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1、 课时跟踪检测（十三）开普勒行星运动定律和万有引力定律 A 级基础小题练熟练快 1(2019全国卷)2019 年 1 月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用 h 表示探测器与地球表面的距离，F 表示它所受的地球引力，能够描述 F 随 h 变化关系的图像是()解析：选 D 由万有引力公式 FGMmRh2可知，探测器与地球表面距离 h 越大，F 越小，排除 B、C；而 F 与 h 不是一次函数关系，排除 A。2(2019汕尾六校联考)有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的 4 倍，则该星球的质量是地球质量的(忽略其自转影响
2、)()A14 B4 倍 C16 倍 D64 倍 解析：选 D 天体表面的物体所受重力 mgGMmR2，又知 3M4R3，所以 M9g31622G3，故 M星M地g星g地364。D 正确。3.(多选)(2019日照期中)天文学家哈雷曾经在 1682 年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴约等于地球公转半径的 18 倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现，后来哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星。如图所示为哈雷彗星绕太阳运行的椭圆轨道，P 为近日点，Q 为远日点，M、N 为轨道短轴的两个端点。若只考虑哈雷彗星和太阳之间的相互作用，则()A哈雷彗星的运行周期约为 76 年 B哈雷彗星从
3、 P 点运动到 M 点需要 19 年 C哈雷彗星从 P 经 M 到 Q 阶段，速率逐渐减小 D哈雷彗星从 P 经 M 到 Q 阶段，机械能逐渐减小 解析：选 AC 设彗星的周期为 T1，地球的公转周期为 T2，这颗彗星轨道的半长轴 a1 约等于地球公转半径 R 的 18 倍，由开普勒第三定律a3T2k 得T1T2 a1R3 18376，即T176 年，A 正确；从 P 到 Q 过程中，需要克服引力做功，动能减小，即速度越来越小，所以从 P 到 M 过程中所需时间小于周期的四分之一，即小于 19 年，B 错误，C 正确；从 P到 Q 过程中只有引力做功，机械能不变，D 错误。4(2020北京市东
4、城区模拟)2018 年 12 月我国成功发射嫦娥四号探测器，2019 年 1 月嫦娥四号成功落月，我国探月工程四期和深空探测工程全面拉开序幕，假设探测器仅在月球引力作用下，在月球表面附近做匀速圆周运动。可以近似认为探测器的轨道半径等于月球半径。已知该探测器的周期为 T，万有引力常量为 G。根据这些信息可以计算出下面哪个物理量()A月球的质量 B月球的平均密度 C该探测器的加速度 D该探测器的运行速率 解析：选 B 根据 GmMR2m42T2R，由于月球的半径 R 未知，则不能求解月球的质量 M，选项 A 错误；MVM43R3，解得 3GT2，则选项 B 正确；根据 a42RT2可知，不能求解该
5、探测器的加速度，选项 C 错误；根据 v2RT可知，不能求解该探测器的运行速率，选项D 错误。5据报道，科学家们在距离地球 20 万光年外发现了首颗系外“宜居”行星。假设该行星质量约为地球质量的 6.4 倍，半径约为地球半径的 2 倍。那么，一个在地球表面能举起64 kg 物体的人，在这个行星表面能举起的物体的质量约为多少(地球表面重力加速度 g10 m/s2)()A40 kg B50 kg C60 kg D30 kg 解析：选 A 在地球表面，万有引力等于重力 GMmR2mg，得 gGMR2，因为行星质量约为地球质量的 6.4 倍，其半径是地球半径的 2 倍，则行星表面重力加速度是地球表面重
6、力加速度的 1.6 倍，而人的举力认为是不变的，则人在行星表面所举起的重物质量为：mm01.6641.6 kg40 kg，故 A 正确。6.(2019河南省普通高中毕业班高考适应性测试)我国于2018年12 月成功发射的“嫦娥四号”月球探测器经过多次变轨，最终降落 到月球表面上。如图所示，轨道为圆形轨道，其半径为 R；轨道为椭圆轨道，半长轴为 a，半短轴为 b。如果把探测器与月球球心连线扫过的面积与其所用时间的比值定义为面积速率，则探测器绕月球运动过程中在轨道和轨道上的面积速率之比为(已知椭圆的面积 Sab)()AaRb BbRa CabR DRa 解析：选 A 由开普勒第三定律得：R3T12
