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函数连续性相关定理 有界性：闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。1、有界性 所谓有界就是指，存有一个正数 m，使对于任一 xa,b，都存有|f(x)|m。证明：利用致密性定理：有界的数列必有收敛子数列。2、最值性 所谓最大值是指，a,b上存在一个点 x0，使得对任意 xa,b，都有 f(x)f(x0)，则称 f(x0)为 f(x)在a,b上的最大值。最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反向即可。3、多值性 这个性质又被称作介值定理，其包含了两种特殊情况：（1）零点定理。也就是当 f(x)在两端点处的函数值 a、b 异号时（此时存有 0 在 a 和b 之间），在开区间(a,b)上必存有至少一点，并使 f()=0。（2）闭区间上的连续函数在该区间上必定取得最大值和最小值之间的一切数值。闭区间上的连续函数在该区间上一致已连续。所谓一致连续是指，对任意 0（无论其多么小），总存在正数，当区间 i 上任意两个数 x1、x2 满足|x1-x2|时，有|f(x1)-f(x2)|，就称 f(x)在 i 上是一致连续的。对于连续性，在自然界中存有 bai 许多现象，例如气温 du 的变化，植物的生长等都就是已连续地 zhi 变化着的。这种现象在函 dao 数关系上的充分反映，就是函数的连续性。直观地说道，如果一个函数的图像你可以一笔画出，整个过程不必抬笔，那么这个函数就是已连续的。