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1、新余高等专科学校 数学建模教练组 2005-08作业作业:轨道网络建设轨道网络建设 南京市南京市20142014年轨道交通线网络规划新建年轨道交通线网络规划新建5 5条线路（条线路（3 3、4 4、6 6、1010、1212号线），修建有先后，选择修建次序号线），修建有先后，选择修建次序的主要的主要标准有标准有4个：经济辐射影响力、修建难度、受惠市民规模、个：经济辐射影响力、修建难度、受惠市民规模、线路长度（直接决定经费投入），请收集必要的资料，用线路长度（直接决定经费投入），请收集必要的资料，用层次分析法（数据自行确定）决定修建优先次序。层次分析法（数据自行确定）决定修建优先次序。地铁规划图
2、见下页地铁规划图见下页上机实验上机实验用用MATLAB或或C+编制程序，分别计算编制程序，分别计算n=230时的时的n阶阶矩阵的随机一致性指标矩阵的随机一致性指标RI 层次分析法层次分析法(AHP:Analytic Hierarchy Process)(AHP:Analytic Hierarchy Process)是美国著名的运筹学是美国著名的运筹学家家T.L.SaatyT.L.Saaty等人于等人于2020世纪世纪7070年代提出的一种年代提出的一种简便简便，灵活灵活而又而又实用实用的多准则决策方法。主要用于确定综合评价的决策问题。的多准则决策方法。主要用于确定综合评价的决策问题。具备具备线
3、性代数（矩阵）知识线性代数（矩阵）知识即可理解和应用。即可理解和应用。n n 层次分析法简介层次分析法简介层次分析法简介层次分析法简介n n 层次分析法应用领域层次分析法应用领域层次分析法应用领域层次分析法应用领域 应用遍及经济计划和管理，能源政策和分配，行为科学，军应用遍及经济计划和管理，能源政策和分配，行为科学，军事指挥，运输，农业，教育，人才，医疗，环境等领域。事指挥，运输，农业，教育，人才，医疗，环境等领域。3.4:层次分析法层次分析法(AHP)建模建模二二二二.层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤思思维维过过程程首先首先,确定这些准则在你心
4、目中各占的比重多大确定这些准则在你心目中各占的比重多大;最后最后,将这两个层次的比较判断进行综合将这两个层次的比较判断进行综合,作出选择作出选择.其次其次,就每一准则将三个地点进行两两对比就每一准则将三个地点进行两两对比;例例1:(假日旅游假日旅游)有有P1,P2,P3三个旅游地供选择三个旅游地供选择,假如选择的标准和依据有假如选择的标准和依据有:景色景色,费用费用,饮食饮食,居住和旅途居住和旅途.层次分析法的步骤层次分析法的步骤层次分析法的步骤层次分析法的步骤建立层次结构模型建立层次结构模型建立层次结构模型建立层次结构模型1 1景景色色居居住住旅旅途途饮饮食食费费用用准准 则则(C)层层 为
5、实现总目标而为实现总目标而采取的各种措施采取的各种措施和方案和方案P1P2P3方方 案案(P)层层 用于解决问题的用于解决问题的各种措施和方案各种措施和方案选择旅游景点选择旅游景点目目 标标(O)层层 解决问题的目的解决问题的目的(也叫总目标也叫总目标)2 4 6 8比较尺度比较尺度aij Saaty等人提出等人提出19尺度尺度aij 取值取值1,2,9及其互反数及其互反数1,1/2,1/9尺度尺度 1 3 5 7 9 相同相同 稍强稍强 强强 明显强明显强 绝对强绝对强aij=1,1/2,1/9的重要性与上面相反的重要性与上面相反 心理学家认为成对比较的因素不宜超过心理学家认为成对比较的因素
6、不宜超过9个个 用用13,15,117,1p9p(p=2,3,4,5),d+0.1d+0.9(d=1,2,3,4)等等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，算出权向量，与实际对比发现，19尺度较优。尺度较优。便于定性到定量的转化：便于定性到定量的转化：构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵(判断矩阵判断矩阵判断矩阵判断矩阵)2 2 某人用上述方法得到了某人用上述方法得到了”假日旅游假日旅游”中景色，费用，居住，中景色，费用，居住，饮食，旅途饮食，旅途5个因素对于目标个因素对于目标Z的比较矩阵如下的比较矩
