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1、绝密启用前 西南大学附属中学校高 2020 级第五次月考 文科数学 本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1已知集合|1Ax x，*2|60BxNxx，则AB（）A|13xx B0,1,2 C1
2、,0,1,2 D 1,2【答案】D【解析】由题意可得 1,2B，则 1,2AB，故选 D 2 已知i为虚数单位，a为实数，复数(12)()zi ai在复平面内对应的点为M，则“12a”是“点M在第四象限”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也必要条件【答案】：C.【解析】：(12)()2(12)zi aiaa i，当12a 时，20a，120a点M在第四象限，当点M在第四象限时有2011202aaa，故“12a”是“点M在第四象限”的充要条件，选 C 选项。3.本次高三数学考试有 1 万人次参加，成绩服从正太分布，平均成绩为 118 分，标准差为10 分
3、，则分数在(98,138内的人数约为（）(参考数据()0.6827,(22)0.9545PXPX(33)0.9973PX)(A).6667 人 (B).6827 人 (C).9545 人 (D).9973 人【答案】：C【解析】：100000.9545=9545 4已知)20,0)(sin(2)(xxf的图象关于直线6x对称，若存在,21Rxx使得)()()(21xfxfxf恒成立，且21xx 的最小值为，2则等于（）12.6.4.C 3.D 【答案】B【解析】由题意得：)()()(21xfxfxf恒成立，且21xx 的最小值为，2,2T 根据三角函数的图像对称轴方程为2,(k)2xkZ，因为
4、6x=6.5已知由不等式组04,2,0,0 xykxyyx确定的平面区域的面积为，7则k的值为（）3.1.1.C 3.D 【答案】C 6.已知A,B,C在圆221xy上运动，且ABBC.若P的坐标为2,0，则|+|PA PB PC的最大值为（）7.8.9.C 10.D【答案】A【解析】由题意得：设1,0,1,0,cos,sinABC，|+|=|3,0+1,0+cos2,sin|=|cos6,sin|PA PB PC 22cos12cos36sin37 12cos，所以最大值是 7 7.一个三位数：个位，十位，百位上的数字为,x y z，当且仅当,yzyx时，称这样的数为凸数，现从集合5,6,7
5、,8中取出三个不同的数字组成一个三位数，则这个三位数是凸数的概率为（）32.31.61.C 121.D【答案】B【解析】由题意得：343421=3CPA 8.九章算术中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体).在如图所示的堑堵111ABCABC中，已知3AB,4BC,5AC,若阳马111CABB A的外接球的表面积等于50，则鳖臑1CABC的所有棱中，最长的棱的棱长为（）A.5 B.41 C.5 2 D.8 【答案】：C.【
6、解 析】：解 法 一：设 线 段1AAx，外 接 求 的 半 径 为r，由 于 已 知 得1111111111,C BAB C BB B ABB B,所以2222342522xxr，所以外接球的表面积为 22225425502xx，解得5x.由于ACBC，所以鳖臑1CABC的所有棱中，最长的棱的棱长为1AC，222211555 2ACACCC.故选 C.解法二：通过割补法知1AC为外球球的直径，所以1AC最长，因为214502AC,所以15 2AC.【点评】通过外接球的直径最长，直接求值.9.设函数22()lg(2)1|f xxx，已知40.30.31000.3,log,47abc，则()(A
7、)()()()f af bf c (B)()()()f af cf b (C)()()()f cf bf a (D)()()()f bf af c【答案】：B【解析】：()f x为 R 上的偶函数，且0,)在上是增函数，又40.30.50.30.30.31000.31,|log|log0.07log0.092,14427abc，所以()()()f af cf b 10.已知正项数列na的前 n 项和nS，且21122nnnSaa，若数列21(1)2nnnnbS，数列 nb的前 2020 项和为()(A)20192020 (B)20192020 (C)20202021 (D)20202021【答
8、案】D【解析】：由21122nnnSaa得221111112222nnnnnnnaSSaaaa，整理得 111()22nnnnnnaaaaaa因为0na 所以11,nnaa当1n 时2112nnaanSnn 所以，2212111(1)(1)(1)()(1)1nnnnnnbnnn nnn 12320201111111112020(1)()(1)()(1)()(1)()11223342020202120212021nT 11设函数()f x在 R 上存在导函数()fx，对任意的实数 x 都有1()42fxx，若3(1)()32f mfmm则实数 m 的取值范围是（）A1,)2 B3,)2 C 1,
