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1、 六年级奥数-第七讲1.行程问题(一).教师版(同名 21865)第七讲 行程问题一 教学目标：1、比例的根本性质 2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题 3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；4、单位“1”变化的比例问题 5、方程解比例应用题 知识点拨：发车问题 1、一般间隔发车问题。用 3 个公式迅速作答；汽车间距=汽车速度+行人速度相遇事件时间间隔 汽车间距=汽车速度-行人速度追及事件时间间隔 汽车间距=汽车速度汽车发车时间间隔 2、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。标准方法是：画图尽可能多的列 3 个好使公式结合 s 全程vt-结合植树问题数数。（3）当出现屡次相遇和
2、追及问题柳卡 火车过桥 火车过桥问题常用方法 火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和.火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和那么为两车身长度之和.火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度.对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行.接送问题 根据校车速度 来回不同、班级速度 不同班不同速、个指针“每分钟走多少角度或者“每分钟走多少小格。
3、流水行船问题中的相遇与追及 两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船甲在上游、乙在下游在江河里相向开出：甲船顺水速度+乙船逆水速度=甲船速+水速乙船速-水速=甲船船速+乙船船速 同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关.甲船顺水速度-乙船顺水速度=甲船速+水速-乙船速+水速=甲船速-乙船速 也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=甲船速-水速-乙船速-水速=甲船速-乙船速.说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水速没有关系.例题精讲：模块一 发车问题 【例 1】某停车场有10辆出租汽车，第一辆出租汽车出发后，每隔 4 分钟，有一辆
4、出租汽车开出.在第一辆出租汽车开出 2 分钟后，有一辆出租汽车进场.以后每隔 6分钟有一辆出租汽车回场.回场的出租汽车，在原有的 10 辆出租汽车之后又依次每隔 4 分钟开出一辆，问：从第一辆出租汽车开出后，经过多少时间，停车场就没有出租汽车了？【解析】这个题可以简单的找规律求解 时间 车辆 4 分钟 9 辆 6 分钟 10 辆 8 分钟 9 辆 12 分钟 9 辆 16 分钟 8 辆 18 分钟 9 辆 20 分钟 8 辆 24 分钟 8 辆 由此可以看出：每 12 分钟就减少一辆车，但该题需要注意的是：到了剩下一辆的时候是不符合这种规律的到了 12*9=108 分钟的时候，剩下一辆车，这时
5、再经过 4 分钟车厂恰好没有车了，所以第 112 分钟时就 没有车辆了，但题目中问从第一辆出租汽车开出后，所以应该为 108 分钟。【例 2】某人沿着电车道旁的便道以每小时4.5千米的速度步行，每7.2分钟有一辆电车迎面开过，每 12 分钟有一辆电车从后面追过，如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行 问：电车的速度是多少？电车之间的时间间隔是多少？【解析】设电车的速度为每分钟x米人的速度为每小时4.5千米，相当于每分钟 75 米根据题意可列方程如下：757.27512xx，解得300 x，即电车的速度为每分钟 300米，相当于每小时 18 千米相同方向的两辆电车之间的距离为：3007