7、阵如下:得到矩阵得到矩阵:A=(aij),aij0,aji=1/aij判断矩阵判断矩阵 其中，其中，a12=1/2表示景色表示景色x1与费用与费用x2对选择旅游地这个目对选择旅游地这个目标的重要性之比为标的重要性之比为1:2。即认为费用比景色略微更重要。即认为费用比景色略微更重要。计算权向量并做一致性检验计算权向量并做一致性检验计算权向量并做一致性检验计算权向量并做一致性检验3 3n n 什么是权重什么是权重(权系数权系数)?在决策问题中，通常要把变量在决策问题中，通常要把变量Z表成变量表成变量x1,x2,xn的线性组合的线性组合:其中其中 .则则 叫各因素对于目标叫各因素对于目标Z的权重的权
8、重,叫权向量叫权向量.小石块小石块小石块小石块W1W1小石块小石块小石块小石块WnWn小石块小石块小石块小石块W2W2设想设想:把一块把一块单位重量单位重量的石头砸成的石头砸成n块小石块块小石块 做做做做成对比较成对比较成对比较成对比较时得到时得到时得到时得到于是于是于是于是,权重即各小石块在整个大石头中所占的比重权重即各小石块在整个大石头中所占的比重权重即各小石块在整个大石头中所占的比重权重即各小石块在整个大石头中所占的比重,即各个即各个即各个即各个wwi i一般地一般地,如果一个正互反矩阵如果一个正互反矩阵A满足满足aij.ajk=aik,i,j,k=1,2,n则称则称A为一致性矩阵，简称
9、为一致性矩阵，简称一致矩阵一致矩阵.一致矩阵的性质一致矩阵的性质:1.A的秩为的秩为1,A的的唯一非零特征值为唯一非零特征值为n;2.A的任一列向量都是对应于特征根的任一列向量都是对应于特征根n的特征向量的特征向量.若若A为一致矩阵为一致矩阵,则对应于特征根则对应于特征根n的的归一化归一化的特征向量的特征向量(即分量之和为即分量之和为1)即表示即表示各因素对上一层因素的权向量各因素对上一层因素的权向量,各分量即为各因素对于上一层因素的权重各分量即为各因素对于上一层因素的权重!n n 对于一般的判断矩阵对于一般的判断矩阵(即即A不一定一致不一定一致)如何近似计算权重如何近似计算权重(权系数权系数
10、)?最大特征值的近似值最大特征值的近似值主特征向量主特征向量最大特征值的近似值最大特征值的近似值1.将将A的每一的每一列向量归一化列向量归一化得得2.对对 按行求和按行求和得得 4.计算计算 ,作为最大特征值的近似值作为最大特征值的近似值3.将将 归一化归一化 ,即为近似特征向量即为近似特征向量(权向量权向量)例例例例:列向量列向量归一化归一化按行求和按行求和归一化归一化归一化归一化精确值精确值为为为为1.将将A的每一的每一列向量归一化列向量归一化得得2.对对 按行求积再开根按行求积再开根得得 4.计算计算 ,作为最大特征值的近似值作为最大特征值的近似值3.将将 归一化归一化 ,即为近似特征向
11、量即为近似特征向量(权向量权向量)说明v无论是和法还是根法，只能作为粗略的近似估计，都不能保证任何精度要求。v如果需要保证满足精度要求，则需要使用其它方法，如幂法等，或者根据特征方程求数值近似解。n n 判断矩阵的一致性检验判断矩阵的一致性检验判断矩阵的一致性检验判断矩阵的一致性检验 判断矩阵通常是不一致的判断矩阵通常是不一致的,但是为了能用它的对应于最大特征根但是为了能用它的对应于最大特征根 的特征向量的特征向量作为被比较因素的权向量作为被比较因素的权向量,其不一致程度应在容许的范围内其不一致程度应在容许的范围内.如何确定这个范围如何确定这个范围?一致性指标一致性指标CI=0时时A一致一致;
12、CI越大越大,A的不一致性程度越严重的不一致性程度越严重!一致性比率一致性比率(用于确定用于确定A的不一致性的容许范围的不一致性的容许范围)n n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51随机一致性指标随机一致性指标RI当当CR0.1时时,A的不一致性程度在容许范围内的不一致性程度在容许范围内,此此时可用时可用A的特征向量作为权向量的特征向量