9、)D 2,)【答案】A【解析】：令21()()22g xf xxx，则1()()40()2g xfxxg x不增 又3(1)()(1)()32g mgmf mfmm 故所求不等式即1(1)()12g mgmmmm ，故选 A 12在ABC 中，AB，BC=10，3 7sin32C，1cos()8AB，若点 P 是ABC 所在平面内任意一点，则PAPC的取值范围是（）A 5,5 B 6,6 C 7,7 D 8,8【答案】D【解析】：如图，作DABB，D 在边 BC 上，则CADAB 在ACD 中，1cos8CAD，则3 7sin4sin8CADC 由正弦定理知：CD=4AD=4BD，则 BC=C
10、D+BD=5BD=10 故 BD=AD=2，CD=8，又sinsinCADC，故(0,)2C，则31cos32C 3 7sinsinsin()88sinADADCADCCADCACC 又ACPAPCAC，即 8,8PAPC，故选 D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13曲线2yx与直线yx所围成的封闭图形的面积是_【答案】16【解析】考查定积分：23121001=|236xxSxx dx 1.210.80.60.40.20.20.40.60.81.510.50.511.522.5 14已知函数21,02()log,0 xxf xxx，若2(x)(x)4(x)mgf
11、f有 4 个零点，则 m的取值范围是_【答案】3,4【解析】：8642241055101520()2()()()令(x)ft，则2(x)4(x)m=0ff等价于240ttm；由图像可知，当1t，(x)ft有两个解，因为2(x)(x)4(x)mgff有 4 个零点；所以240ttm在1+，上有两个不相等的实数根，=1640(1)1 4m0mg，所以 m 的取值范围是3,4 15已知函数|x|2(x)e,fx下列说法中正确的是_(x)f的值域是1+，；当1a 时，方程(x)ax 10f 有两个不等的实根；若函数(x)ax 1yf有三个零点时，则|a|2,1e；经过0,1有三条直线与(x)yf相切.
12、【答案】【解析】：由图可得 16.如图，双曲线22221(0,0)xyabab的两顶点为12,A A，虚轴两端点为12,B B，两焦点为12,F F.若以12A A为直径的圆内切于菱形1122FB F B，切点分别为,A B C D.则（1）双曲线的离心率_e；（2）菱形1122FB F B的面积1S与矩形ABCD的面积2S的比值12_SS.【答案】（1）512；（2）522.【解析】【方法一】（1）直线21B F的方程为0bxcybc，点O到直线的距离为a，所以22222242242242()(2)30()51310(1).2bcaca ccaaca cabceeee ，（2）12Sbc，设
13、222222222222222112222222,2,451524,.,2222mcacabBCm BAnmnamnnbbcbcSSa bcbcbcSmnbcacbbcbcSabcS 【方法二】（1）直线21B F的方程为0bxcybc，点O到直线的距离为a，所以22222242242242()(2)30()51310(1).2bcaca ccaaca cabceeee ，（2）12Sbc，设222222222222222112222222,2,451524,.,2222mcacabBCm BAnmnamnnbbcbcSSa bcbcbcSmnbcacbbcbcSabcS 三、解答题（共 70
14、 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知等比数列 na的前n项和为nS，且当*nN时，nS是12n与2m的等差中项（m为实数）.()求m的值及数列 na的通项公式；令*21log(),nnba nN 是否存在正整数k,使得1111210nnnkbbbn对任意正整数n均成立？若存在,求出k的最大值,若不存在,说明理由.【答案】()1m ,12(1)nnan.4.【解析】()11111222,222(2)2(1)1,2421nnnnnnSmSm nanaamm max11111,412210nkbnnknnnnnn 18.如 图，BD是 平面 四 边形ABCD的 一条 对 角线，已知
15、BDADDBAB,且DBADAB.（1）求证：ABD是等腰直角三角形；（2）若1,2CDBC,求四边形ABCD面积的最大值。【解析】00DBADABBDADDBABBDADDBAB 0ADABADAB，22ADAB,即：ADAB 又04ADABADABADABDBADAB ADAB,即ADAB ABD是等腰直角三角形.（2）记,0，BCD,在BCD中，cos45cos2222CDBCCDBCBD 又由（1）可知ABD是等腰直角三角形.四边形ABCD的面积sincos45sin21212CDBCABSSSBCDABD 2454sin245 当且仅当24，即43时，等号成立。19.设甲、乙两位同学
16、上学期间，每天107：之前到校的的概率均为32。假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立。（1）用X表示甲同学上学期间的每周五天中107：之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（2）记“上学期间的某周的五天中，甲同学在107：之前到校的天数比乙同学在107：之前到校的天数恰好多3天”为事件M，求事件M发生的概率。【解析】（1）因为甲同学上学期间的五天中到校情况相互独立，且每天107：之前到校的的概率均为32，故32,5 BX,从而5,4,3,2,1,0,313255kCkXPkkk 所以，随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3 4 5 P 2431 243
