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1、1 专题 19 线线、线面、面面垂直的证明问题 一、直线与平面垂直的判定定理 1、文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 2、符号语言：la，lb，a，b，abPl 3、图形语言：5、作用：证明线面垂直 二、直线与平面垂直的性质定理 1、文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.2、符号语言：abab 3、图形语言：4、作用：线面垂直线线平行 作平行线 5、推论：（1）一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直（2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面.（3）若一条之心垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面/
2、（4）垂直于同一条直线的两个平行平行.三、平面与平面垂直的判定定理 1、文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 2、图形语言：3、符号语言：l，l 2 四、平面与平面垂直的性质定理 1、文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 2、图形语言：3、符号语言：laala 4、作用：面面垂直线面垂直 作面的垂线 考向 1 线线垂直证明【例 1】如图所示，ABC在平面内，90BAC且PA于A，求证：ABPC.【答案】证明见解析；3【解析】PA，AB，PAAB，又90BAC，即ABAC，而PA 平面PAC，AC 平面PAC，
3、PAACA，AB 平面PAC，又PC 平面 PAC，ABPC.【变式 1-1】如图，三棱柱111ABCABC中，CACB，1ABAA，160BAA.证明1ABAC.【答案】证明见解析【解析】取AB中点E，连接CE、1A B、1AE，ACAB，所以CEAB，1ABAA，160BAA，所以1BAA为等边三角形，又E为AB的中点，所以1AEAB，而1AECEE，故AB 平面1ACE，又1AC 平面1ACE，因此，1ACAB.【变式1-2】如图，已知在正方体1111ABCDABC D中，E为11AC的中点 求证：CEBD 【答案】证明见解析.【解析】连接AC，在正方体1111ABCDABC D中，1A
4、 A 面ABCD，BD 面ABCD，所以1A A BD，又正方形 ABCD 中，BDAC 而1A A、AC 面11ACC A，且1A AACA，所以BD 面11ACC A，又CE 面11ACC A，所以CEBD 4【变式 1-3】如图所示，在直三棱柱111ABCABC中，90ACB，30BAC，1BC，16AA，M 是1CC中点，求证：11ABAM 【答案】证明见解析【解析】如图，连接1AC 13262ACMC，111623CCC A，1Rt ACC11Rt MC A，111AC CMAC，111111190AMCAC CAMCMAC，11AMAC 三棱柱111ABCABC为直三棱柱，111B
5、CCC 又1111BCAC，1111ACCCC，11BC 平面1AC，又1AM 平面1AC，11BC 1AM 而1111BCACC1AM 平面11AC B，又1AB 平面11AC B 11ABAM 考向 2 线面垂直证明【例 2】如图，在正方体1111ABCDABC D中，E，F 分别是棱11BC，1B B的中点，求证：CF 平面 EAB 【答案】见解析【解析】E，F 分别是棱11BC，1B B的中点，在 Rt1BB E和 RtCBF中，11=,BBBC B EBF，所以 Rt1BB E RtCBF，所以1B BEBCF，因为1=90B BEEBC，所以=90BCFEBC，所以90BOC，即C
6、FBE，又因为正方体1111ABCDABC D中，AB 平面11BCC D，CF 平面11BCC D，5 所以ABCF，AB和BE平面 EAB 内的两条相交直线，所以CF 平面 EAB.【变式 2-1】如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA 底面 ABC，PBBC，D 为 BP 的中点，PAAB.(1)求证：BC 平面 PAB；(2)求证：AD 平面 PBC.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】（1）因为PA 底面 ABC，BC 底面 ABC，所以PABC，又PBBC，PBPAP，,PA PB 平面 PAB；所以BC 平面 PAB；（2）由（1）得BC 平面 PAB，又AD 平面
7、PAB，所以ADBC，又PAAB，D 为 BP 的中点，所以ADPB，又PBBCB，,PB BC 平面 PBC，所以AD 平面 PBC【变式 2-2】如图，在三棱柱111ABCABC中，1BCC为正三角形，ACBC，11112 2,2ACACAA，P为1BB的中点，证明：1CC 平面11.AC P 【答案】证明见解析 【解析】11112 2,2ACACAA，得2221111111,ACAAACC CAC，因为 BCC1B1为平行四边形且1BCC为正三角形，所以11BBC也为正三角形.而P为1BB的中点，所以11C PB B，又11C CB B，所以11.C PC C，6 因为1111C PAC
8、C，111,C P AC 平面11AC P，所以1CC 平面11.AC P 【变式2-3】如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，AD/BC，PA=AD=CD=2，BC=3.E 为 PD 的中点，点 F 在 PC 上，且13PFPC，求证：CD平面 PAD.【答案】证明见解析【解析】因为 PA平面 ABCD，CD 平面 ABCD，所以 PACD，又因为 ADCD，PAADA 所以 CD平面 PAD.考向 3 面面垂直证明【例 3】如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为AD、BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.证明：平面PEF平面ABFD.
