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1、课时作业(三十四)1平面内有两个定点 F1(5，0)和 F2(5，0)，动点 P 满足|PF1|PF2|6，则动点 P 的轨迹方程是()A.x216y291(x4)B.x29y2161(x3)C.x216y291(x4)D.x29y2161(x3)答案 D 解析 由题意知动点 P 的轨迹是以 F1，F2为焦点的双曲线的右支，且 a3，c5，b2c2a216，故所求轨迹方程为x29y2161(x3)2已知双曲线的中心在原点，两个焦点 F1，F2分别为(5，0)和(5，0)，点 P 在双曲线上，且 PF1PF2，若PF1F2的面积为 1，则双曲线的方程为()A.x22y231 B.x23y221
2、C.x24y21 Dx2y241 答案 C 解析 由|PF1|PF2|2，|PF1|2|PF2|2（2 5）2，得(|PF1|PF2|)216，即 2a4，解得 a2，又 c 5，所以 b1.所以双曲线的方程为x24y21.3【多选题】已知 F1(3，0)，F2(3，0)，满足条件|PF1|PF2|2m1 的动点 P 的轨迹是双曲线的一支，则 m 可以是下列数据中的()A2 B1 C4 D3 答案 AB 解析 设双曲线的方程为x2a2y2b21(a0，b0)，则 c3，因为 2a2c6，所以|2m1|6，且|2m1|0，所以52m72，且 m12，所以 A、B 满足条件 4已知点 A(4，0)
3、，B 是圆(x1)2(y4)21 上的动点，点 P 在双曲线x29y271 的右支上，则|PA|PB|的最小值为()A9 B2 56 C10 D12 答案 C 解析 设圆心为点 C(1，4)，点 B 在圆上，则|PB|PC|r|PC|1，由点 P 在双曲线右支上，点 A 为双曲线左焦点，设 A为双曲线右焦点，所以由双曲线定义知|PA|PA|2a|PA|6，所以|PA|PB|PA|PB|6|PA|PC|61|AC|55510.5已知定点 A(3，1)，F 是双曲线x24y2121 的右焦点，P 是双曲线右支上的动点，则|PA|PF|的最小值为()A.2 B5 24 C5 24 D.24 答案 C
4、 6【多选题】已知 A，B 两监测点间的距离为 800 m，且 A 监测点听到爆炸声的时间比 B 监测点迟 2 s，设声速为 340 m/s，则下列说法正确的是()A爆炸点在以 A，B 为焦点的椭圆上 B爆炸点在以 A，B 为焦点的双曲线的一支上 C若 B 监测点的声强是 A 监测点的 4 倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到 B 监测点的距离为6803 m D若 B 监测点的声强是 A 监测点的 4 倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到 B 监测点的距离为 680 m 答案 BD 解析 依题意，设爆炸点为 C，则|CA|CB|3402680800，所以爆炸点在以 A，B 为焦点的双曲
5、线的一支上，所以 A 错误、B 正确；若 B 监测点的声强是 A 监测点的 4 倍，则|CA|2|CB|24，则|CA|2|CB|，结合|CA|CB|680 可得|CB|680，所以 C 错误、D 正确 7双曲线x225y2241 上的点 P 到一个焦点的距离为 11，则它到另一个焦点的距离为_ 答案 21 8设 P 为双曲线x24y21 上一动点，O 为坐标原点，M 为线段 OP 的中点，则点 M 的轨迹方程是_ 答案 x24y21 解析 设 M(x，y)，则 P(2x，2y)，而 P 点在双曲线x24y21 上代入整理，得点 M 的轨迹方程是 x24y21.9设动圆 M 的半径为 r，分别
6、求满足下列条件的动圆的圆心 M 的轨迹方程(1)与圆 C：(x2)2y22 内切，且过点 A(2，0)；(2)与圆 C1：(x3)2y29 外切，且与圆 C2：(x3)2y21 内切 解析(1)圆 C 与圆 M 内切，点 A 在圆 C 外，|MC|r 2，|MA|r，|MA|MC|2，即动点 M 到两定点 A(2，0)，C(2，0)的距离之差为常数 2，且 2|AC|4，点 M 的轨迹是以 C，A 为焦点的双曲线的左支，点 M 的轨迹方程是 2x22y271x22.(2)圆 M 与圆 C1外切，且圆 M 与圆 C2内切，|MC1|r3，|MC2|r1，|MC1|MC2|40，b0)，a25，2
7、c|AB|100215022100150cos 6050 7，c25 7，b2c2a23 750，故双曲线的标准方程为x2625y23 7501，注意到点 C 的坐标为(25 7，60)，故 y 的最大值为 60，此时 x35，故界线的方程为x2625y23 7501(25x35，y0)11P 是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)左支上的一点，F1，F2为左、右焦点，焦距为 2c，则PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为()Aa Ba Cc Dc 答案 A 解析 如图，设圆与 x 轴相切于 M，由平面几何知识，可得|F2M|F1M|PF2|PF1|2a.M 点是双曲线的左顶点，其横坐标为a.又
