《艺术生高考数学专题讲义：考点39直线的交点与距离公式149.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《艺术生高考数学专题讲义：考点39直线的交点与距离公式149.pdf（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 考点三十九 直线的交点与距离公式 知识梳理 1两直线相交 交点：直线 l1：A1xB1yC10 和 l2：A2xB2yC20 的公共点的坐标与方程组 A1xB1yC10A2xB2yC20的解一一对应 相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数个解 2三种距离公式(1)两点间距离公式 点 A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离：|AB|x2x12y2y12.(2)点到直线的距离公式 点 P(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离：d|Ax0By0C|A2B2.说明：求解点到直线的距离时，直线方程要化为一般式(3)两平行线间距离公式 两平行直线 l1：
2、AxByC10 与 l2：AxByC20(C1C2)间的距离为 d|C2C1|A2B2.说明：求解两平行线间距离公式时，两直线 x，y 前系数要化为相同 3过两直线交点的直线系方程 过直线 l1：A1xB1yC10 与 l2：A2xB2yC20 的交点的直线系方程为 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，其中 是待定系数，在这个方程中，无论但 取何值，都得不到 A2xB2yC20，因此它不能表示直线 l2.4对称问题(1)中心对称 若点 M(x1，y1)及 N(x，y)关于 P(a，b)对称，则由中点坐标公式得x2ax1，y2by1.，即对称点 N 坐标为(2ax1，2by1).直线关
3、于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程(2)轴对称 点关于直线的对称 若两点 P1(x1，y1)与 P2(x2，y2)关于直线 l：AxByC0 对称，则线段 P1P2的中点在 l 上，而且连接 P1P2的直线垂直于 l，由方程组 A（x1x22）B（y1y22）C0，y2y1x2x1（AB）1，可得到点 P1关于 l 对称的点 P2的坐标(x2，y2)(其中B0，x1x2)直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是
4、已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行 5关于对称的几个结论(1)点(x，y)关于 x 轴的对称点为(x，y)；(2)点(x，y)关于 y 轴的对称点为(x，y)；(3)点(x，y)关于原点的对称点为(x，y)；(4)点(x，y)关于直线 yx 的对称点为(y，x)；(5)点(x，y)关于直线 yx 的对称点为(y，x)；典例剖析 题型一 求两直线的交点 例 1 直线 2x3y80 和直线 xy10 的交点坐标是_ 答案(1，2)解析 解方程组 2x3y80，xy10，得 x1，y2，即交点坐标是(1，2)变式训练 两条直线 xmy120，2x3ym0 的交点在 y 轴上，则 m 的值
5、是_ 答案 6 解析 设交点坐标为(0，b)，则有 mb120，3bm0，解得 m6 解题要点 对于直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，它们的交点可由 A1xB1yC10，A2xB2yC20求解 题型二 过两直线交点的直线方程求法 例 2 求经过两直线 l1：x2y40 和 l2：xy20 的交点 P，且与直线 l3：3x4y50 垂直的直线 l 的方程 解析 法一：由方程组x2y40 xy20，得x0y2，即 P(0，2)ll3，kl43，直线 l 的方程为 y243x，即 4x3y60.法二：直线 l 过直线 l1和 l2的交点，可设直线 l 的方程为 x2y4(xy