13、作为权向量!对于多个层次对于多个层次(假设共假设共N层层)的决策问题的决策问题,若第若第k1层有层有m个因素，第个因素，第k层有层有n个因素个因素,记记第第k层层对对第第k-1层层中中第第j个因素个因素的权向量为的权向量为:定义矩阵定义矩阵假设假设 是第是第k层对最上层层对最上层(目标层目标层)的的组合权向量组合权向量，则，则:在在“旅游问题旅游问题”中已经得到了第中已经得到了第2层层(准则层准则层)对于第对于第1层层(目标层目标层)的权向量的权向量,记为记为即即即即用同样的方法构造第用同样的方法构造第3层层(方案层方案层)对于第对于第2层的每一个准则的成对比较矩阵层的每一个准则的成对比较矩阵
14、,不妨设为不妨设为:计算权组合向量并做一致性检验计算权组合向量并做一致性检验计算权组合向量并做一致性检验计算权组合向量并做一致性检验4 4n n计算组合权向量计算组合权向量计算组合权向量计算组合权向量 ,最大特征值最大特征值 ,以及一致性比率以及一致性比率CRk如下表如下表:根据前面计算根据前面计算 的方法计算各的方法计算各 所对应的所对应的 权向量权向量 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 0.5954 0.0819 0.4286 0.6337 0.1667 0.5954 0.0819 0.4286 0.6337 0.1667 3.0055 3.0015 3.0000 3.0092 3
15、3.0055 3.0015 3.0000 3.0092 3 0.0048 0.0013 0 0.0079 0 0.0048 0.0013 0 0.0079 0 0.2764 0.2363 0.4286 0.1919 0.1667 0.2764 0.2363 0.4286 0.1919 0.1667 0.1283 0.6817 0.1429 0.1744 0.6667 0.1283 0.6817 0.1429 0.1744 0.6667由上表知由上表知A以及各以及各Bk均通过一致性检验均通过一致性检验!注意注意:若以上有没通过一致性检验者若以上有没通过一致性检验者,则必须返回重新构造判断矩阵则必
16、须返回重新构造判断矩阵(叫一致性改进叫一致性改进)!选择旅游地选择旅游地选择旅游地选择旅游地景景景景色色色色P1P2P3费费费费用用用用P1P2P3居居居居住住住住P1P2P3饮饮饮饮食食食食P1P2P3旅旅旅旅途途途途P1P2P3W(2)W1(3)W2(3)W3(3)W4(3)W5(3)方案方案P1在目标中的组合权重应为在目标中的组合权重应为相应项相应项的两两乘积之和的两两乘积之和,即即:0.26360.47580.05380.09810.10870.59540.27640.12830.08190.23630.68170.42860.42860.14290.63370.19190.17440
17、.16670.16670.6667 同理可得方案同理可得方案P2,P3在目标中的组合权重分别为在目标中的组合权重分别为0.2453和和0.4554于是得到方案层对于目标层的权向量为于是得到方案层对于目标层的权向量为:说明应以说明应以P3作为首选地点作为首选地点ww(3)(3)=(0.2993,0.2453,0.4554)=(0.2993,0.2453,0.4554)T T n n 组合一致性检验组合一致性检验组合一致性检验组合一致性检验(层次总排序一致性检验层次总排序一致性检验层次总排序一致性检验层次总排序一致性检验)进行组合一致性检验进行组合一致性检验,以确定组合权向量是否可以作为最终的决策
18、依据以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据.组合一致性检验可逐层进行组合一致性检验可逐层进行.若第若第k层的一致性指标为层的一致性指标为(m是第是第k-1层因素的数目层因素的数目),随机一致性指标为随机一致性指标为 ,定义定义则第则第k层的组合一致性比率为层的组合一致性比率为第第k层通过组合一致性检验的条件为层通过组合一致性检验的条件为定义最下层定义最下层(第第N层层)对第对第1层的组合一致性比率为层的组合一致性比率为对于重大项目对于重大项目,仅当仅当CR适当地小时适当地小时,才认为整个层次的比较判断通过一致性检验才认为整个层次的比较判断通过一致性检验.旅游问题中旅游问题中旅游问题中旅游问
