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1、第 32 页 万有引力定律应用典型案例 万有引力定律不仅是高考的一个大重点，而且是自然科学的一个重大课题，也是同学们最感兴趣的科学论题之一。特别是我国“神州五号载人飞船的发射成功，更激发了同学们研究卫星，探索宇宙的信心。下面我们就来探讨一下万有引力定律在天文学上应用几个典型案例：【案例 1】天体的质量与密度的估算 以下哪一组数据能够估算出地球的质量 解析：人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动。月球也是地球的一颗卫星。设地球的质量为 M，卫星的质量为 m，卫星的运行周期为 T，轨道半径为 r 根据万有引力定律：rT4mrMmG222得：232GTr4M可见 A 正确 而Tr2v由知 C 正确 对地
2、球外表的卫星，轨道半径等于地球的半径，r=R 由于3R4M3结合得：G3T2 可见 D 错误 地球外表的物体，其重力近似等于地球对物体的引力 由2RMmGmg 得：GgRM2可见 B 正确 第 33 页【剖析点评】根据牛顿定律，只能求出中心天体的质量，不能解决环绕天体的质量；能够根据条件和的常量，运用物理规律估算物理量，这也是高考对学生的要求。总之，牛顿万有引力定律是解决天体运动问题的关键。【案例 2】普通卫星的运动问题 我国自行研制发射的“风云一号“风云二号气象卫星的运行轨道是不同的。“风云一号是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为 12 h，“风云二号是同步轨道卫星，其运行轨
3、道就是赤道平面,周期为 24 h。问：哪颗卫星的向心加速度大？哪颗卫星的线速度大？假设某天上午 8 点，“风云一号正好通过赤道附近太平洋上一个小岛的上空，那么“风云一号下次通过该岛上空的时间应该是多少？解析：此题主要考察普通卫星的运动特点及其规律 由开普勒第三定律 T2r3知：“风云二号卫星的轨道半径较大 又根据牛顿万有引力定律rvmmarMmG22得：2rMGa，可见“风云一号卫星的向心加速度大，rGMv，可见“风云一号卫星的线速度大，“风云一号下次通过该岛上空，地球正好自转一周，故需要时间 24h，即第二天上午 8 点钟。【剖析点评】由万有引力定律得：2MaGr，GMvr，3GMr，32r
4、TGM得：所有运动学量量都是 r 的函数。我们应该建立函数的思想。第 34 页 运动学量 v、a、f 随着 r 的增加而减小，只有 T 随着 r 的增加而增加。任何卫星的环绕速度不大于/s，运动周期不小于 85min。学会总结规律，灵活运用规律解题也是一种重要的学习方法。【案例 3】同步卫星的运动 以下关于地球同步卫星的说法中正确的选项是：A、为防止通讯卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上 B、通讯卫星定点在地球赤道上空某处，所有通讯卫星的周期都是24h C、不同国家发射通讯卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面上 D、不同通讯卫星运行的线速度大小是一样的，加速度的大小也是一样
5、的。解析：此题考察地球同步卫星的特点及其规律。同步卫星运动的周期与地球自转周期一样，T=24h，角速度一定 根据万有引力定律rT4mrmMG222得知通讯卫星的运行轨道是一定的，离开地面的高度也是一定的。地球对卫星的引力提供了卫星做圆周运动的向心力，因此同步卫星只能以地心为为圆心做圆周运动，它只能与赤道同平面且定点在赤道平面的正上方。故 B 正确，C 错误。不同通讯卫星因轨道半径一样，速度大小相等，故无相对运动，不会相撞，A 错误。由rvmmarMmG22知：通讯卫星运行的线速度、向心加速度大小一定。第 35 页 故正确答案是：B、D【剖析点评】通讯卫星即地球同步通讯卫星，它的特点是：与地球自