6、5122700(米)，所以电车之间的时间间隔为：27003009(分钟)【巩固】某人以匀速行走在一条公路上,公路的前后两端每隔相同的时间发一辆公共汽车.他发现每隔 15 分钟有一辆公共汽车追上他；每隔 10 分钟有一辆公共汽车迎面驶来擦身而过.问公共汽车每隔多少分钟发车一辆?【解析】这类问题一般要求两个根本量：相邻两电车间距离、电车的速度。是人与电车的相遇与追及问题，他们的路程和差即为相邻两车间距离，设两车之间相距S，根 据 公 式 得()10minSVV人车，50712.55xx，那 么6(6)3(3)xt yxt y，解 得2(3)3xt y，所 以 发 车 间 隔T=2.52.53(3)
7、xyxt y 【巩固】某人沿电车线路行走，每 12 分钟有一辆电车从后面追上，每 4 分钟有一辆电车迎面开来假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔【解析】设电车的速度为 a，行人的速度为 b，因为每辆电车之间的距离为定值，设为 l由电车能在 12 分钟追上行人 l 的距离知，(21)xty；由电车能在 4 分钟能与行人共同走过 l 的距离知，112,所以有 l=12(a-b)=4(a+b)，有 a=2b，即电车的速度是行人步行速度的 2 倍。那么 l=4(a+b)=6a，那么发车间隔上：1650(1)541211即发车间隔为 6 分钟 【例 3】一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，
8、骑车人速度是步行人速度的 3 倍，每隔 6 分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔 10 分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？【解析】要求汽车的发车时间间隔，只要求出汽车的速度和相邻两汽车之间的距离就可以了，但题目没有直接告诉我们这两个条件，如何求出这两个量呢？由题可知：相邻两汽车之间的距离以下简称间隔距离是不变的，当一辆公共汽车超过步行人时，紧接着下一辆公共汽车与步行人之间的距离就是间隔距离，每隔 6 分钟就有一辆汽车超过步行人，这就是说：当一辆汽车超过步行人时，下一辆汽车要用 6 分钟才能追上步行人，汽车与行人的路程差就是相邻两
9、汽车的间隔距离。对于骑车人可作同样的分析.因此，如果我们把汽车的速度记作V汽，骑车人的速度为V自，步行人的速度为V人单位都是米/分钟，那么：间隔距离=V汽-V人6米，间隔距离=V汽-V自10米，V自=3V人。综合上面的三个式子，可得：V汽=6V人，即V人=1/6V汽，那么：间隔距离=V汽-1/6V汽6=5V汽米 所以，汽车的发车时间间隔就等于：间隔距离V汽=5V汽米V汽米/分钟=5分钟。【巩固】从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲与乙两人在一条街上沿着同一方向步行。甲每分钟步行82 米，每隔 10 分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每分钟步行 60 米，每隔 10 分 15 秒遇上迎面开来的一辆
10、电车。那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电 车？【解析】这类问题一般要求两个根本量：相邻两电车间距离、电车的速度。甲与电车属于相遇问题，他们的路程和即为相邻两车间距离，根据公式得65411，类似可得65(1210)6054651111，那么56511，即112，解得54米/分，因此发车间隔为 9020820=11 分钟。【例 4】甲城的车站总是以 20 分钟的时间间隔向乙城发车，甲乙两城之间既有平路又有上坡和下坡，车辆包括自行车上坡和下坡的速度分别是平路上的 80%和 120%，有一名学生从乙城骑车去甲城，该学生平路上的骑车速度是汽车在平路上速度的四分之一，那么这位学生骑车的学生在平路、上坡、下
11、坡时每隔多少分钟遇到一辆汽车？【解析】先看平路上的情况，汽车每分钟行驶汽车平路上汽车间隔的 1/20，那么每分钟自行车在平路上行驶汽车平路上间隔的 1/80，所以在平路上自行车与汽车每分钟合走汽车平路上间隔的 1/20+1/80=1/16，所以该学生每隔 16 分钟遇到一辆汽车，对于上坡、下坡的情况同样用这种方法考虑，三种情况中该学生都是每隔 16 分钟遇到一辆汽车.【例 5】甲、乙两地是电车始发站，每隔一定时间两地同时各发出一辆电车，小张和小王分别骑车从甲、乙两 地出发，相向而行每辆电车都隔 4 分钟遇到迎面开来的一辆电车；小张每隔 5 分钟遇到迎面开来的一辆电车；小王每隔 6 分钟遇到迎面