19、题中:CICI(3)(3)=0.00176,=0.00176,RIRI(3)(3)=0.58,=0.58,CRCR(3)(3)=0.003=0.003已有已有已有已有CRCR(2)(2)=0.016=0.016于是于是于是于是CR=0.019CR=0.019通过一致性检验通过一致性检验通过一致性检验通过一致性检验!总结总结总结总结:层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤1.建立层次结构模型建立层次结构模型 深入分析问题，将有关各因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次。同一层深入分析问题，将有关各因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次。同一层诸因素从
20、属于上一层的因素或对上一层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到诸因素从属于上一层的因素或对上一层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用下层因素的作用.同一层的因素之间应尽量独立。同一层的因素之间应尽量独立。2.构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵 从层次结构模型的第从层次结构模型的第2层开始，对于从属于层开始，对于从属于(或影响及或影响及)上一层每个因素的同一层因上一层每个因素的同一层因素，用成对比较法和素，用成对比较法和1-9比较尺度构造成对比较阵，直到最下层。比较尺度构造成对比较阵，直到最下层。3.计算权向量并做一致性检验计算权向量并做一致性检验 对于每一个成对比较阵计算最
21、大特征根及对应的特征向量，利用一致性指标，对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应的特征向量，利用一致性指标，随机一致性指标和一致性比率做一致性检验随机一致性指标和一致性比率做一致性检验.若通过检验，特征向量若通过检验，特征向量(归一化后归一化后)即为即为权向量权向量;否则，重新构造。否则，重新构造。4.计算组合权向量并做组合一致性检验计算组合权向量并做组合一致性检验 新余高等专科学校 数学建模教练组 2005-08例例例例2.2.干部选拔干部选拔干部选拔干部选拔有三个干部候选人有三个干部候选人Y1,Y2,Y3,选拔的标准有选拔的标准有5个个:品德品德,才能才能,资力资力,年龄年龄,群众关系群
22、众关系.如何选择三人之一如何选择三人之一?选拔干部选拔干部品品德德资资力力群群众众关关系系年年龄龄才才能能Y1Y2Y3工作选择工作选择贡贡贡贡献献献献位位置置收收收收入入入入发发展展声声誉誉关关系系供选择的岗位供选择的岗位例例例例3.3.就业选择就业选择就业选择就业选择三三三三.不完全层次结构模型不完全层次结构模型不完全层次结构模型不完全层次结构模型n n 出现在准则层中的情形出现在准则层中的情形(准则层与准则层之间准则层与准则层之间)完全层次结构完全层次结构:上一层的每个因素都支配着下一层的所有因素上一层的每个因素都支配着下一层的所有因素,或被下一层或被下一层 所有因素影响所有因素影响.不完
23、全层次结构不完全层次结构:准则层中的一个因素准则层中的一个因素,只支配下一准则层的部分因素只支配下一准则层的部分因素.系统系统系统系统D1D1系统系统系统系统D1D1系统系统系统系统DnDn MISMIS综合评价综合评价综合评价综合评价A A系统建设系统建设系统建设系统建设B1B1科科科科学学学学性性性性C C1111实实实实现现现现程程程程度度度度C C1212先先先先进进进进性性性性C C1313经经经经济济济济性性性性C C1414资资资资源源源源利利利利用用用用率率率率C C1616规规规规范范范范性性性性C C1515系统性能系统性能系统性能系统性能B2B2可可可可靠靠靠靠性性性性C
