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1、北京市昌平区 20072008 学年第二学期高三第二次统练 数学试卷（理科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷 1至 2 页，第卷 3 至 9 页，共 150 分考试时间 120 分钟 第卷（选择题 共 40 分）一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，并将答案填在题后的答题表中)1 已知向量a(2,1),b(,2)x,且a+b与 2a-b平行，则实数x的值是 A6 B6 C4 D 4 2函数2sinsincosyxxx的最小正周期为 A2 B C 2 D4 3若二项式nxx)2(的展开式的第 5 项为常数
2、项，则n的值为 A6 B10 C12 D15 4设集合2220Axy xyBxy xyn，则“2n ”是“AB”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.在等比数列185721010,6,5,naaa aaaa中则 的值为 A2332或 B32 C23 D2332或 6下列四个正方体中，直线l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，不能得出l 平面MNP的是 MNPAD1C1B1DCBA1llA1BCDB1C1D1APNMlA1BCDB1C1D1APNMlMNPAD1C1B1DCBA1 A.B.C.D.7在ABC中，(2,0)B
3、，(2,0)C，且满足条件1sinsinsin2CBA，则顶点A的轨迹方程是 A221(0)3yxy B.221(1)3yxx C221(1)3yxx D.221(1)3yxx 8在一次台球比赛中，两名选手约定：以先赢 6 局为胜.后比赛因故中断，不能进行，此时选手甲赢得 5 局比赛，选手乙赢得 2 局.试问总奖金两名选手应按如下哪种比例分配才合理 A 5：2 ：1 C.15：1 ：1 第一大题（选择题）答题表 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 北京市昌平区 20072008 学年第二学期高三第二次统练 数学试卷（理科）第卷（共 110 分）注意事项：1 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在
4、试卷上 2 答卷前将密封线内的项目填写清楚 题号 一 二 三 总分 15 16 17 18 19 20 得分 二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分请把答案填在题中横线上)9若复数2433 izmmm是纯虚数，则实数m 10已知数列na的通项公式为52nan，其前n项和为nS，则2limnnSn 11已知向量a与b都是单位向量，它们的夹角为 120，且|ka+b|3，则实数k的值是 12.市内某公共汽车站有 10 个候车位（排成一排），现有 4 名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有 5 个连续空座位的候车方式共有_种.13.在正三棱锥PABC中，,M N分别是侧棱,PB
5、 PC的中点，若截面AMN 侧 面PBC，则 此 三 棱 锥 的 侧 棱 与 底 面 所 成 角 的 正 切 值是 .14下列命题：要得到函数 y=sin(24x)的图象，只需将函数 y=sin2x的图象向右平移4个单位;PMNCBA函数 y=1xx的图象关于直线yx对称；函数()f x的定义域为 R,则函数()yfx 的图象关于原点成中心对称；设 随 机 变 量服 从 正 态 分 布2(2,)N，且(4)0.84P，则(02)0.34P.其中正确命题的序号是_.三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15(本小题满分 12 分)在ABC中，,a b
6、 c分别是角,A B C所对的边，0cos)cos(BcBAb.（）判断ABC的形状；（）若3sin,33Bb，求ABC的面积.16(本小题满分 13 分)一台仪器每启动一次都随机地出现一个 6 位的二进制数A 1236a a aa，其中A的各位数字中，161aa，(2,3,4,5,6)ka k 出现 0 的概率为13，出现 1的 概 率 为23.例 如：100111A，其 中230aa，451aa，记1236aaaa.当启动仪器一次时，（）求3的概率；（）求随机变量的分布列和数学期望.17.(本小题满分 14 分)如图，正三棱柱111ABCABC的底面边长的 3，侧棱1AA=,233D是CB
7、延长线上一点，且BDBC.（）求证：直线1BC 1AB D1BADB11CABB DA1B1C1ABCPNMBAoyx18(本小题满分 14 分)已知函数()()(),(,R)f xx xa xba b.（）若,0,ab ab过两点O(0,0)、(,0)A a的中点作与x轴垂直的直线，此直线与函数()yf x的图像交于点00(,()P xf x.求证：函数()yf x在点 P 处的切线过点B(b,0);（）若a=b(a0)，且当0,1xa时，2()2f xa恒成立，求实数a的取值范围.19(本小题满分 13 分)已知椭圆22122:1(0)xyCabab的一条准线方程是254x，其左、右顶点分
8、别是,A B，双曲线22222:1(0)xyCabab的一条渐近线方程为350 xy.（）求椭圆1C的方程；（）在第一象限内取双曲线2C上一点P，连结AP交椭圆1C于点M，连结PB并延长交椭圆1C于点N，若AMMP，求证：MNAB.20(本小题满分 14 分)已知函数2()(1)2ln(N*)kf xxx k.(I)讨论函数()f x的单调性；(II)k 是偶数时，正项数列na满足21131,()nnnaafaa，求na的通项公式；（III）k 是奇数，*Nn时，求证：1()2()2(22)nnnnnfxfx.北京市昌平区 20072008 学年第二学期高三第二次统练 数学试卷（理科）参考答案