12、开来的一辆电车电车行驶全程是 56 分钟，那么小张与小王在途中相遇时他们已行走了 分钟【解析】由题意可知，两辆电车之间的距离 10电车行 8 分钟的路程每辆电车都隔 4 分钟遇到迎面开来的一辆电车 10电车行 5 分钟的路程1小张行 5 分钟的路程 24电车行 6 分钟的路程72小王行 6 分钟的路程 由此可得，小张速度是电车速度的10，小王速度是电车速度的12，小张与小王的速度和是电车速度的10，所以他们合走完全程所用的时间为电车行驶全程所用时间的12，即53分钟，所以小张与小王在途中相遇时他们已行走了 60 分钟 【例 6】小峰骑自行车去小宝家聚会，一路上小峰注意到，每隔 9 分钟就有一辆
13、公交车从前方超越小峰，小峰骑车到半路，车坏了，小峰只好打的去小宝家，这时小峰又发现出租车也是每隔 9 分钟超越一辆公交车，出租车的速度是小峰骑车速度的 5 倍，那么如果公交车的发车时间间隔和行驶速度固定的话，公交车的发车时间间隔为多少分钟？【解析】间隔距离=公交速度-骑车速度9 分钟；间隔距 离=出租车速度-公交速度9 分钟所以，公交速度-骑车速度=出租车速度-公交速度；公交速度=骑车速度+出租车速度/2=3骑车速度.由此可知，间隔距离=公交速度-骑车速度9 分钟=2骑车速度9 分钟=3骑车速度6 分钟=公交速度6 分钟.所以公交车站每隔 6 分钟发一辆公交车.【例 7】某人乘坐观光游船沿顺流
14、方向从 A 港到 B 港。发现每隔 40 分钟就有一艘货船从后面追上游船，每隔 20分钟就会有一艘货船迎面开过，A、B 两港间货船的发船间隔时间相同，且船在净水中的速度相同，均是水速的 7 倍，那么货船发出的时间间隔是_分钟。【解析】由于间隔时间相同，设顺水两货船之间的距离为“1，逆水两货船之间的距离为71713/4。所以，货船顺水速度游船顺水速度1/40，即货船静水速度游船静水速度1/4，货船逆水速度游船顺水速度3/41/203/80，即货船静水速度游船静水速度3/80，可以求得货船静水速度是1/403/8021/32，货船顺水速度是 1/3211/71/28，所以货船的发出间隔时间是11/
15、2828 分钟。模块二 火车过桥 【例 8】小李在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度是 1.5 米/秒，这时迎面开来一列火车，从车头到车尾经过他身旁共用了 20 秒 火车全长 390 米，求火车的速度【答案】18 米/秒 【例 9】小英和小敏为了测量飞驶而过的火车速度和车身长,他们拿了两块跑表.小英用一块表记下了火车从她面前通过所花的时间是 15 秒;小敏用另一块表记下了从车头过第一根电线杆到车尾过第二根电线杆所花的时间是 20 秒.两电线杆之间的距离是 100 米.你能帮助小英和小敏算出火车的全长和时速吗?【解析】火车的时速是:100(20-15)6060=72000(米/小时)，
16、车身长是:2015=300(米)【例 10】列车通过 250 米的隧道用 25 秒，通过 210 米长的隧道用 23 秒 又知列车的前方有一辆与它同向行驶的货车，货车车身长 320 米，速度为每秒 17米列车与货车从相遇到相离需要多少秒？【解析】列车的速度是(250 210)(25 23)=20(米秒)，列车的车身长：20 25 250=250(米)列车与货车从相遇到相离的路程差为两车车长，根据路程差 速度差追击时间，可得列车与货车从相遇到相离所用时间为：(250 320)(20 17)=190 (秒)【例 11】某列车通过 250 米长的隧道用 25 秒，通过 210 米长的隧道用 23秒，
17、假设该列车与另一列长150米.时速为 72 千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？【解析】根据另一个列车每小时走 72 千米，所以，它的速度为：72000360020米/秒，某列车的速度为：25O210252340220米/秒 某列车的车长为：2025-250500-250250米，两列车的错车时间为：25015020204004010秒。【例 12】李云靠窗坐在一列时速 60 千米的火车里，看到一辆有 30 节车厢的货车迎面驶来，当货车车头经过窗口时，他开始计时，直到最后一节车厢驶过窗口时，所计的时间是 18 秒货车车厢长 15.8 米，车厢间距 1.2 米，货车车头长 10 米 问货车行驶