6、2)0，即(1)x(2)y420.l 与 l3垂直，3(1)(4)(2)0，11，直线 l 的方程为 12x9y180，即 4x3y60.变式训练 过两直线 2xy50 和 xy20 的交点且与直线 3xy10 平行的直线方程为_ 答案 3xy0 解析 联立 2xy50，xy20，得交点 P(1，3)设过点 P 且与直线 3xy10 平行的直线方程为 3xym0，则 313m0，解得m0.解题要点 求过两直线交点的直线方程，既可先联立方程组求出交点坐标然后再求方程，也可以利用过两直线交点的直线系求解，需注意，利用直线系方程 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)求解时，要注意检验直线 A
7、2xB2yC20 是否符合题意，以免漏求直线 题型三 距离公式的应用 例 3 正方形的中心为点 C(1,0)，一条边所在的直线方程是 x3y50，求其他三边所在直线的方程 解析 点 C 到直线 x3y50 的距离 d|15|193 105.设与 x3y50 平行的一边所在直线的方程是 x3ym0(m5)，则点 C 到直线 x3ym0 的距离 d|1m|193 105，解得 m5(舍去)或 m7，所以与 x3y50 平行的边所在直线的方程是 x3y70.设与 x3y50 垂直的边所在直线的方程是 3xyn0，则点 C 到直线 3xyn0 的距离 d|3n|193 105，解得 n3 或 n9，所
8、以与 x3y50 垂直的两边所在直线的方程分别是 3xy30 和 3xy90.变式训练 已知直线 l1的方程为 3x4y70，直线 l2的方程为 6x8y10，则直线 l1与 l2的距离为_ 答案 32 解析 直线 l1的方程为 3x4y70，直线 l2的方程为 6x8y10，即 3x4y120，直线 l1与 l2的距离为127324232.解题要点 正方形的四条边两两平行和垂直，设平行直线系和垂直直线系可以较方便地解决，解题时要结合图形进行有效取舍 这个解法可以推广到求平行四边形和矩形各边所在直线的方程 运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线的距离公式时，需先把两平行
9、线方程中 x，y 的系数化为相同的形式 题型四 简单的对称问题 例 4 已知光线从 A(4，2)点射出，到直线 yx 上的 B 点后被直线 yx 反射到 y 轴上的 C 点，又被 y 轴反射，这时反射光线恰好过点 D(1,6)，求 BC 所在的直线方程 解：作出草图，如图所示，设 A 关于直线 yx 的对称点为 A，D 关于 y 轴的对称点为 D，则易得 A(2，4)，D(1,6)由入射角等于反射角可得 AD所在直线经过点 B 与 C.故 BC 所在的直线方程为y646x121，即 10 x3y80.变式训练 如图，已知 A(4,0)、B(0,4)，从点 P(2，0)射出的光线经直线 AB 反
10、射后再射到直线 OB 上，最后经直线 OB 反射后又回到 P 点，则光线所经过的路程是_ 答案 2 10 解析 由题意知点 P 关于直线 AB 的对称点为 D(4,2)，关于 y 轴的对称点为 C(2,0)，则光线所经过的路程 PMN 的长为|CD|2 10.解题要点 对称问题的核心是“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解 当堂练习 1若三条直线 2x3y80，xy1，和 xky0 相交于一点，则 k 的值等于_ 答案 12 解析 由 xy12x3y80得交点(1，2)，代入 xky0 得 k12 2 两条直线 l1：2xym0 与 l2：xmy30 的交点在
11、y 轴上，那么 m 的值为_ 答案 3 解析 2xym0 在 y 轴上的截距为m3，直线 xmy30 在 y 轴上的截距为3m，由3mm3得 m3 3.P点在直线3xy50上，且P到直线xy10的距离为 2，则P点坐标为_ 答案 (1,2)或(2，1)解析 设 P(x,53x)，则 d|x53x1|1212 2，|4x6|2,4x62，x1 或 x2，P(1,2)或(2，1)4已知直线 l1：y2x3，直线 l2与 l1关于直线 yx 对称，则直线 l2的斜率为_ 答案 12 解析 因为 l1，l2关于直线 yx 对称，所以 l2的方程为x2y3，即 y12x32，即直线 l2的斜率 k 为1
12、2 5与直线 l：5x12y60 平行且到 l 的距离为 2 的直线的方程为_ 答案 5x12y320 和 5x12y200 解析 设所求直线的方程为 5x12yc0.在直线 l：5x12y60 上取一点 P0(0，12)，则点 P0到直线 l：5x12yc0 的距离为 d|1212c|52122|c6|13，由题意，得|c6|132，解得 c32 或 c20.所以，所求直线的方程为 5x12y320 和 5x12y200.课后作业 一、填空题 1点(1，1)到直线 xy10 的距离是_ 答案 3 22 解析 d22|111|11 ()()3 22.2已知过点 A(2，m)和 B(m，4)的直
