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1、2019 年 11 月份温州市普通高中高考适应性测试 数学试题 一、选择题：每小题 4 分，共 40 分 1.已知全集1,2,3,4U，1,3A，U2,3B，则AB（）A1 B3 C 4 D1,3,4【答案】A【解析】由题意得：31，A,41，B,1BA.2.设实数,x y满足不等式组0034120 xyxy，则2zxy的最大值为（）A0 B2 C4 D6【答案】D【解析】由题意得：我们可以画出线性区域，线性区域是一个三角形，最值点在线性区域的三个端点处取得。我们联立方程得：300400，所以我们知道在30，取得最大值：6z 3.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（）
2、A31cm6 B31cm3 C31cm2 D32cm3 俯视图侧视图正视图1111【答案】B 4.若双曲线222210,0 xyCabab的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为（）A2yx B2yx C22yx D12yx 【答案】A【解析】由题意得：,3,3ace设mamc,3，则macb222，所以渐近线方程为 2yx 5.已知a，b是实数，则“1a 且1b”是“1abab”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意得：充分条件满足，必要条件：当4,2ba时，1abab 不一定可以推导出“1a 且1b”所以 A 为正确选项。6.
3、函数 1211f xxx的图象可能是（）DCBAxyO 1-11xyO 1-11xyO 1-11xyO 1-11 【答案】B【解析】先求定义域：11xx且，取特殊值，当2x，31y，排除 C，D.函数)1)(1(3xxxy，当.03yx，所以正确答案是 B。7.在四面体ABCD中，BCD是等边三角形，2ADB，二面角BADC的大小为，则的取值范围是（）A0,6 B0,4 C0,3 D0,2 ADCB 【答案】C 8.已知随机变量满足01Pp，1Pp，其中01p，令随机变量 E，则（）xyOBAPA EE B EE C DD D DD【答案】D 9.如 图，P为 椭 圆22122:10 xyEa
4、bab上 的 一 动 点，过 点P作 椭 圆22222:01xyEab的两条 切线PA，PB，斜率分别为1k，2k若12kk为定值，则（）A14 B24 C12 D22【答案】C【解析】设过）（00,yxP的直线方程：)(00 xxkyy，直线方程与椭圆2E联立可得：022200222bakxykxaxb 化简：022220020022222bakxyaxkxykaxkab 因为相切，=0 化简：0222200kabkxy，在整理成关于 k 的二次函数，02220002220bykyxkax有两个不相等的实数根，22022021axbykk常数，在化简得到21 9.已知数列 nx满足12x，1
5、21nnxx*nN，给出以下两个命题：命题p：对任意*nN，都有11nnxx；命题q：存在0,1r，使得对任意*nN，都有11nnxr则（）Ap真，q真 Bp真，q假 Cp假，q真 Dp假，q假【答案】B【解析】命题p：对任意*nN，都有11nnxx；为真命题，命题q：存在0,1r，使得对任意*nN，都有11nnxr为假命题。二、填空题：单空题每题 4 分，多空题每题 6 分 10.若复数z满足2212zii，其中i为虚数单位，则z ，z 【答案】i 21-,5【解析】由题意得：2212ziiiz21 z 5 11.直线142xy与x轴、y轴分别交于点A，B，则AB ；以线段AB为直径的圆的方
6、程为 【答案】024;5222yxyx【解析】由题意得：AB 16452 AB 中点坐标为 1,2，半径为5；所以圆的方程：5)1(222yx 12.若对xR，恒有75601561xaxaa xa xa x，其中0156,a a aa a R，则a ，5a 【答案】1，-1 13.如图所示，四边形ABCD中，7ACADCD，120ABC，5 3sin14BAC，则ABC的面积为 ，BD 【答案】4,8 DCBA 14.学校水果店里有苹果、香蕉、石榴、橘子、葡萄、西梅 6 种水果，西梅数量不多，只够一人购买甲、乙、丙、丁 4 位同学前去购买，每人只选择其中一种，这 4 位同学购买后，恰好买了其中
7、 3 种水果，则他们购买水果的可能情况有 种【答案】600【解析】分两种情况：（1）水果中无西梅；360332435ACC（2）水果中有西梅24022122425ACCC。合计 600 15.已知平面向量a，b，c满足1a，3b，0a b，ca与cb的夹角为6，则cba的最大值为 【答案】5 16.设函数 33f xxxa，若 f x在1,1上的最大值为 2，则实数a所有可能的取值组成的集合是 【答案】2 32 33,5,199 三、解答题：5 小题，共 74 分 17.（本题满分 14 分）在锐角ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知3b，sinsin2 3AaB（1）求角
8、 A 的值；（2）求函数 22coscosf xxAx（0,2x）的值域【答案】（1）.3(2).33,42【解析】()由正弦定理，得sinsin3sinaBbAA，则sinsin4sin2 3AaBA，得3sin2A，又A为锐角，故3A；()22()coscos3f xxx21cos 21cos2322xx 133sin 2cos 2222xx3sin 223x，因02x，故22333x，于 是3sin 2123x，因 此 3342fx，即()f x的值域为33,42.18.（本题满分 15）如图，已知四棱锥PABCD，BCAD，平面PAD 平面PBA，且DPDB，2ABBPPAADBC（1