18、的速度是多少？【解析】此题中从货车车头经过窗口开始计算到货车最后一节车厢驶过窗口，相当于一个相遇问题，总路程为货车的车长货车总长为：(15.8 30 1.2 30 10)1000=0.52(千米)，火车行进的距离为：6018/3600=0.3(千米)，货车行进的距离为：0.52 0.3=0.22(千米)，货车的速度为：0.2218/3600=44(千米时)【例 13】铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6 千米/时，骑车人速度为 10.8 千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用 22 秒，通过骑车人用 26秒，这列火车的车身总长是多少？
19、【解析】行人的速度为 3.6 千米/时=1 米/秒，骑车人的速度为 10.8 千米/时=3 米/秒。火车的车身长度既等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差。如果设火车的速度为x米/秒，那么火车的车身长度可表示为x-122 或x-326，由此不难列出方程。法一：设这列火车的速度是x米/秒，依题意列方程，得x-122=x-326。解得x=14。所以火车的车身长为：14-122=286米。法二：直接设火车的车长是x,那么等量关系就在于火车的速度上。可得：x/263x/221 这样直接也可以x=286 米 法三：既然是路程相同我们同样可以利用速度和时间成反比来解决。两次的追及时间比
20、是：22：2611：13，所以可得：V车1：V车313：11，可得V车14 米/秒，所以火车的车长是14-122=286米 【例 14】一列长 110米的火车以每小时 30 千米的速度向北缓缓驶去，铁路旁一条小路上，一位工人也正向北步行。14 时 10 分时火车追上这位工人，15 秒后离开。14 时 16 分迎面遇到一个向南走的学生，12 秒后离开这个学生。问：工人与学生将在何时 相遇？【解析】工人速度是每小时 30-0.11/15/3600=3.6 千米 学生速度是每小时0.11/12/3600-30=3 千米 14 时 16 分到两人相遇需要时间30-3.6*6/60/3.6+3=0.4小
21、时=24 分钟 14 时 16 分+24 分=14 时 40 分 【例 15】同方向行驶的火车，快车每秒行 30 米，慢车每秒行22 米。如果从辆车头对齐开始算，那么行 24 秒后快车超过慢车，如果从辆车尾对齐开始算，那么行 28秒后快车超过慢车。快车长多少米，满车长多少米？【解析】快车每秒行 30 米，慢车每秒行 22 米。如果从辆车头对齐开始算，那么行 24 秒后快车超过慢车，每秒快8 米，24 秒快出来的就是快车的车长 192m，如果从辆车尾对齐开始算，那么行 28 秒后快车超过慢车那么看来这个慢车比快车车长，长多少呢？长得就是快车这 4 秒内比慢车多跑的路程啊 4832，所以慢车 22
22、4 【例 16】两列火车相向而行，甲车每小时行 36 千米，乙车每小时行 54 千米.两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的 车窗共用了 14 秒，求乙车的车长.【解析】首先应统一单位：甲车的速度是每秒钟 36000360010米，乙车的速度是每秒钟 54000360015米.此题中甲车上的乘客实际上是以甲车的速度在和乙车相遇。更具体的说是和乙车的车尾相遇。路程和就是乙车的车长。这样理解后其实就是一个简单的相遇问题。101514350米，所以乙车的车长为 350 米.【例 17】在双轨铁道上，速度为54千米/小时的货车10时到达铁桥，10时1分24秒完全通
23、过铁桥，后来一列速度为72千米/小时的列车，10时12分到达铁桥，10时12分53秒完全通过铁桥，10时48分56秒列车完全超过在前面行使的货车求货车、列车和铁桥的长度各是多少米？【解析】先统一单位：54千米/小时15米/秒，72千米/小时20米/秒，1分24秒84秒，48分56秒12分36分56秒2216秒 货车的过桥路程等于货车与铁桥的长度之和，为：15 841260(米)；列车的过桥路程等于列车与铁桥的长度之和，为：20531060(米)考虑列车与货车的追及问题，货车10时到达铁桥，列车10时12分到达铁桥，在列车到达铁桥时，货车已向前行进了 12 分钟(720 秒)，从这一刻开始列车开