7、a3T22，解得：T2T1a3R3；根据探测器与月球的连线扫过的面积与其所用时间的比值定义为面积速率得：vs1vs2R2T1abT2R2abT2T1R2ab a3R3aRb，故B、C、D 错误，A 正确。7(2019河南期末)已知月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为 a1，地球绕太阳做匀速圆周运动的向心加速度大小为 a2，月球表面的重力加速度大小为 g1，地球表面的重力加速度大小为 g2，地球的半径为 R，引力常量为 G，则下列判断正确的是()A月球的半径为 R g2g1 B地球的质量为g2GR2 C月球绕地球做圆周运动的轨道半径为 R g2a1 D地球绕太阳做圆周运动的轨道半径为 R
8、a2g2 解析：选 C 由题目的条件无法求解月球的半径和地球绕太阳做圆周运动的轨道半径，则选项 A、D 错误；对地球表面质量为 m 的物体有GMmR2mg2，可得 Mg2R2G，选项 B 错误；月球绕地球运转，有 GMm月r2m月a1，联立解得 rR g2a1，选项 C 正确。8(2019黔东南州模拟)2019 年 1 月 3 日，“嫦娥四号”成功软着陆在月球背面，踏出了全人类在月球背面着陆的第一步，中国人登上月球即将成为现实。若月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的16，而月球的平均密度相当于地球平均密度的 66%。则月球的半径与地球的半径之比约为()A116 B18 C14 D12
9、解析：选 C 已知月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的16，在星球表面，重力等于万有引力，有：mgGMmR2，MV43R3，则有 R3g4G，所以R月R地g月g地地月1610.6614，故 C 正确。9.(2019北京市石景山区统一测试)2019 年 1 月 3 日嫦娥四号月球探测器成功软着陆在月球背面的南极艾特肯盆地冯卡门撞击坑，成为人类历史上第一个在月球背面成功实施软着陆的人类探测器。如图所示，在月球椭圆轨道上，已关闭动力的探月卫星在月球引力作用下向月球靠近，并在 B 处变轨进入半径为 r、周期为 T 的环月圆轨道运行。已知引力常量为 G，下列说法正确的是()A图中探月卫星飞向 B
10、 处的过程中速度越来越小 B图中探月卫星飞向 B 处的过程中加速度越来越小 C由题中条件可以计算出探月卫星受到月球引力大小 D由题中条件可以计算出月球的质量 解析：选 D 题中探月卫星飞向 B 处的过程中由于受月球的引力作用，速度越来越大，选项 A 错误；图中探月卫星飞向 B 处的过程中，由于受月球的引力逐渐增加，则加速度越来越大，选项 B 错误；因探月卫星的质量未知，则由题中条件不能计算出探月卫星受到月球引力大小，选项 C 错误；根据 GmMr2m42T2r，求解月球的质量 M42r3GT2，选项 D 正确。B 级增分题目练通抓牢 10(多选)(2018天津高考)2018 年 2 月 2 日
11、，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面处的重力加速度。若将卫星绕地球的运动看作是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的()A密度 B向心力的大小 C离地高度 D线速度的大小 解析：选 CD 不考虑地球自转的影响，则在地球表面物体的重力等于它受到的万有引力：m0gGMm0R2，整理得 GMgR2。卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力：GMmRh2m2T2(Rh)，可求得卫星的离地高度 h3gR2T242R，再由 v2
12、RhT可求得卫星的线速度，选项 C、D 正确。卫星的质量未知，故卫星的密度和向心力不能求出，选项 A、B 错误。11.(多选)(2019成都市第二次诊断性检测)2019 年 1 月 3 日，“嫦娥四号”成为了全人类第一个在月球背面成功实施软着陆的探测器。为了减小凹凸不平的月面可能造成的不利影响，“嫦娥四号”采取了近乎垂直的着陆方式。已知：月球半径为 R，表面重力加速度大小为 g，引力常量为 G，下列说法正确的是()A为了减小与地面的撞击力，“嫦娥四号”着陆前的一小段时间内处于失重状态 B“嫦娥四号”着陆前近月环绕月球做圆周运动的过程中处于超重状态 C“嫦娥四号”着陆前近月环绕月球做圆周运动的周