9、【答案】证明见解析 【解析】证明：因为E、F分别为正方形ABCD的边AD、BC的中点，所以/AE BF 又ABBF，所以BFEF，又因为BFPF，PFEFF，所以BF 平面PEF，而BF 平面ABFD，因此，平面PEF平面ABFD.【变式 3-1】如图，在圆锥 PO 中，已知2PO，O的直径2AB，C 是AB上7 一点（异于 A，B），D 为 AC 的中点求证：平面POD 平面 PAC 【答案】证明见解析 【解析】因为AB是O的直径，C 是AB上一点，所以ACBC，因为 D 为 AC 的中点，O是AB的直径，所以ODBC，所以ACOD，因为在圆锥 PO 中，PO 平面ABC，AC 平面ABC，
10、所以POAC，因为ODPOO，所以AC 平面POD，因为AC 平面 PAC，所以平面POD 平面 PAC 【变式 3-2】如图，在四面体ABCD中，2BDa，ABADCBCDACa求证：平面ABD 平面BCD 【答案】证明见解析【解析】由题设知，ABD与BCD是全等的等腰三角形，取BD的中点 E，连接AE，CE，则AEBD，CEBD 8 在ABD中，ABa，1222BEBDa，所以2222AEABBEa，同理22CEa，在AEC中，22AECEa，ACa 由于222ACAECE，所以AECE，又BDCEE，AE平面BCD 又AE 平面ABD，所以平面ABD 平面BCD 【变式 3-3】已知多面
11、体 ABCDEF 如图，ABE是正三角形，222BCABADEF，AD 平面ABE，ADBC，ADEF，G，H 分别是线段BCDC、上的点，4BCBG，4DCDH求证：平面FGH 平面FDC 【答案】证明见解析 【解析】设线段 BC 中点为 M，连接 DM 交 GH 于点 O，分别连接 OF，BD 由条件可得，BMADEF，BMAD，又ADEF，三个四边形 ABMD，ADFE，BMFE 都是平行四边形，DMAB，DFAE，MFBE，DMAB，DFAE ABE是正三角形，DMF是正三角形，4BCBG，4DCDH，BDGH 由4BCBG得 G 是线段 BM 中点，所以 O 是 DM 中点FODM，
12、AD 平面 ABE，AB平面 ABE，AE 平面 ABE，ADAB，ADAE，9 ADDM，ADDF，DM，DF 是平面 DMF 内两条相交直线，AD 平面 DMF，FO 平面 DMF，ADFO，AD，DM 是平面 ABCD 两条相交直线，FO 平面 ABCD，CD 平面 ABCD，FOCD，22BCABDM，BDCD，GHCD，FO，GH 是平面 FGH 内两条相交直线，CD平面 FGH，CD 平面 FDC，平面FGH 平面 FDC 【题组 1 线线垂直证明】1、如图，在三棱锥SABC中，ABAC，SBSC求证：SABC 【答案】见解析 【解析】如图：取BC的中点D，连接SD、AD.因为AB
13、AC，SBSC，所以ADBC，SDBC.又SDADD，SD 平面SAD，AD 平面SAD，所以BC 平面SAD.又SA平面SAD，1 0 所以SABC.2、如图，正方体1111ABCDABC D中，求证1ACBD.【答案】证明见解析【解析】证明：如图，连接AC，ABCD是正方形，则ACBD，又1AA 平面ABCD，BD 平面ABCD，所以1AABD，1AAACA，1,AA AC 平面1A AC，所以BD 平面1A AC，又因为1AC 平面1A AC，所以1BDAC 3、已知直三棱柱111ABCABC中，侧面11AA B B为正方形，2ABBCEF，分别为AC和1CC的中点，D为棱11AB上的点