24、 C2121系系系系统统统统效效效效率率率率C C2222可可可可维维维维护护护护性性性性C C2323可可可可扩扩扩扩充充充充性性性性C C2424安安安安全全全全性性性性C C2626可可可可移移移移植植植植性性性性C C2525系统应用系统应用系统应用系统应用B3B3经经经经济济济济效效效效益益益益C C3131社社社社会会会会效效效效益益益益C C3232用用用用户户户户满满满满意意意意度度度度C C3333功功功功能能能能应应应应用用用用程程程程度度度度C C3434目标层目标层目标层目标层A A准则层准则层准则层准则层B B子准则层子准则层子准则层子准则层C C方案层方案层方案层方
25、案层D D n n 出现在准则层与方案层之间出现在准则层与方案层之间出现在准则层与方案层之间出现在准则层与方案层之间例例:学校要评价教师的贡献学校要评价教师的贡献,粗略地考只考虑教学粗略地考只考虑教学与科研两个指标与科研两个指标,若若P1,P2,P3,P4四位教师中四位教师中P1,P2只从事教学只从事教学,P4只从事科研只从事科研,P3二者兼顾二者兼顾,层次层次结构模型如图结构模型如图.教师的贡献教师的贡献教师的贡献教师的贡献Z Z教学教学教学教学C1C1科研科研科研科研C2C2P2P2P1P1P3P3P4P4将不支配因素的权向量分量简单置为将不支配因素的权向量分量简单置为0.后果如何后果如何
26、?设设C1,C2对第对第1层的权向量为层的权向量为 已确定已确定.记记C1,C2对第对第3层权向量分别为层权向量分别为:于是有于是有:考察特殊情况考察特殊情况:教学与科研两个准则的重要性相同教学与科研两个准则的重要性相同,即有即有 4位教师无论位教师无论从事教学或科研从事教学或科研,能力都相同能力都相同,即有即有公正的评价为公正的评价为:被安排只搞教学或科研的被安排只搞教学或科研的P1,P2,P4三位教师的贡献相同三位教师的贡献相同,而而P3应为应为他们的两倍他们的两倍!即为即为代入上述已知数据得到代入上述已知数据得到:公平否公平否?怎样才能得到公平合理的结果呢怎样才能得到公平合理的结果呢怎样
27、才能得到公平合理的结果呢怎样才能得到公平合理的结果呢?办法办法:用支配因素的数量对权向量用支配因素的数量对权向量 进行加权进行加权,做修正为做修正为 然后再计算然后再计算 记记C1,C2支配因素的数量分别为支配因素的数量分别为n1,n2,令令:归一化的需要归一化的需要利用前面的数据利用前面的数据,代入上面的式子代入上面的式子,并且注意到并且注意到n1=3,n2=2,最后得到最后得到:注注:上面只考虑了教师从事教学上面只考虑了教师从事教学(或或)科研完全由上级安排的情况科研完全由上级安排的情况,在能力相同的情况下在能力相同的情况下承担双份工作的承担双份工作的P3的贡献自然要大一倍的贡献自然要大一
28、倍!若教师从事教学和科研完全靠发挥个人的积若教师从事教学和科研完全靠发挥个人的积 极性极性,且上级希望每位教师都二者兼顾且上级希望每位教师都二者兼顾,并鼓励从事人数较少的那份工作并鼓励从事人数较少的那份工作,如何决策如何决策?新余高等专科学校 数学建模教练组 2005-08作业作业:轨道网络建设轨道网络建设 南京市南京市20142014年轨道交通线网络规划新建年轨道交通线网络规划新建5 5条线路（条线路（3 3、4 4、6 6、1010、1212号线），修建有先后，选择修建次序号线），修建有先后，选择修建次序的主要的主要标准有标准有4个：经济辐射影响力、修建难度、受惠市民规模、个：经济辐射影响力、修建难度、受惠市民规模、线路长度（直接决定经费投入），请收集必要的资料，用线路长度（直接决定经费投入），请收集必要的资料，用层次分析法（数据自行确定）决定修建优先次序。层次分析法（数据自行确定）决定修建优先次序。地铁规划图见下页地铁规划图见下页上机实验上机实验用用MATLAB或或C+编制程序，分别计算编制程序，分别计算n=230时的时的n阶阶矩阵的随机一致性指标矩阵的随机一致性指标RI