6、转周期一样，角速度一样；与地球赤道同平面，在赤道的正上方，高度一定，绕地球做匀速圆周运动；线速度、向心加速度大小一样。三颗同步卫星就能覆盖地球。【案例 4】“双星问题 天文学中把两颗距离比拟近，又与其它星体距离比拟远的星体叫做双星，双星的间距是一定的。设双星的质量分别是m1、m2，星球球心间距为 L。问：两星体各做什么运动？两星的轨道半径各多大？两星的速度各多大？解析：此题主要考察双星的特点及其运动规律 由于双星之间只存在相互作用的引力，质量不变，距离一定，那么引力大小一定，根据牛顿第二定律知道，每个星体的加速度大小不变。因此它们只能做匀速圆周运动。由牛顿定律222121221rmrmLmmG
7、 得：1221mmrr 又Lrr21 解得：LmmmrLmmmr21122121 由得：)mm(LGmLrGmrv21221211【剖析点评】双星的特点就是距离一定，它们间只存在相互作用的引力，引力又一定，从而加速度大小就是一个定值，这样的运动只能是匀速O m m r r 第 36 页 圆周运动。这个结论很重要。同时利用对称性，巧妙解题，找到结论的规律，搞清结论的和谐美与对称美对我们以后的学习也很有帮助。【案例 5】卫星追及相遇问题 如图是在同一平面不同轨道上运行的两颗人造地球卫星。设它们运行的周期分别是 T1、T2，(T1T2)，且某时刻两卫星相距最近。问：两卫星再次相距最近的时间是多少？两
8、卫星相距最远的时间是多少？解析：此题考察同一平面不同轨道上运行的两颗人造地球卫星的位置特点及其卫星的运动规律 依题意，T1T2，周期大的轨道半径大，故外层轨道运动的卫星运行一周的时间长。设经过t 两星再次相距最近 那么它们运行的角度之差2 2tT2tT2:21即 解得：1221TTTTt 两卫星相距最远时，它们运行的角度之差12 k 1k2tT2tT2:21即 k=解得：1221TTTT21k2t k=【剖析点评】曲线运动求解时间，常用公式=t；通过作图，搞清它们转动的角度关系，以及终边一样的角，是解决这类问题的关键。【案例 6】同步卫星的发射问题 地第 37 页 发射地球同步卫星时，先将卫星
9、发射至近地圆形轨道 1运行，然后点火，使其沿椭圆轨道2 运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆形轨道3 运行。设轨道 1、2 相切于 Q 点，轨道 2、3 相切于 P 点，那么卫星分别在 1、2、3 轨道上正常运行时，比拟卫星经过轨道 1、2 上的 Q 点的加速度的大小；以及卫星经过轨道 2、3 上的 P 点的加速度的大小 设卫星在轨道 1、3 上的速度大小为 v1、v3，在椭圆轨道上 Q、P 点的速度大小分别是 v2、v2/，比拟四个速度的大小 解析：同步卫星的发射有两种方法，此题提供了同步卫星的一种发射方法，并考察了卫星在不同轨道上运动的特点。根据牛顿第二定律，卫星的加速度是由于地球吸引卫星
10、的引力产生的。即：marMmG2可见 卫星在轨道 2、3 上经过 P 点的加速度大小相等；卫星在轨道 1、2 上经过 Q 点的加速度大小也相等；但 P 点的加速度小于 Q 点的加速度。1、3 轨道为卫星运行的圆轨道，卫星只受地球引力做匀速圆周运动 由rvmrMmG22得：rGMv 可见：v1v3 由开普勒第二定律知，卫星在椭圆轨道上的运动速度大小不同，近地点Q 速度大，远地点速度小，即：v2v2/卫星由近地轨道向椭圆轨道运动以及由椭圆轨道向同步轨道运动的过地P Q vvvv1 2 3 第 38 页 程中，引力小于向心力，rvmrMmG22，卫星做离心运动，因此随着轨道半径 r 增大，卫星运动速
11、度增大，它做加速运动，可见：v2v1，v3v2/因此：v2v1v3v2/【剖析点评】卫星运动的加速度是由地球对卫星的引力提供的，所以研究加速度首先应考虑牛顿第二定律；卫星向外轨道运行时，做离心运动，半径增大，速度必须增大，只能做加速运动。同步卫星是怎样发射的呢？通过上面的例题及教材学习，我们知道：同步卫星的发射有两种方法，一是直接发射到同步轨道；二是先发射到近地轨道，然后再加速进入椭圆轨道，再加速进入地球的同步轨道。【案例 7】“连续群与“卫星群 土星的外层有一个环，为了判断它是土星的一局部，即土星的“连续群，还是土星的“卫星群，可以通过测量环中各层的线速度 v 与该层到土星中心的距离R 之间