24、始追赶货车，经过 2216 秒的时间完全超过 货车，这一过程中追及的路程为货车 12 分钟走的路程加上列车的车长，所以列车的长度为2015221615720280(米)，那么铁桥的长度为1060280780(米)，货车的长度为1260780480(米)【例 18】一条单线铁路上有 A,B,C,D,E 5 个车站,它们之间的路程如以下图(单位:千米).两列火车同时从 A,E两站相对开出,从 A 站开出的每小时行 60 千米,从 E站开出的每小时行 50 千米.由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道,要使对面开来的列车通过,必须在车站停车,才能让开行车轨道.因此,应安排哪个站相遇,才能使停车等候的
25、时间最短.先到这一站的那一列火车至少需要停车多少分钟?【解析】两列火车同时从A,E两站相对开出,假设途中都不停.可求出两车相遇的地点,从而知道应在哪一个车站停车等待时间最短.从图中可知,AE的距离是:225+25+15+230=495(千米)两车相遇所用的时间是:495(60+50)=4.5(小时)相遇处距A站的距离是:604.5=270(千米)而A,D两站的距离为:225+25+15=265(千米)由于 270 千米265 千米,从A站开出的火车应安排在D站相遇,才能使停车等待的时间最短.因为相遇处离D站距离为 270-265=5(千米),那么,B E C A D 225 千米 25 千米
26、15 千米 230 千米 先到达D站的火车至少需要等待:2:1(小时)，x小时=11 分钟 模块三 流水行船 【例 19】乙船顺水航行 2 小时，行了 120 千米，返回原地用了 4 小时.甲船顺水航行同一段水路，用了 3 小时.甲船返回原地比去时多用了几小时?【解析】乙船顺水速度：1202=60千米/小时.乙船逆水速度：1204=30千米/小时。水流速度：60-30215千米/小时.甲船顺水速度：12O34O千米/小时。甲船逆水速度：40-215=10千米/小时.甲船逆水航行时间：12010=12小时。甲船返回原地比去时多用时间：12-3=9小时 【例 20】船往返于相距 180 千米的两港
27、之间，顺水而下需用10 小时，逆水而上需用 15 小时。由于暴雨后水速增加，该船顺水而行只需 9 小时，那么逆水而行需要几小时?【解析】此题中船在顺水、逆水、静水中的速度以及水流的速度都可以求出.但是由于暴雨的影响，水速发生变化，要求船逆水而行要几小时，必须要先求出水速增加后的逆水速度.船在静水中的速度是：18010+18015 2=15 千 米/小时.暴雨前水流的速度是：18010-180152=3千米/小时.暴雨后水流的速度是：1809-15=5千米/小时.暴雨后船逆水而上需用的时间为：18015-5=18小时 【例 21】(2022 年“学而思杯六年级)甲、乙两艘游艇，静水中甲艇每小时行
28、112千米，乙艇每小时行54千米现在甲、乙两游艇于同一时刻相向出发，甲艇从下游上行，乙艇从相距 27 千米的上游下行，两艇于途中相遇后，又经过 4 小时，甲艇到达乙艇的出发地 水流速度是每小时 千米 【解析】两游艇相向而行时，速度和等于它们在静水中的速度和，所以它们从出发到相遇所用的时间为10小时 相遇后又经过 4 小时，甲艇到达乙艇的出发地，说明甲艇逆水行驶 27 千米需要10小时，那么甲艇的逆水速度为1(千米/小时)，那么水流速度为24(千米/小时)【例 22】一艘轮船顺流航行 120 千米，逆流航行 80 千米共用 16 时；顺流航行 60 千米，逆流航行 120 千米也用 16 时。求
29、水流的速度。【解析】两次航行都用 16 时，而第一次比第二次顺流多行 60 千米，逆流少行 40 千米，这说明顺流行 60 千米与逆流行 40 千米所用的时间相等，即顺流速度是逆流速度的 1.5 倍。将第一次航行看成是 16 时顺流航行了 120801.5240千米，由此得到顺流速度为 2401615千米时，逆流速度为 151.5=10千米时，最后求出水流速度为151022.5千米时。【例 23】一条河上有甲、乙两个码头，甲在乙的上游 50 千米处。客船和货船分别从甲、乙两码头出发向上游行驶，两船的静水速度相同且始终保持不变。客船出发时有一物品从船上落入水中，10 分钟后此物距客船 5 千米。