9、）证明：AD 平面PBA；（2）求直线AB与平面CDP所成角的正弦值【解析】（I）证明：分别取PA，PB的中点M，N，连结AN，DN，BM.因DPDB，N为PB的中点，故PBDN.同理，PBAN，BMPA.故PB平面DNA.故PBAD.因平面PAD 平面PBA，平面PAD平面PBAPA，BM 平面PBA，BMPA，故BM 平面PAD.则BMAD.又PB，BM是平面PBA中的相交直线，故AD平面PBA.（II）法一：设直线AB和DC交于点Q，连结PQ，则PQPA.因ADPABP面面，故PQPAD 面，则PQDPAD面面.取PD的中点G，连结AG，QG，则AGPQD面，所以AQG就是直线AB与平面
10、PCD所成角.不妨设2AB，则在Rt AGQ中，=24AGAQ，故2sin4AGAQGAQ，所以直线AB与平面PCD所成角的正弦值为24.法二：由（I）知，ADABP 面，又BCAD，故BCPAB 面.如图，以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，MNCPBADGQCPBADxyzCPBAD不妨设2AB，则(0,0,0)A，(1,3,0)B，(1,3,1)C，(0,0,2)D，(2,0,0)P，则(1,3,0)AB，(1,3,1)CD ，(2,0,2)PD.设(,)x y zn是面PCD的一个法向量，则00CDPD，nn，即30220 xyzxz，取=1x，则(1,0,1)n.设直线AB与平面
11、PCD所成的角为，则|12sin|cos,|4|1 3 1 1ABABABnnn，所以直线AB与平面PCD所成角的正弦值为24.19.（本题满分 15）已知等差数列 na的首项11a，数列 2na的前n项和为nS，且12S，22S，32S 成等比数列（1）求通项公式na；（2）求证：12111nnnnaaannaaan（*nN）；【解析】（I）记d为na的公差，则对任意nN，112222nnnnaaada，即2 na为等比数列，公比20dq.由12S，22S，32S 成等比数列，得2213(2)(2)(2)SSS，即222(1)2(22)2(1)2qqq，解得2q，即1d.所以1(1)naan
12、dn，即()nan nN；xyOHFQPBA（II）由（I），即证：111(1)()112nnnnnN.下面用数学归纳法证明上述不等式.当1n 时，不等式显然成立；假设当()nk kN时，不等式成立，即111(1)112kkkk，则当1nk时，11111(1)11211kkkkkk.因2211221(1)1(1)01212kkkkkkkkkkkk，故11(1)1(1)121kkkkkkk.于是111111(1)(1)1121kkkkk，即当1nk时，不等式仍成立.综合，得111(1)()112nnnnnN.所以121()1()1nnnnaaannnaaan N 20.（本题满分 15）如图，F
13、是抛物线220ypx p的焦点，过F的直线交抛物线于11,A x y，22,B xy两点，其中10y，124y y 过点A作y轴的垂线交抛物线的准线于点H，直线HF交抛物线于点P，Q（1）求p的值；（2）求四边形APBQ的面积S的最小值【解析】（I）易得直线AB的方程为1212()2yyypxy y，代入(,0)2p，得2124y yp ，所以2p；（II）点221212(,)(,)44yyAyBy，则1(1,)Hy，直线1:(1)2yPQ yx，代入24yx，得2222111(216)0y xyxy.设3344(,)(,)P xyQ xy，则2134214(4)|2yPQxxy.设AB，到P
14、Q的距离分别为12dd，由11:20PQ y xyy，得 323112111211221122211|2(2)|(2)|44444yy yyyyyyyyyyddyy 311221|2|44yyyy3112211221114|2|4(4)444yyyyyyy，因此2511231(4)1|()22APBQySPQddy.设函数256(4)()xf xx(0)x，则24274(4)(6)()xxfxx，可得，当(0,6)x时，()f x单调递减；当(6,)x时，()f x单调递增，从而当16y 时，S取得最小值125 15(6)29f 21.（本题满分 15）已知实数0a，设函数 eaxfxax（1
15、）求函数 f x的单调区间；（2）当12a 时，若对任意的1,x，均有 212af xx，求a的取值范围 注：e2.71828为自然对数的底数【解析】（I）由()(1)=0axaxfxa eaa e，解得0 x 若0a，则当(0,)x时，()0fx，故()f x在(0,)内单调递增；当(,0)x 时，()0fx，故()f x在(,0)内单调递减 若0a，则当(0,)x时，()0fx，故()f x在(0,)内单调递增；当(,0)x 时，()0fx，故()f x在(,0)内单调递减 综上所述，()f x在(,0)内单调递减，在(0,)内单调递增（II）2()(1)2af xx，即2(1)2axae
16、x（）令0 x，得12a，则122a 当1x 时，不等式（）显然成立，当(1,)x 时，两边取对数，即2ln(1)ln2aaxx恒成立 令函数()2ln(1)ln2aF xxax，即()0F x 在(1,)内恒成立 由22(1)()=011a xF xaxx，得211xa 故当2(1,1)xa 时，()0F x，()F x单调递增；当2(1+)xa，时，()0F x，()F x单调递减.因此22()(1)2ln2ln2ln22aaF xFaaaa 令函数()2ln2ag aa，其中122a，则11()10ag aaa，得1a，故当1(,1)2a时，()0g a，()g a单调递减；当(1,2a时，()0g a，()g a单调 递增 又13()ln4022g，(2)0g，故当122a时，()0g a 恒成立，因此()0F x 恒成立，即当122a时，对任意的 1,)x ，均有2()(1)2af xx成立