13、期约为 T2 Rg D月球的密度为 3g4RG 解析：选 CD 为了减小与地面的撞击力，“嫦娥四号”着陆前的一小段时间内应向下减速，加速度方向向上，处于超重状态，故 A 错误；“嫦娥四号”着陆前近月环绕月球做圆周运动，万有引力提供向心力，所以“嫦娥四号”处于失重状态，故 B 错误；“嫦娥四号”着陆前近月环绕月球做圆周运动，万有引力提供向心力有：GmMR2m42T2R，GmMR2mg，解得：T2 Rg，故 C 正确；由万有引力提供向心力有：GmMR2mg，解得：MgR2G，地球的体积为：V43R3，地球的密度为：MV3g4GR，故 D 正确。12.如图所示，将一个半径为 R、质量为 M 的均匀大
14、球，沿直径挖去两个半径分别为大球一半的小球，并把其中一个放在球外与大球靠在一起。若挖去小球的球心、球外小球球心、大球球心在一条直线上，则大球中剩余部分与球外小球的万有引力大小约为(已知引力常量为 G)()A0.01 GM2R2 B0.02 GM2R2 C0.05 GM2R2 D0.04 GM2R2 解析：选 D 由题意知，所挖出小球的半径为R2，质量为M8，则未挖出小球前大球对球 外小球的万有引力大小为 FGMM8RR22GM218R2，将所挖出的其中一个小球填在原位置，则填入左侧原位置小球对球外小球的万有引力为 F1GM8M82R2GM2256R2，填入右侧原位置小球对球外小球的万有引力为
15、F2GM8M8R2GM264R2，大球中剩余部分对球外小球的万有引力大小为 F3FF1F20.04GM2R2，D 选项正确。13.(2020山东四校 4 月联考)20 世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空这一全新活动领域。如图所示，现有一艘远离星球在太空中沿直线飞行的宇宙飞船，为了测量飞船自身的质量，启动推进器，测出飞船在短时间 t 内速度的改变量为 v，飞船受到的推力为 F(其他星球对它的引力可忽略)。在某次航行中，当飞船飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度 v 在离星球较高的轨道上绕星球做周期为 T 的匀速圆周运动。已知星球的半径为 R，引力常量用 G 表示。则宇宙飞船和星球的质量分别是()
16、AFvt，v2RG BFvt，v3T2G CFtv，v2RG DFtv，v3T2G 解析：选 D 飞船沿直线飞行时，根据动量定理可得 Ftmv，解得飞船的质量为 mFtv，飞船绕孤立星球运动时，根据万有引力提供向心力有 GMmr2m42T2r(r 为飞船与星球中心之间的距离)，又 GMmr2mv2r，解得星球的质量 Mv3T2G，选项 D 正确。14(多选)(2019河北衡水重点名校四模)下表是一些有关火星和地球的数据，利用引力常量 G 和表中选择的一些信息可以完成的估算是()信息序号 信息内容 地球一年约为 365 天 地表重力 加速度约 为 9.8 m/s2 火星的公转周期约为 687天
17、日地距离大约是 1.5 亿千米 地球半径约为 6 400 千米 A.选择可以估算地球的质量 B选择可以估算太阳的密度 C选择可以估算火星公转的线速度 D选择可以估算太阳对地球的吸引力 解析：选 AC 由 GM地mR地2mg，解得地球质量 M地gR地2G，所以选择可以估算地球质量，选项 A 正确；由 GM太M地r2M地r2T2，解得 M太42r3GT2，所以选择可以估算太阳的质量，由于不知太阳半径(太阳体积)，因而不能估算太阳的密度，选项 B 错误；根据开普勒第三定律，选择可以估算火星公转轨道半径 r火，火星公转的线速度 v火 r火r火2T火，选项 C 正确；选择可以估算地球围绕太阳运动的加速度
18、，因为不知地球质量，所以不能估算太阳对地球的吸引力，选项 D 错误。15(2019福州六校联考)开普勒第三定律指出：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。该定律对一切具有中心天体的引力系统都成立。如图，嫦娥三号探月卫星在半径为 r 的圆形轨道上绕月球运行，周期为 T。月球的半径为 R，引力常量为 G。某时刻嫦娥三号卫星在 A 点变轨进入椭圆轨道，在月球表面的 B 点着陆。A、O、B 三点在一条直线上。求：(1)月球的密度；(2)在轨道上运行的时间。解析：(1)由万有引力充当向心力：GMmr2m2T2r，解得 M42r3GT2 月球的密度：M43R3，解得 3r3GT2R3。(2)椭圆轨道的半长轴：aRr2，设椭圆轨道上运行周期为 T1，由开普勒第三定律有：a3T12r3T2，在轨道上运行的时间为 tT12，解得 tRrT4r Rr2r。答案：(1)3r3GT2R3(2)RrT4r Rr2r