9、及评分标准 一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)题号 答案（D）（B）（C）（A）（D）（B）（C）（B）二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)9、1 10、52 11、2 或-1 12、480 13、52 14、.三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)(本小题满分 12 分)解：（I）0cos)cos(BcBAb 0cossin)cos(sinBCBAB 0cossin)cos(sinBCCB 0cossincossinBCCB.3 分 0)sin(BC 在ABC中，C=B，即ABC为等腰三角形6
10、 分（2）C=B 02B 36sin,cos33BB 2 2sinsin()sin2 sin22sincos3ABCBBBB 112 2sin3 33 2223ABCSbcA .12 分(本小题满分 13 分)(I)解：（1）设3时为事件 A，即2345a a a a中恰有一位数字 1.则818)31()32()(3114 CAP.5 分(II)可能取值为 2、3、4、5、6 811)31()32()2(4004CP 818)31()32()3(3114CP 8124)31()32()4(2224CP 8132)31()32()5(1334CP 8116)31()32()6(0444CP 的分
11、布列为 2 3 4 5 6 P 181 881 2481 3281 1681 18243216142345581818181813E .13分 (本小题满分 14 分)（）证明：CD 又 DB1平面 AB1D，BC1平面 AB1D，直线 BC14分（）解：过 B 作 BEAD 于 E，连结 EB1，B1B平面 ABD，B1EAD，B1EB是二面角B1ADB的平面角，6 分 BD=BC=AB，E 是 AD 的中点，.2321ACBE 在 RtB1BE 中，11332tan3.32B BB BEBE B1EB=60 .即 二 面 角B1 AD B的 大 小 为60.9 分 （）解法一：过 A 作
12、AFBC 于 F，B1B平面 ABC，平面 ABC平面 BB1C1C，AF 平 面 BB1C1C，且 AF 为 点 A 到 平 面 BB1C1的 距离11 分 AF=,323323 AFSVVCBBCBBAABBC1111111131 .827233)323321(31 即三棱锥C1ABB1的体积为.827.14 分 解法二：在三棱柱 ABCA1B1C1中，11111111111CBAABAACABBCBAAABBVVVSS .827233)3434(313121111AASCBA即 三 棱 锥C1 ABB1的 体 积 为.827.14 分 (本小题满分 14 分)解：（I）由已知22(,()
13、,()3(22)242a aaPbfxxab xab 所求切线斜率为22()3()(22),2224aaaafabab 在点P处的切线方程为22()()4242aaaaybx.4 分 令 y=0,解得x=b.所 以 函 数，)(xfy 在 点P处 的 切 线 过 点B（b,0）.6 分 （II）因为ba，所求2)()(axxxf)3)(34322axaxaaxxy a0 时，函数)3,()(axfy在上单调递增，在),3(aa单调递减，在),(a上单调递增。10 分 所以，根据题意有223222122742)1(2)3(aaaaaafaaf即 解之得2711,022aaa 或又，2271 a1
14、4 分 (本小题满分 13 分)解：(1)椭圆的准线方程为254，2254ac.又因双曲线2C的渐近线方程为35yx，35ba，5,3,4abc.椭圆的标准方程为221259xy.6 分（2）设0000(,),(5,0)P xyxy，M是PA中点，点M的坐标为005(,)22xy.点M在椭圆1C上，P在双曲线2C上，2200(5)4259xy，2200()1259xy.010 x 或5（舍）.点P的坐标为(10,3 3)点M的坐标为5 3 3(,)22.3 3(5)5PByx直线的方程为，代入椭圆的方程得2215250 xx.解得52Nx，或5Nx（舍）.52Mx，MNAB.13 分 (本小题
15、满分 14 分)解：（I）由已知得0 x，而2()2(1)kfxxx，2 分（1）当k是奇数时，2()2,fxxx 0,()0,xfx()(0,)f x在上是增函数；3 分 (2)当k是偶数时，xxxxxxf)1)(2(222)(所以当0)(,)1,0(xfx时；当.0)(,),1(xfx时 故当k是偶数时，),1(,)1,0()(在上是减函数在xf上是增函数.6 分 （II）由已知得1)1(232221221nnnnnnaaaaaa，所 以12na是 以 2为 首 项，公 比 为2 的 等 比 数 列，故.12 nna10 分 （III）由已知得)0(22)(xxxxf，(1)当n=1 时，左式=22(2)(2)0 xxxx 右式=0.不等式成立.(2)2n,左式=)22(2)22()(2)(11nnnnnnnxxxxxfxf ).11(221424221nnnnnnnnnnnxCxCxCxC 令1224214211nnnnnnnnnnSC xC xCCxx 由倒序相加法得：)1()1()1(2221442221nnnnnnnnnnxxCxxCxxCS )22(2)(2121nnnnnCCC，所以).22(nS 所以.)22(2)(2)(1成立nnnnnxfxf 综上，当k是奇数，Nn时，命题成立.14 分 中国数学教育网 （以上答案仅供参考，其它答案请老师酌情给分）