12、的关系来判断：A、假设 vR，那么该层是土星的连续群 B、假设 v2R，那么该层是土星的卫星群 C、假设R1v，那么该层是土星的连续群 D、假设R1v2，那么该层是土 星的卫星群 解析：此题考察连续物与别离物的特点与规律 该环假设是土星的连续群，那么它与土星有共同的自转角速度，Rv，因此 vR 第 39 页 该环假设是土星的卫星群，由万有引力定律RvmRMmG22得：R1v2 故 A、D 正确【剖析点评】土星也在自转，能分清环是土星上的连带物，还是土星的卫星，搞清运用的物理规律，是解题的关键。同时也要注意，卫星不一定都是同步卫星。【案例 8】宇宙空间站上的“完全失重问题 假定宇宙空间站绕地球做
13、匀速圆周运动，那么在空间站上，以下实验不能做成的是：A、天平称物体的质量 B、用弹簧秤测物体的重量 C、用测力计测力 D、用水银气压计测飞船上密闭仓内的气体压强 E、用单摆测定重力加速度 F、用打点计时器验证机械能守恒定律 解析：此题考察了宇宙空间站上的“完全失重现象。宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动时，地球对飞船的引力提供了向心加速marMmG2，可见2rMGa 对于飞船上的物体，设 F 为“视重，根据牛顿第二定律得：解得：F=0，这就是完全失重 在完全失重状态下，引力方向上物体受的弹力等于零，物体的重力等于引力，因此只有C、F 实验可以进展。其它的实验都不能进展。【剖析点评】当物体的加速度等于
14、重力加速度时，引力方向上物体受第 40 页 的弹力等于零，但物体的重力并不等于零；在卫星上或宇宙空间站上人可以做机械运动，但不能测定物体的重力。【案例 9】黑洞问题“黑洞1012m106m/s 的速度绕它旋转，据此估算该可能黑洞的最大半径是多少？保存一位有效数字 解析：此题考察“黑洞的根本知识，这是一道信息题。黑洞做为一种特殊的天体，一直受到人们广泛的关注,种种迹象说明,它确实存在于人的视野之外。黑洞之黑，就在于光子也逃不出它的引力约束。光子绕黑洞做匀速圆周运动时，它的轨道半径就是黑洞的最大可能半径。设光子的质量为m，黑洞的质量为M，黑洞的最大可能半径为R，光子的速度为c 根据牛顿定律RcmR
15、MmG22得：对银河系中的星体,设它的质量为 m/,它也在绕黑洞旋转,因此rvmrMmG22 由解得：m103rcvR822【剖析点评】通过上面的数据分析我们知道，黑洞是一种特殊的天体，它的质量、半径都很大，因此它对周围星体的引力特别大，任何物质包括光子都将被它吸入，这就是“黑洞命名的缘由。黑洞是否真正存在，其运动特点和规律到底怎么样，同学们可以上网查资料，充分考察研究。希望同学们将来成为真正的宇宙探秘科学家。我们要认真学习课本的阅读材料，能用中学物理知识分析解决科技中的问题。第 41 页【案例 10】“宇宙飞船及能量问题 宇宙飞船要与正在轨道上运行的空间站对接。飞船为了追上轨道空间站，应采取
16、什么措施？飞船脱离原来的轨道返回大气层的过程中，重力势能如何变化？动能如何变化？机械能又如何变化？解析：此题主要考察飞船运行过程中的能量问题。根据rvmrMmG22知：在同一运行轨道上，宇宙飞船与轨道空间站的运行速率是一样的，它不可能追上轨道空间站。当飞船在较小的轨道上运行时满足：1221rvmrMmG 当飞船在较小的轨道上加速运动时，1221rvmrMmG 随着速度增大，飞船将做离心运动，运行轨道半径增大，逐渐靠近外层轨道 r2才能追上飞船。可见飞船为了追上轨道空间站，应该从较低的轨道上加速运行。飞船脱离原来的轨道返回大气层的过程中，需要制动减速，其运动的轨道半径逐渐减小。由于轨道变化比拟慢
17、，制动的阻力又在切线方向,阻力引起的速度的变化很小，所以仍然满足rGMv，可见，飞船的动能增加；由于飞船离地的高度逐渐降低，因此飞船的重力势能减小；由于飞船需要克制大气阻力和制动力做功，因此飞船的机械能减小。【剖析点评】宇宙飞船在空间轨道上运动，是靠地球的引力产生向心加速度维持的，轨道一定，那么速率一定。要想往外轨道运动，必须加速，地第 42 页 使它做离心运动；要想往内轨道运动，必须减速，使它做向心运动。研究飞船的能量问题，既要从功的角度去考虑，又要从实际出发去研究，必须抓住矛盾的主要方面去分析。万有引力在天文学上的运用还很多，这里不再一一研究。不管什么问题，只要我们认真审题，明确物体运动的物理图景,知道物体的状态参量,搞清运用的物理规律，勇于探索，善于总结规律，就一定能学好高中物理。