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1、复变函数初等函数第一页，讲稿共二十六页哦1P34 T32证明：证明：第二页，讲稿共二十六页哦2第三节第三节 初等函数初等函数一、指数函数一、指数函数二、对数函数二、对数函数三、乘幂三、乘幂 a ab b 与幂函数与幂函数四、三角函数和双曲函数四、三角函数和双曲函数五、反三角函数和反双曲函数五、反三角函数和反双曲函数重点把握以下几点重点把握以下几点1、初等函数定义、初等函数定义2、初等函数的性质、初等函数的性质3、与实变函数的区别、与实变函数的区别第三页，讲稿共二十六页哦3一、指数函数一、指数函数实变：实变：1.1.指数函数的定义指数函数的定义:处处可导处处可导第四页，讲稿共二十六页哦4指数函数
2、指数函数(exponential记作记作:function)注：注：第五页，讲稿共二十六页哦5例例1 解解重要性质：重要性质：第六页，讲稿共二十六页哦6例例2 求出下列复数的辐角主值求出下列复数的辐角主值:解解第七页，讲稿共二十六页哦7二、对数函数二、对数函数1.1.定义定义令令即即所以所以对数函数是一个多值函数呦对数函数是一个多值函数呦!第八页，讲稿共二十六页哦8其余各值为其余各值为特殊地特殊地,第九页，讲稿共二十六页哦9例例 解解注意注意:在实变函数中在实变函数中,负数无对数负数无对数,而复变数对而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广数函数是实变数对数函数的拓广.（1）（2）或者或者第十页
3、，讲稿共二十六页哦10例例解解第十一页，讲稿共二十六页哦112.2.对数函数的性质对数函数的性质（3）在除去负实轴（包括原点）的复平面内，主值支和其他各分）在除去负实轴（包括原点）的复平面内，主值支和其他各分支处处连续，处处可导且支处处连续，处处可导且但是但是第十二页，讲稿共二十六页哦12三、乘幂三、乘幂 与幂函数与幂函数1.1.乘幂的定义乘幂的定义（实数的幂（实数的幂）注意注意:故故一般是无穷多值的一般是无穷多值的第十三页，讲稿共二十六页哦13第十四页，讲稿共二十六页哦142、幂函数定义、幂函数定义两种特殊情况的讨论：两种特殊情况的讨论：单值解析函数单值解析函数第十五页，讲稿共二十六页哦15
4、例例5 5解解第十六页，讲稿共二十六页哦163.3.幂函数的解析性幂函数的解析性它的它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的。各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的。它的它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,第十七页，讲稿共二十六页哦17四、三角函数和双曲函数四、三角函数和双曲函数1.1.三角函数的定义三角函数的定义将两式相加与相减将两式相加与相减,得得有关性质：有关性质：欧拉公式的推广欧拉公式的推广(1)(2)(3)正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.(4)第十八页，讲稿共
5、二十六页哦18有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式(5)第十九页，讲稿共二十六页哦192.2.双曲函数的定义双曲函数的定义(偶函数偶函数)(奇函数奇函数)(周期周期 )(奇函数奇函数)解解析析函函数数易得易得:第二十页，讲稿共二十六页哦20五、反三角函数和反双曲函数五、反三角函数和反双曲函数1.1.反三角函数的定义反三角函数的定义两端取对数得两端取对数得第二十一页，讲稿共二十六页哦21六、小结六、小结 复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广的自然推广,它既保持了后者的某些基本性质它既保持了后者的某些基本
6、性质,又有又有一些与后者不同的特性一些与后者不同的特性.如如:1.指数函数具有周期性指数函数具有周期性2.负数无对数的结论不再成立负数无对数的结论不再成立3.三角正弦与余弦不再具有有界性三角正弦与余弦不再具有有界性4.双曲正弦与余弦都是周期函数双曲正弦与余弦都是周期函数第二十二页，讲稿共二十六页哦22作业作业(2)12题（题（3）15题题18题题 23题题（1）认真阅读第二章课后小结）认真阅读第二章课后小结下次课：第三章一、二节下次课：第三章一、二节第二十三页，讲稿共二十六页哦23作业作业(2)12题（题（3）15题题18题题 23题题（1）认真阅读第二章课后小结）认真阅读第二章课后小结下次课：第三章一、二节下次课：第三章一、二节第二十四页，讲稿共二十六页哦24作业作业(2)12题（题（3）15题题18题题 23题题（1）认真阅读第二章课后小结）认真阅读第二章课后小结下次课：第三章一、二节下次课：第三章一、二节第二十五页，讲稿共二十六页哦25感感谢谢大大家家观观看看4/2/2023第二十六页，讲稿共二十六页哦