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1、第 3 节 平面向量的数量积及平面向量的应用 【选题明细表】知识点、方法 题号 平面向量的数量积 4,6,8,11,13 平面向量的夹角与垂直 1,3 平面向量的模 2,5,10 平面向量数量积的综合问题 7,14 平面向量与其他知识的交汇 9,12,15,16 基础对点练(建议用时:25 分钟)1.(2018山西大学附中模拟)已知向量 a=(-2,1),b=(-1,3),则(C)(A)ab (B)ab(C)a(a-b)(D)a(a-b)解析:向量 a=(-2,1),b=(-1,3),所以 a-b=(-1,-2),满足 a(a-b)=0.所以 a(a-b).故选 C.2.(2017北京西城区模
2、拟)设a,b是平面上的两个单位向量,ab=.若 mR,则|a+mb|的最小值是(C)(A)(B)(C)(D)解析:依题意,|a|=|b|=1,则|a+mb|=,所以当m=-时,|a+mb|有最小值=,故选 C.3.(2018黑龙江佳木斯月考)若向量 a=(-1,3),b=(k,2),向量 a-b 与a 的夹角为,则整数 k 等于(D)(A)-2 (B)-1 (C)0 (D)1 解析:由题意得 cos=,所以=,整理得 2k2+k-3=0,因为 kZ,所以 k=1.故选 D.4.(2018云南玉溪模拟)a=(2,1),ab=10,|a+b|=5,则|b|等于(C)(A)(B)(C)5 (D)25
3、 解析:因为 a=(2,1),ab=10,|a+b|=5,所以|a|=,|a+b|2=(5)2,所以|b|2=25,即|b|=5.故选 C.5.(2018河南中原名校模拟)如图,设 Ox,Oy 是平面内相交成 60角的两条数轴,e1,e2分别是与 x 轴、y 轴正方向同向的单位向量,若=2e1+3e2,则|等于(C)(A)4 (B)9 (C)(D)19 解析:因为|=.故选 C.6.(2018天津卷)如图,在平面四边形 ABCD 中,ABBC,ADCD,BAD=120,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则的最小值为(A)(A)(B)(C)(D)3 解析:如图,以 D 为坐标原点建立直角坐
4、标系,连接 AC,由题意知,CAD=CAB=60,ACD=ACB=30,则 D(0,0),A(1,0),B(,),C(0,).设 E(0,y)(0y),则=(-1,y),=(-,y-),所以=+y2-y=(y-)2+,所以当 y=时,有最小值.故选 A.7.(2018安庆模拟)如图,已知点 O 是边长为 1 的等边三角形 ABC 的中心,则(+)(+)等于(D)(A)(B)-(C)(D)-解析:由题意知(+)(+)=(-)(-)=|cos 120=(-)=-.故选 D.8.(2018金华模拟)平面直角坐标系 xOy 中,=(2,1),=(3,k).若ABC 是直角三角形,则 k 的可能值的个数
5、是(B)(A)1(B)2(C)3(D)4 解析:因为=(2,1),=(3,k).所以=-=(1,k-1).若时,则=6+k=0,所以 k=-6;若时,则=2+k-1=0,所以 k=-1;若时,则=3+k(k-1)=0,即 k2-k+3=0,该方程无解.综上可知,k 的可能值有 2 个.故选 B.9.设集合D=平面向量,定义在D 上的映射f 满足:对任意xD,均有f(x)=x(R,且 0).若|a|=|b|且 a,b 不 共 线,则f(a)-f(b)(a+b)=;若A(1,2),B(3,6),C(4,8),且 f()=,则=.解析:f(a)-f(b)(a+b)=(a-b)(a+b)=(a2-b2
6、)=0;=(1,2),=(2,4),又 f()=,则=,=2.答案:0 2 10.(2017全国卷)已知向量 a,b 的夹角为 60,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.解析:法一 向量 a,b 的夹角为 60,且|a|=2,|b|=1,所以|a+2b|2=a2+4ab+4b2=22+421cos 60+412=12,所以|a+2b|=2.法二 根据题意画出图形,如图所示.结合图形=+=a+2b;在OAC 中,由余弦定理得|=2,即|a+2b|=2.答案:2 能力提升练(建议用时:25 分钟)11.(2018银川模拟)定义|ab|=|a|b|sin,其中为 a 与b 的夹角,若|a|=2
7、,|b|=5,ab=-6,则|ab|等于(B)(A)-8 (B)8 (C)-8 或 8(D)6 解析:因为 ab=|a|b|cos=25cos=-6,所以 cos=-.又为 a 与 b 的夹角,所以0,所以 sin=,所以|ab|=|a|b|sin=52=8.故选 B.12.(2018江西南昌模拟)如图,O 为ABC 的外心,AB=4,AC=2,BAC为钝角,M 是边 BC 的中点,则的值为(B)(A)4 (B)5 (C)6 (D)7 解析:外心 O 在 AB,AC 上的投影恰好为它们的中点,分别设为 P,Q,所以在 AB,AC 上的投影分别为|=|,|=|,因为 M 为 BC的中点,故=(+