8、圆心和 M 点的横坐标相同，圆心的横坐标为a.故选 A.12与两圆 x2y21 和 x2y28x120 都外切的圆的圆心在()A一个椭圆上 B一条直线上 C双曲线的一支上 D一个圆上 答案 C 解析 设动圆圆心为 P，半径为 r，圆 x2y21 的圆心为 O(0，0)，r11，圆 x2y28x120(x4)2y24，所以其圆心为 M(4，0)，r22.由题意知，|PM|rr2，|PO|rr1，因为|PM|PO|r2r11|OM|4，所以由双曲线定义知，动圆圆心为双曲线的一支故选 C.13已知双曲线的方程是x216y281，点 P 在双曲线上，且到其中一个焦点 F1的距离为 10，点 N 是 P
9、F1的中点，则|ON|_(O 为坐标原点)答案 1 或 9 解析 设双曲线的另一个焦点为 F2，连接 PF2.易得 ON 是PF1F2的中位线，所以|ON|12|PF2|.因为|PF1|PF2|2a8，|PF1|10，所以|PF2|2 或|PF2|18，故|ON|1 或|ON|9.14在MNG 中，已知|NG|4.当动点 M 满足条件 sin Gsin N12sin M 时，求动点 M 的轨迹方程 解析 以 NG 所在的直线为 x 轴，以线段 NG 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系，如图 sin Gsin N12sin M，由正弦定理，得|MN|MG|124.由双曲线的定义知，点 M 的轨
10、迹是以 N，G 为焦点的双曲线的右支(除去与 x 轴的交点)2c4，2a2，即 c2，a1，b2c2a23，动点 M 的轨迹方程为 x2y231(x0，且 y0)15【多选题】在平面直角坐标系中，有两个圆 C1：(x2)2y2r12和 C2：(x2)2y2r22，其中常数 r1，r2为正数，且满足 r1r24，一个动圆 P 与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹可以是()A两个椭圆 B两个双曲线 C一个双曲线和一条直线 D一个椭圆和一个双曲线 答案 BC 解析 由题意得，圆 C1的圆心为 C1(2，0)，半径为 r1，圆 C2的圆心为 C2(2，0)，半径为r2，所以|C1C2|4.设动圆 P 的半径
11、为 r.当 r1r2b0)与双曲线 C：x2m2y2n21(m0，n0)有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过 2k(kN*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为_ 答案 2k(am)1已知双曲线的中心在原点，一个焦点为 F1(5，0)，点 P 在双曲线上，且线段 PF1的中点的坐标为(0，2)，则此双曲线的方程是()A.x24y21 Bx2y241 C.x22y231 D.x23y221 答案 B 2已知点 P 在曲线 C1：x216y291 的右支上，点 Q 在曲线 C2：(x5)2y21 上，点 R 在曲线 C3：(x5)2y21 上，则|PQ|PR|
12、的最大值是()A6 B8 C10 D12 答案 C 3双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上已知双曲线 C：x216y291 的左、右焦点分别为 F1，F2，从 F2发出的光线射向 C 上的点 P(8，y0)后，被 C 反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是()A.1314 B1114 C.1114 D1314 答案 C 4已知 A(3，0)，B 是圆 x2(y4)21 上的点，点 P 在双曲线x24y251 的右支上，则|PA|PB|的最小值为()A9 B2 54 C8 D7 答案 C 5已知点 A(0，2)，
13、B(0，2)，C(3，2)，若动点 M(x，y)满足|MA|AC|MB|BC|，则点 M 的轨迹方程为_ 答案 y2x231(y1)解 析 因 为|MA|AC|MB|BC|，|AC|（30）2（22）2 3，|BC|（30）2（22）25，所以|MA|MB|24，故点 M 的轨迹是以(0，2)，(0，2)为焦点的双曲线的下支 此时 a1，c2，b2c2a23.故点 M 的轨迹方程为 y2x231(y1)6.如图所示，在PEF 中，已知 tanPEF12，tanPFE2，SPEF12，试建立适当的直角坐标系，求出分别以 E，F 为左、右焦点且过点 P 的双曲线方程为_ 答案 x25y241 7已
14、知OFQ 的面积为 2 6，点 F 在 x 轴正半轴上，且OFFQm，其中 O 为坐标原点 (1)设 6m4 6，求OF与FQ的夹角 的正切值的取值范围；(2)设以 O 为中心，F 为其中一个焦点的双曲线经过点 Q，|OF|c，m641 c2，当|OQ|取得最小值时，求此双曲线的标准方程 解析(1)因为12|OF|FQ|sin（）2 6，|OF|FQ|cos m，所以 tan 4 6m.又 6m4 6，所以 1tan 0，b0)，Q(x1，y1)，则FQ(x1c，y1)，所以 SOFQ12|OF|y1|2 6，则 y14 6c.又OFFQm，即(c，0)(x1c，y1)641 c2，解得 x164c，所以|OQ|x12y1238c296c2 122 3，当且仅当 c4 时，取等号，|OQ|最小，这时 Q 的坐标为(6，6)或(6，6)因为6a26b21，a2b216，所以a24，b212，于是所求双曲线的标准方程为x24y2121.