13、线与直线 2xy10 平行，则两平行线间的距离是_ 答案 13 55 解析 依题意得4-2,2mm m8，直线 AB 方程为：2xy120 d|12|513 55 3已知直线 3x4y30 与直线 6xmy140 平行，则它们之间的距离是_ 答案 2 解析 63m4143，m8，直线 6xmy140.可化为 3x4y70，两平行线之间的距离 d|37|32422.4与直线 3x4y50 关于 x 轴对称的直线方程为_ 答案 3x4y50 解析 与直线 3x4y50 关于 x 轴对称的直线方程是 3x4(y)50，即 3x4y50.5若 A(3，4)，B(6,3)两点到直线 l：axy10 的距
14、离相等，则 a 等于_ 答案 79或13 解析 依题意，|3a41|a21|6a31|a21，解得 a79或 a13.6对任意实数 a，直线 yax3a2 所经过的定点是_ 答案(3,2)解析 直线 yax3a2 变为 a(x3)(2y)0.又 aR，x30，2y0，解得 x3，y2，得定点为(3,2)7直线 x2y10 关于直线 yx1 对称的直线方程是_ 答案 2xy20 解析 设所求直线上任一点的坐标为(x1，y1)，它关于 yx1 对称点的坐标为(x0，y0)，则 y1y0 x1x01y1y02x1x021，得对称点的坐标为(y11，x11)，且点(y11，x11)在直线 x2y10
15、上，所以 y112(x11)10，化简得 2x1y120.8曲线|x|2|y|31 与直线 y2xm 有两个交点，则 m 的取值范围是_ 答案 m4 或 m4 解析 曲线|x|2|y|31 的草图如图所示 与直线 y2xm 有两个交点，令 y0，则 xm2，所以m22，所以 m4 或 m4 9直线 l1过点(2，0)且倾斜角为 30，直线 l2过点(2，0)且与直线 l1垂直，则直线 l1与直线 l2的交点坐标为_ 答案 (1，3)解析 直线 l1的方程为 y33(x2)，由 l2l1得直线 l2的斜率为 3，直线 l2的方程是 y 3(x2)由 y33x2，y 3x2，得 x1，y 3，因此
16、直线 l1与 l2的交点坐标是(1，3)10过两直线 7x5y240 与 xy0 的交点，且与点 P(5,1)的距离为 10的直线的方程为_ 答案 3xy40 解析 设所求的直线方程为 7x5y24(xy)0，即(7)x(5)y240.|75524|7252 10，解得 11.故所求直线方程为 3xy40.11点 P(1,3)到直线 l：yk(x2)的距离的最大值等于_ 答案 3 2 解析 P(1,3)到直线 l：yk(x2)的距离为 d3|k1|1k2312kk21，由于2kk211，所以 d3 2，即距离的最大值等于 3 2.二、解答题 12过点 P(0,1)作直线 l 使它被直线 l1：
17、2xy80 和 l2：x3y100 截得的线段被点 P平分，求直线 l 的方程 解析 设 l1与 l 的交点为 A(a,82a)，则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点 B(a,2a6)在 l2上，代入 l2的方程得a3(2a6)100，解得 a4，即点 A(4,0)在直线 l 上，所以由两点式得直线 l 的方程为 x4y40.13已知点 P(2，1)(1)求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线 l 的方程(2)求过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程，最大距离是多少？解析 (1)过点 P 的直线 l 与原点的距离为 2，而点 P 的坐标为(2，1)，显然，过 P(2，1)且垂直于 x 轴的直线满足条件，此时 l 的斜率不存在，其方程为 x2.若斜率存在，设 l 的方程为 y1k(x2)，即 kxy2k10.由已知得|2k1|k212，解得 k34.此时 l 的方程为 3x4y100.综上，可得直线 l 的方程为 x2 或 3x4y100.(2)作图可得过点 P 与原点 O 的距离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线，如图 由 lOP，得 klkOP1，所以 kl1kOP2.由直线方程的点斜式得 y12(x2)，即 2xy50.所以直线 2xy50 是过点 P 且与原点 O 的距离最大的直线，最大距离为|5|5 5.