30、客船在行驶 20 千米后折向下游追赶此物，追上时恰好和货船相遇。求水流的速度。【解析】51/6=30(千米/小时)，所以两处的静水速度均为每小时 30 千米。5030=5/3(小时)，所以货船与物品相遇需要 5/3 小时，即两船经过 5/3 小时候相遇。由于两船静水速度相同，所以客船行驶 20 千米后两船仍相距 50 千米。50(30+30)=5/6(小时)，所以客船调头后经过 5/6 小时两船相遇。30-20(5/3-5/6)=6(千米/小时)，所以水流的速度是每小时 6 千米。【例 24】江上有甲、乙两码头，相距 15 千米，甲码头在乙 码头的上游，一艘货船和一艘游船同时从甲码头和乙码头出
31、发向下游行驶，5 小时后货船追上游船。又行驶了 1 小时，货船上有一物品落入江中该物品可以浮在水面上，6 分钟后货船上的人发现了，便掉转船头去找，找到时恰好又和游船相遇。那么游船在静水中的速度为每小时多少千米？【解析】此题可以分为几个阶段来考虑。第一个阶段是一个追及问题。在货舱追上游船的过程中，两者的追及距离是 15 千米，共用了 5 小时，故两者的速度差是 155=3 千米。由于两者都是顺水航行，故在静水中两者的速度差也是 3 千米。在紧接着的 1 个小时中，货船开始领先游船，两者最后相距 31=3 千米。这时货船上的东西落入水中，6 分钟后货船上的人才发现。此时货船离落在水中的东西的距离已
32、经是货船的静水速度1/10 千米，从此时算起，到货船和落入水中的物体相遇，又是一个相遇问题，两者的速度之和刚好等于货船的静水速度，所以这段时间是货船的静水速度*1/10货船的静水速度=1/10 小时。按题意，此时也刚好遇上追上来的游船。货船开始回追物体时，货船和游船刚好相距 3+3*1/10=33/10 千米，两者到相遇共用了 1/10 小时，帮两者的速度和是每小时 33/101/10=33 千米，这与它们两在静水中的速度和相等。解释一下又在静水中货船比游船每 小时快 3 千米，故游船的速度为每小时33-32=15 千米。【例 25】(2022 年三帆中学考题)一艘船往返于甲、乙两港之间，船在
33、静水中的速度为每小时 9 千米，平时逆行与顺行所用的时间比是2:1一天因下暴雨，水流速度为原来的 2 倍，这艘船往返共用 10 小时，问：甲、乙两港相距 千米【解析】设平时水流速度为x千米/时，那么平时顺水速度为9x千米/时，平时逆水速度为9x千米/时，由于平时顺行所用时间是逆行所用时间的一半，所以平时顺水速度是平时逆水速度的 2 倍，所以92 9xx，解得3x，即平时水流速度为 3 千米/时 暴雨天水流速度为 6 千米/时，暴雨天顺水速度为 15 千米/时，暴雨天逆水速度为 3 千米/时，暴雨天顺水速度为逆水速度的 5 倍，那么顺行时间为逆行时间的15，故顺行时间为往返总时间的16，为151
34、063小时，甲、乙两港的距离为515253(千米)【例 26】一条小河流过 A，B,C 三镇.A,B 两镇之间有汽船来往,汽船在静水中的速度为每小时11千米.B,C两镇之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时3.5 千米.A,C 两镇水路相距 50 千米,水流速度为每 小时 1.5 千米.某人从 A 镇上船顺流而下到 B 镇,吃午饭用去 1 小时,接着乘木船又顺流而下到 C 镇,共用 8 小时.那么 A,B 两镇间的距离是多少千米?【解析】如下画出示意图 有AB段顺水的速度为 11+1.5=12.5 千米/小时,有BC段顺水的速度为 3.5+1.5=5 千米/小时而从AC全程的行驶时间为 8
35、-1=7 小时 设AB长x千米,有50712.55xx,解得x=25所以A,B两镇间的距离是 25千米.【例 27】河水是流动的，在 B 点处流入静止的湖中，一游泳者在河中顺流从 A 点到 B 点，然后穿过湖到 C 点，共用 3 小时；假设他由 C 到 B 再到 A，共需 6 小时如果湖水也是流动的，速度等于河水速度，从 B 流向 C，那么，这名游泳者从 A 到 B 再到 C 只需 2.5 小时；问在这样的条件下，他由 C 到 B再到 A，共需多少小时？【解析】设人在静水中的速度为 x，水速为 y，人在静水中从 B 点游到 C 点需要 t 小时 根据题意，有 6(6)3(3)xt yxt y
