题意若点(3，2 3)在 C2上，则点(4，4)也在 C2上，此时易知点(1，3)，2，22不在同一椭圆上，不满足题意若点2，22在C2上，经验证知点(1，
11、3)，(3，2 3)，(4，4)均不在 C2上，不满足题意综上，知 C1：x24y21，左焦点为(3，0)，C2：y24x，准线方程为 x1，所以 C1的左焦点到 C2的准线的距离为 31.16设抛物线 C：x22py(p0)的焦点为 F，准线为 l，点 A 在抛物线上，已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆交 l 于 B，D 两点若BFD90，ABD 的面积为 4 2，求 p 的值及圆 F的方程 解析 因为以 F 为圆心，FA 为半径的圆交 l 于 B，D 两点，BFD90，所以BFD 为等腰直角三角形 故斜边|BD|2p，又点 A 到准线 l 的距离 d|FA|FB|2p，所以 SABD4
12、212|BD|d122p 2p.所以 p2.所以圆 F 的圆心为(0，1)，半径 r|FA|2 2，圆 F 的方程为 x2(y1)28.1【多选题】关于抛物线 yax2(a0)的叙述，正确的是()A抛物线开口向上 B抛物线关于 y 轴对称 C准线方程为 y14a D焦点坐标为0，14a 答案 BCD 解析 抛物线的方程可化为 x21ay，当 a0 时，抛物线开口向上，当 a0)上有一点 M，其横坐标为9.它到焦点的距离为 10，则抛物线方程为_，点 M 的坐标为_ 答案 y24x(9，6)或(9，6)解析 由题意，焦点为 Fp2，0，准线为 xp2，由题意设 M 到准线的距离为|MN|，则|M
13、N|MF|10，即p2(9)10，所以 p2.所以 y24x，令 x9，得 y6，故 M(9，6)或 M(9，6)5抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF|3|OF|，MFO 的面积为 16 2，则抛物线的方程为_ 答案 y216x 解析 设 M(x0，y0)，由|MF|3|OF|可得x0p22y023p22，又因为 y022px0，所以x0p222px03p22，即 x02px02p20，解得 x0p 或 x02p(舍去)，所以 M(p，2p)，所以 SMFO12p2 2p16 2，所以 p8.6圆心在抛物线 x22y 上，并且和该抛物线的准线及
14、 y 轴都相切的圆的方程为_ 答案(x1)2y1221 解析 抛物线 x22y 的准线方程为 y12.设所求圆的圆心为(x0，y0)，则 x022y0，且|x0|y012，解得 x01，y012，易得所求圆的半径为 1，故所求圆的方程为(x1)2y1221.7(1)抛物线 y22px(p0)上一点 M 到焦点距离是 aap2，求点 M 到准线的距离和点 M 的横坐标(2)已知 F 是抛物线 y26x 的焦点，点 A 在抛物线上，且|AF|72，求点 A 的坐标 解析(1)由题意得点 M 到准线的距离也是 a，由抛物线的定义知 xp2a，则 xap2，所以点 M 的横坐标是 ap2.(2)由抛物
15、线方程，得 F32，0，准线方程为 l：x32.由抛物线定义，得|AF|d(d 为点 A 到 l 的距离)设 A(x0，y0)，则 x03272，所以 x02，y02 3.所以 A(2，2 3)8某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔如图所示，已知上部呈抛物线形，跨度为 20 米，拱顶距水面 6 米，桥墩高出水面 4 米现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过 18 米，目前吃水线上部分中央船体高 5 米，宽 16 米，且该货船在现有状况下还可多装 1 000 吨货物，但每多装 150 吨货物，船体吃水线就要上升 0.04 米，若不考虑水下深度，问：该货船在现有状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？解析 如图所示，建立直角坐标系，设抛物线方程为 yax2，则 A(10，2)在抛物线上，即2ax2，a150.方程即为 y150 x2.让货船沿正中央航行，船宽 16 米 而当 x8 时，y150821.28(米)又船体在 x8 之间通过，即 B(8，1.28)，此时 B 点距离水面的高度为 6(1.28)4.72(米)而船体水上高度为 5 米，所以无法直接通过 又 54.720.28(米)，0.280.047，而 15071 0501 000，所以用多装货物的方法也无法通过，只好等待水位下降