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1、 1 椭圆的标准方程 一、椭圆的定义：到两个定点21,FF的距离之 等于 （）的点的轨迹叫椭圆，定点21,FF叫做椭圆的 说明：1.平面内这一个条件不可少 2.椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数，记为a2，两焦点之间的距离称为 ，记为c2，即21FF 3.若212FFa，轨迹是 若212FFa，轨迹是 若212FFa，轨迹是 练习：（1）动点P到两个定点)0,4(),0,4(21FF 的距离之和为8，则P点的轨迹为（）A.椭圆 B.线段21FF C.直线21FF D.不能确定（2）动点P到两个定点)0,4(),0,4(21FF 的距离之和不小于 8，则P点的轨迹为（）A.椭圆 B.线段21F
2、F C.直线21FF D.不能确定 二、椭圆的标准方程（1）焦点在x轴上的椭圆的标准方程为 （2）焦点在y轴上的椭圆的标准方程为 练习：1.已知椭圆的方程为1162522yx，则a ；b ；c ；焦点坐标为 ；焦距为 ；半焦距为 ；长轴长 ；长半轴长 ；短轴长 ；短半轴长 ；若CD为过左焦点1F的弦，则CDF2的周长为 2.已知椭圆的方程为15422yx，则a ；b ；c ；焦点坐标为 ；焦距为 3.椭圆13610022yx上一点P到焦点1F的距离等于 6，则P点到另一焦点2F的距离是 2 4.设点P是椭圆192522yx上一点，21,FF为焦点，则21FPF的周长为 5.已知方程116252
3、2mymx，分别求方程满足下列条件的m的取值范围（1）表示一个圆 （2）表示一个椭圆 （3）表示焦点在x轴上的椭圆 （4）表示焦点在y轴上的椭圆 三、椭圆标准方程中cba,的几何意义：设椭圆标准方程为12222byax，则 a b c 四、应用举例 例 1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程（1）4a，1b，焦点在x轴上 （2）5a，4c，焦点在坐标轴上 例 2.求满足下列条件的椭圆的标准方程：（1）两焦点的坐标分别是)0,4(),0,4(21FF 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于 10（2）两焦点的坐标分别是)0,2(),0,2(21FF 且椭圆经过点)23,25(P 3 例 3.求满足下列条
4、件的椭圆的标准方程：（1）经过两点)1,32(),2,3(BA（2）求与椭圆14522yx有公共焦点，且过点)0,3(的椭圆的标准方程 小结：1.焦点在x轴上的椭圆的标准方程 焦点在y轴上的椭圆的标准方程 椭圆的一般方程：2.求椭圆标准方程的方法：（1）定义法：即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程（2）待定系数法：即设出椭圆的标准方程，再依据条件确定ba,的值，可归纳为“先定位，再定量”，其一般步骤是：先定位：根据条件判断焦点在x轴上还是在y轴上，还是两种情况都有可能，并设椭圆方程为 或 再定量：根据已知条件列出关于cba,的方程组，解方程组，可得ba,的值，然后代入所设方程即可
5、 3.与椭圆)0(12222babyax共焦点的椭圆 例 4.在圆422 yx上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？4 例 5.如图，设点BA,的坐标分别为)0,5(，)0,5(直线的BPAP,相交于点P，且它们的斜率之积为94，求P轨迹方程 小结：与平面内点)0,(),0,(aBaA 连线的斜率之积为常数的点P的轨迹方程为 （1）当1时，点P的轨迹是 （2）当0且1时，点P的轨迹是 （3）当0时，点P的轨迹是 例 6.已知点P是椭圆16410022yx上的一点，21,FF是椭圆的两个焦点（1）若02160PFF，求21FPF的面积
6、（2）当点P在椭圆上何位置时21PFF最大 小结：设P是椭圆)0(12222babyax上不同于左右顶点的一点，21,FF是左右焦点，设21PFF，则（1）21PFPF （2）21FPFS （3）当且仅当点P位于 时21PFF最大 5 五、与椭圆有关的轨迹问题 例 1.已知ABC的一边BC长为8，周长为20，求顶点A的轨迹方程 例 2.已知动点),(yxP在运动中始终满足方程10)3()3(2222yxyx，求动点P的轨迹方程 变式：（1）方程6)3()3(2222yxyx表示 （2）方程10)3()3(2222yxyx表示 （3）方程104)3(4)3(22xx的解为 例 3.已知圆C：16)1(22yx及点)0,1(A，点P是圆C上任意一点，AP的垂直平分线与CP交于点Q，求点Q的轨迹方程 例 4.求过点)0,3(A且与圆C：100)3(22yx相内切的动圆圆心M的轨迹方程 6 例 5.已知两圆1C：169)4(22yx，2C：9)4(22yx，动圆在圆1C内部且和圆1C内切，和圆2C外切，求动圆圆心的M轨迹方程 例 6.已知21,FF是椭圆C：12222byax的两个焦点，P是椭圆上任意一点，过焦点2F作21PFF的外角平分线的垂线，则垂足Q的轨迹是（）A.圆 B.椭圆 C.线段 D.直线