8、),所以=(+)=(+)=(|2+|2)=5.故选 B.13.(2017天津卷)在ABC 中,A=60,AB=3,AC=2.若=2,=-(R),且=-4,则的值为 .解析:由题意知|=3,|=2,=32cos 60=3,=+=+=+(-)=+,所以=(+)(-)=-+=3-32+22=-5=-4,解得=.答案:14.(2017江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,A(-12,0),B(0,6),点 P在圆 O:x2+y2=50 上.若20,则点 P 的横坐标的取值范围是 .解析:法一 因为点 P 在圆 O:x2+y2=50 上,所以设 P 点坐标为(x,)(-5x5).因为 A(-12,0),
9、B(0,6),所以=(-12-x,-)或=(-12-x,),=(-x,6-)或=(-x,6+).因为20,先取 P(x,)进行计算,所以(-12-x)(-x)+(-)(6-)20,即 2x+5.当 2x+50,即-5x-时,上式恒成立;当 2x+50,即 5x-时,(2x+5)250-x2,解得-x1,故-5x1.同理可得 P(x,-)时,-5x-5.故点 P 的横坐标的取值范围为-5,1.法二 设 P(x,y),则=(-12-x,-y),=(-x,6-y).因为20,所以(-12-x)(-x)+(-y)(6-y)20,即 2x-y+50.如图,作圆 O:x2+y2=50,直线 2x-y+5=
10、0 与O 交于 E,F 两点,因为 P 在圆 O 上且满足 2x-y+50,所以点 P 在上.由得 F 点的横坐标为 1,又 D 点的横坐标为-5,所以 P 点的横坐标的取值范围为-5,1.答案:-5,1 15.(2018宝鸡模拟)在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1),B(2,3),C(3,2),点 P(x,y)在ABC 三边围成的区域(含边界)上,且=m+n(m,nR).(1)若 m=n=,求|;(2)用 x,y 表示 m-n,并求 m-n 的最大值.解:(1)因为 m=n=,=(1,2),=(2,1),所以=(1,2)+(2,1)=(2,2),所以|=2.(2)因为=m(1,2)
11、+n(2,1)=(m+2n,2m+n),所以 两式相减,得 m-n=y-x.令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为 1.16.(2018邯郸模拟)在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足(a-c)=c.(1)求角 B 的大小;(2)若|-|=,求ABC 面积的最大值.解:(1)由题意得(a-c)cos B=bcos C.根据正弦定理得(sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,所以sin Acos B=sin(C+B),即sin Acos B=sin A,因为 A(0,),所以 sin A0,所以 c
12、os B=,又 B(0,),所以 B=.(2)因为|-|=,所以|=,即 b=,根据余弦定理及基本不等式得 6=a2+c2-ac2ac-ac=(2-)ac(当且仅当 a=c 时取等号),即 ac3(2+),故ABC 的面积 S=acsin B,所以ABC 的面积的最大值为.好题天天练(建议用时:10 分钟)1.(2018湖北华师附中调研)若 O 为ABC 所在平面内任一点,且满足(-)(+-2)=0,则ABC 一定是(B)(A)正三角形 (B)等腰三角形(C)直角三角形(D)等腰直角三角形 解析:因为(-)(+-2)=0,所以(+)=0,即(-)(+)=0,=,|=|,即ABC 是等腰三角形.故选 B.2.设向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2),定义一种向量积 ab=(a1b1,a2b2),已知向量 m=(2,),n=(,0),点 P(x,y)在 y=sin x 的图象上运动,Q 是函数y=f(x)图象上的点,且满足=m+n(其中 O 为坐标原点),则函数y=f(x)的值域是 .解析:设 Q(c,d),由新的运算可得=m+n=(2x,sin x)+(,0)=(2x+,sin x),由 消去 x 得 d=sin(c-),所以 y=f(x)=sin(x-),易知 y=f(x)的值域是-,.答案:-,