17、10 24340 24380 24380 24332 随机变量X的数学期望 310325XE（2）设乙同学上学期间的每周五天中107：之前到校的天数为Y,则32,5 BY,且事件 0,31,42,5YXYXYXM 由题意知，事件2,5YX与1,4YX与0,3YX互斥，且事件5X与2Y，4X与1Y，3X与0Y均相互独立，从而由（1）知：0,31,42,5YXPYXPYXPMP 0,31,42,5YXPYXPYXP 031425YPXPYPXPYPXP 21878024312438024310243802434024332 20.已知函数(1)(1ln)(),()ln()xxf xg xxmx m
18、Rx（1）求函数()g x的单调区间；（2）当0m 时，对任意的 11,2x，存在 21,2x，使得12()3()f xmg x成立，试确定实数m的取值范围。【解析】（1）1()ln,()g xxmxg xmx 当0m时，()0g x恒成立，此时()g x在(0,)上为增函数；当0m 时，令11()00g xmxxm，令11()00g xmxxm，综上所述，当0m时，函数()g x的增区间为(0,)；当0m 时，函数()g x的增区间为1(0,)m，减区间为1(,)m。（2）对任意的 11,2x，存在 21,2x，使得12()3()f xmg x成立 对任意的 11,2x，存在 21,2x，使
19、得12()()3f xg xm成立 设22()()3h xg xm，则1212()()3()()f xg xmf xh x 问题转化为：对任意的 11,2x，存在 21,2x，使得12()()f xh x成立 2min1 min()()h xf x 2(1)(1ln)ln()()xxxxf xfxxx，11111111211(1)(1ln)ln(),1,2(),1,2xxxxf xxfxxxx 而111121ln(),1,2()0 xxfxxfxx恒成立，11111(1)(1ln)(),1,2xxf xxx上是增函数，13()21ln22f x，()22()()3ln3h xg xmxmxm
20、有（1）可知道，当1122mm，2()h x在 1,2上是增函数，2min()(1)2h xhm221mm 102m 当111mm，2()h x在 1,2上是减函数，2min()(2)ln2h xhmln222ln2mm 12ln2m 当111212mm，2()h x在11,m上是增函数，1,2m上是减函数，2min()(1)h xh或2min()(2)h xh，2(1)h或2(2)h22m或2ln2m 112m 综上所述，m的取值范围是0,2ln2 21.已知椭圆22221xyabcab的左右焦点分别是121,0,F 10F，点(0)Ab，若三角形12AFF的内切圆的半径与外接圆的半径之比是
21、1:2（1）求椭圆的方程（2）点M是椭圆C的左顶点，,P Q是椭圆上异与左右顶点的两点，设直线,MP MQ的斜率分别为12,k k若1214k k ，试问直线PQ是否过定点？若过定点，求该定点坐标;若不过，请说明理由.【答案】：（1）22143xy（2）1,0 【解析】：（1）由题可得1c 令内切圆半径为r 所以11(2)2222c bab r 22242rcrb 解得椭圆方程为22143xy(2)当PQ斜率不存在时1x 当PQ斜率存在时令PQ为ykxm，1122,2 0P x yQ xyM，22143xyykxm 得2223+48430kxkmxm 22=48 3+40km 12221228
22、3441234kmxxkmx xk 所以2212122312+34mky ykxmkxmk 又1214k k 所以12121224yyxx 所以1212124240y yx xxx 整理可得2220mkmk 所以2mk或mk 当2mk时直线过定点2,0舍去 当mk 时直线过定点1,0 综上所述过定点1,0【点评】注意斜率存在与不存在的讨论，题为常见的联立使用韦达定理.请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时请写清题号.22(本小题满分10分)选修44坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系中，直线l的参数方程为tytx281t(为参数)，以坐标原点为极点，x
23、轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.sin593622)1(求直线l的普通方程以及曲线C的参数方程；)2(过曲线C上任意一点E作与直线l的夹角为75的直线，交l于点F,求EF的最小值.【解析】(1).直线 l 的普通方程为2100 xy，曲线 C 的参数方程为2cos3sinxy，为参数（2）|5sin10|4cos3sin10|55d，最小值为5，210-30sin75d|EF|=23选修 4-5 不等式选讲 已知实数a，b，cR（1）若22 34abacbca，求2abc 的最小值（2）若3abc，求证：333(1)(1)(1)8abc【答案】（1）2 32；（2）略【解析】（1）由22 34abacbca，可得()()42 3ab ac，又2()()2()()2 42 32(3 1)2 32abcabacab ac.（2）证：333222(1)(1)(1)()()()8bcacabbcacababcabcabc，当且仅当 1abc时取等号，得证.