36、，即2(3)3xt y，同样，有 2.52.53(3)xyxt y，即(21)xty；所以，112，即 1650(1)541211，所以 65411；65(1210)6054651111(小时)，所以在这样的条件下，他由 C 到 B 再到 A共需 7.5 小时 模块四 时钟问题【例 28】现在是 10 点，再过多长时间，时针与分针将第一次在一条直线上？【解析】时针的速度是 3601260=0.5(度/分)，分针的速度是 36060=6(度/分)即 分针与时针的速度差是 6-0.5=5.5(度/分)，10 点时，分针与时针的夹角是 60 度，第一次在一条直线时，分针与时针的夹角是 180 度，即
37、 分针与时针从 60 度到 180 度经过的时间为所求。所以 答案为 12(分)【例 29】有一座时钟现在显示 10 时整 那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合?【解析】在lO点时，时针所在位置为刻度 10，分针所在位置为刻度 12；当两针重合时，分针必须追上 50 个小刻度，设分针速度为“l，有时针速度为“112，于是需要时间：1650(1)541211 所以，再过65411分钟，时针与分针将第一次重合第二 次 重 合 时 显 然 为12点 整，所 以 再 经 过 65(1210)6054651111分钟，时针与分针第二次重合 标准的时钟，每隔565
38、11分钟，时针与分针重合一次 我们来熟悉一下常见钟表(机械)的构成：一般时钟的表盘大刻度有 12 个，即为小时数；小刻度有 60 个，即为分钟数 所以时针一圈需要 12 小时，分针一圈需要 60 分钟(1小时)，时针的速度为分针速度的112 如果设分针的速度为单位“l，那么时针的速度为“54【例 30】某科学家设计了只怪钟，这只怪钟每昼夜 10 时，每时 100 分 如右图所示。当这只钟显示 5 点时，实际上是中午 12 点；当这只钟显示 6 点 75 分时，实际上是什么时间？【解析】标准钟一昼夜是 2460=1440分，怪钟一昼夜是10010=1000分 怪钟从 5 点到 6 点 75 分，
39、经过 175 分，根据十字交叉法，14401751000=252分即 4 点 12 分。【例 31】手表比闹钟每时快 60 秒，闹钟比标准时间每时慢 60秒。8 点整将手表对准，12 点整手表显示的时间是几点几分几秒？【解析】按题意，闹钟走 3600 秒手表走 3660 秒，而在标准时间的一小时中，闹钟走了 3540 秒。所以在标准时间的一小时中手表走 366036003599=3599秒，即手表每小时慢 1 秒，所以 12 点时手表显示的时间是 11 点 59 分 56 秒。【稳固】某人有一块手表和一个闹钟，手表比闹钟每时慢30 秒，而闹钟比标准时间每时快 30 秒。问：这块 手表一昼夜比标
40、准时间差多少秒？【解析】根据题意可知，标准时间经过 60 分，闹钟走了 60.5分，根据十字交叉法，可求闹钟走 60 分，标准时间走了606060.5 分，而手表走了 59.5 分，再根据十字交叉法，可求一昼夜手表走了 59.52460606060.5分，所以答案为 2460-59.52460606060.5=0.1分，0.1 分=6 秒 【例 32】一个快钟每时比标准时间快 1 分，一个慢钟每时比标准时间慢 3 分。将两个钟同时调到标准时间，结果在 24 时内，快钟显示 9 点整时，慢钟恰好显示 8点整。此时的标准时间是多少？【解析】根据题意可知，标准时间过 60 分钟，快钟走了 61分钟，
41、慢钟走了 57 分钟，即标准时间每 60 分钟，快钟比慢钟多走 4 分钟，604=15小时经过15 小时快钟比标准时间快 15 分钟，所以现在的标 准时间是 8 点 45 分。课后练习：练习1.一条街上，一个骑车人与一个步行人同向而行，骑车人的速度是步行人速度的 3 倍，每隔 10 分钟有一辆公共汽车超过行人，每隔 20 分钟有一辆公共汽车超过骑车人 如果公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，那么间隔多少分钟发一辆公共汽车？【解析】紧邻两辆车间的距离不变，当一辆公共汽车超过步行人时，紧接着下一辆公汽与步行人间的距离，就是汽车间隔距离当一辆汽车超过行人时，下一辆汽车要用 10 分才能追上步