14、，11BFA B证明：BFDE；【答案】证明见解析.【解析】取BC中点M，连接,BM EM1 1 1 111ABCABC为直三棱柱且11BFA B，,E M分别为,AC BC中点，又11/AB ABEM，BFAB，BFEM，在BCF和BMB1中，FCBMBCBB112，且FCBMBB 190，BCFBMB1，即CBFBMBCBFCFB 190可得BFBM1，,BFBM BFEM BMEMM111B M 平面,EMB D EM 1平面EMB D1，BF 平面EMB D1，且DE 平面EMB D1 ，BFDE.4、如图，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD为等腰梯形，/BCAD，ABCD，E为棱
15、PB上一点，AC与BD交于点O，且ACBD，1AD，3BCPCPB，3 22PO 证明：ACDE；【答案】证明见解析 【解析】证明：四边形ABCD为等腰梯形，且ACBD OBC为等腰直角三角形 3BC，3 22OCOB，3PC，3 22PO，222=PCPOOC POAC 又BD 平面PBD，PO 平面PBD，BDPOO AC 平面PBD DE 平面PBDACDE 1 2 5、在如图所示的四棱锥FABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，/AB CD，60ABC，FC 平面ABCD，1CBCDCF，求证：ACBF.【答案】证明见解析.【解析】对于底面ABCD，ABCD是等腰梯形，/AB CD，60
16、ABC，1CBCD，过 C 作 CMAB 于 M，过 D 作 CGAB 于 G，则1GMCD.因为60ABC，1CB，所以1cos602BMBC，同理：12AG.所以，AB=2.连结 AC，在ABC 中，由余弦定理得：2222212cos60212 2 132ACABBCAB BC ，即222ACBCAB，所以 ACBC 因为FC 平面ABCD，所以FC AC.又因为FCBCC，所以AC 面 BCF，所以ACBF.【题组 2 线面垂直证明】1、如图所示，A1A 是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径，C 是底面圆周上异于 A，B 的任意一点，A1A=AB=2.求证:BC平面 A1AC 1 3
17、【答案】详见解析.【解析】证明:C 是底面圆周上异于 A，B 的任意一点，AB 是圆柱底面圆的直径，BCAC，1AA 平面,ABC BC 平面ABC，1AABC，11,AAACA AA平面1,AAC AC 平面1,AAC BC平面1A AC.2、如图，在三棱柱111ABCABC中，已知AB 侧面11BB C C，1ABBC，12BB，13BCC，求证：1C B 平面 ABC 【答案】证明见解析.【解析】因为AB 侧面11BB C C，1BC 侧面11BBC C，故1ABBC，在1BCC中，1BC，112CCBB，13BCC，由余弦定理得：2221122 1 2cos33 BC，所以13BC，故
18、22211BCBCCC，所以1BCBC，而BCABB，1 4 所以1BC 平面 ABC.3、如图，多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 为正方形，EA/FC，且 EA=CF=AB=4，EBDFBD 都是正三角形，证明：CF 平面ABCD.【答案】证明见解析 【解析】依题意，,EBDFBD都是等边三角形，四边形ABCD为正方形，4EACFABBC，所以22444 2BD，所以4 2BFDF.222222,BCCFBFCFCDDF，,CFBC CFCD，BCCD=C，BCCD平面 ABCD，CF 平面ABCD.4、如图，在ABC中，90ABC，PA 平面 ABC，垂足为 A，AMPC于点 M，
19、ANPB于点 N求证：PC平面 AMN 【答案】详见解析【解析】PA 平面 ABC，PABC 又BCAB，而PAABA，1 5 BC平面 PAB，BCAN ANPB，且PBBCB，AN平面 PBC，ANPC PCAM，且ANAMA PC平面 AMN 5、已知在三棱锥 S-ABC 中，ACB=90，又 SA平面 ABC，ADSC 于 D，求证：AD平面 SBC 【答案】证明见解析【解析】证明：因为 SA面 ABC，BC面 ABC，所以 BC SA；又由ACB=90，得 BCAC，且 AC、SA 是面 SAC 内的两相交线，所以 BC面 SAC；又 AD面 SAC，所以 BCAD，又已知 SCAD
20、，且 BC、SC 是面 SBC 内两相交线，所以 AD面 SBC.【题组 3 面面垂直证明】1、如图，在ABC中，ABAC，AD 平面 ABC，EC 平面 ABC，且2CEAD 求证：平面BDE平面 BCE 1 6 【答案】详见解析.【解析】取 BC 的中点 F，取 BE 的中点 G，连接 GF，DG，AF ABAC，AFBC EC 平面 ABC，AF 平面 ABC，ECAF ECBCC，AF平面 ECB 在BCE中，G，F 分别是 BE，BC 的中点，1/2GFEC，12GFEC 而EC 平面 ABC，AD 平面 ABC，/ECAD 2ECAD，GFAD，GFAD 四边形 AFGD 是平行四
21、边形/AFDGAF 平面 ECB，DG平面 ECBDG 平面 BED，平面BED 平面 BEC 2、如图，在正方体1111ABCDABC D中，求证：平面1B AC平面11B BDD 【答案】证明见详解.【解析】在正方体1111ABCDABC D中，可得1B B 平面ABCD，1 7 因为AC 平面ABCD，所以1B BAC，又ACBD，且1B BBDB，所以AC 平面11B BDD，又因为AC 平面1B AC，所以平面1B AC平面11B BDD 3、如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，90ABC，2PA，2 2AC 求证：平面PBC 平面PAB；【答案】证明见解析 【解析】证明 PA
22、底面ABC，PABC，又90ABC，ABBC，又PAABA，BC 平面PAB，BC 平面PBC，平面PBC 平面PAB；4、如图所示，已知平面PAB 平面ABC，平面PAC 平面ABC，ABAC，求证:PA 平面ABC.1 8 【答案】见解析【解析】证明：如图所示，在平面ABC内取一点D，作DEAC于点E，DFAB于点F 因为平面PAC 平面ABC，且交线为AC，所以DE 平面PAC 因为PA平面PAC，所以DEPA 同理可证DFPA 又DE，DF都在平面ABC内，且DEDFD，所以PA平面ABC 5、在正方体1111ABCDABC D中，E，F 分别是棱11AB，CD的中点.求证：平面11A
23、BC D 平面1AEC F.【答案】证明见解析【解析】证明：如图，连接EF，1AC交于点 O，连接1BC.在正方体1111ABCDABC D中，E，F 分别是棱11AB，CD的中点，易证四边形1AEC F是菱形.1 9 所以1EFAC.因为1EBFC，1EBFC，所以四边形1EFCB是平行四边形.所以1EFB C.因为1ABBC，所以ABEF.因为1AC 平面11ABC D，AB平面11ABC D，1ACABA，所以EF 平面11ABC D.因为EF 平面1AEC F，所以平面11ABC D 平面1AEC F.6、如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，1111,120,2,60ACBCACBAAA BA AC，证明：平面 ABC平面 A1ACC1.【答案】证明见解析【解析】证明：作AB的中点H，连接11,AC AH CH，如下图所示 112,1,60AAACA AC1ACAC 1,ACBCCHAB 112,AAAB1AHAB 1AHCHH AB平面1ACH，1AC 平面1ACH 1ACAB ABACA 1AC平面ABC，1AC 平面11A ACC 平面 ABC平面 A1ACC1.