42、行人即追及距离=汽车速度-步行速度10对汽车超过骑车人的情形作同样分析，再由倍速关系可得汽车间隔时间等于汽车间隔距离除以 5 倍的步行速度即：104步行速度5步行速度=8分 练习2.甲、乙两地是电车始发站，每隔一定时间两地同时各发出一辆电车，小张和小王分别骑车从甲、乙两地出发，相向而行每辆电车都隔 6 分钟遇到迎面开来的一辆电车；小张每隔 8 分钟遇到迎面开来的一辆电车；小王每隔 9 分钟遇到迎面开来的一辆电车 电车行驶全程是 45 分钟，那么小张与小王在途中相遇时他们已行走了 分钟【解析】由题意可知，两辆电车之间的距离 10电车行 12 分钟的路程 48电车行 8 分钟的路程56小张行 8
43、分钟的路程 54电车行 9 分钟的路程15小王行 9 分钟的路程 由此可得，小张速度是电车速度的72，小王速度是电车速度的20，小张与小王的速度和是电车速度的1，所以他们合走完全程所用的时间为电车行驶全程所用时间的24，即84分钟，所以小张与小王在途中相遇时他们已行走了 54 分钟 练习3.慢车的车身长是 142 米，车速是每秒 17 米，快车车身长是 173 米，车速是每秒 22，慢车在前面行驶，快车从后面追上到完全超过慢车需要多少时间?【解析】根据题目的条件可知，此题属于两列火车的追及情况，142173221763秒 练习4.高山气象站上白天和夜间的气温相差很大，挂钟受气温的影响走的不正常
44、，每个白天快 30 秒，每个夜晚慢 20 秒。如果在 10 月一日清晨将挂钟对准，那么挂钟最早在什么时间恰好快 3 分？【解析】根据题意可知，一昼夜快10秒，360-30 10=15 天，所以挂钟最早在第 15+1=16天黄昏恰好快 3 分钟，即 10 月 16 日傍晚。练习5.某河有相距 45 千米的上下两港，每天定时有甲乙两船速相同的客轮分别从两港同时出发相向而行，这天甲船从上港出发掉下一物，此物浮于水面顺水漂下，4 分钟后与甲船相距 1 千米，预计乙船出发后几小时可与此物相遇。【解析】物体漂流的速度与水流速度相同，所以甲船与物体的速度差即为甲船本身的船速水速作用抵消，甲的船速为 11/1
45、5=15 千米/小时；乙船与物体是个相遇问题，速度和正好为乙本身的船速，所以相遇时间为：4515=3 小时 月测备选：【备选 1】小明骑自行车到朋友家聚会，一路上他注意到每隔 12 分钟就有一辆公交车从后边追上小乐，小明 骑着骑着突然车胎爆了，小明只好以原来骑车三分之一的速度推着车往回走，这时他发现公交车以每隔 4 分钟一辆的频率迎面开过来，公交车站发车的间隔时间到底为多少？【解析】设公交车之间的间距为一个单位距离，设自行车的速度为x，汽车的速度为y，根据汽车空间和时间间距 与车辆速度的关系得到关系式：12y-x=4y+1x/3，化简为 3y=5x.即y/x=5/3，而公交车与自行车的速度差为
46、 1/12，由此可得到公交车的速度为 5/24，自行车的速度为 1/8，因此公交车站发车的时间间隔为 24/5=4.8 分钟.【备选 2】2 点钟以后，什么时刻分针与时针第一次成直角？【解析】根据题意可知，2 点时，时针与分针成 60 度，第一次垂直需要 90 度，即分针追了 90+60=150度，10分 【备选 3】一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280 米，慢车的车长是 385 米，坐在快车上的人看 见慢车驶过的时间是 11 秒，那么坐在慢车上的人看见块车驶过的时间是多少秒？【解析】8s，可以把车上的人给抽象出来看成一点，那么就类同题 1。得出快车和慢车的速度和是 35，反之，由车长和速度得到 280/358 【备选 4】甲、乙两艘小游艇，静水中甲艇每小时行72千米，乙艇每小时行10千米现甲、乙两艘小游艇于 同一时刻相向出发，甲艇从下游上行，乙艇从相距 18 千米的上游下行，两艇于途中相遇后，又经过 4 小时，甲艇到达乙艇的出发地问水流速度为每小时多少千米？【解析】两游艇相向而行时，速度和等于它们在静水中的速度和，所以它们从出发到相遇所用的时间为12小时相遇后又经过 4 小时，甲艇到达乙艇的出发地，说明甲艇逆水行驶 18 千米需要10小时，那么甲艇的逆水速度为12(千米/小时)，那么水流速度为53(千米/小时)