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1、静电场及其边值问题的解第1页，此课件共51页哦2 本章内容本章内容 3.1 静电场基本方程与电位方程静电场基本方程与电位方程 3.3 静电场中的导体与电容静电场中的导体与电容 3.4 静电场的边界条件静电场的边界条件 3.5 静电场的边值问题，惟一性定理静电场的边值问题，惟一性定理 3.6 镜像法镜像法 3.7 分离变量法分离变量法 静态电磁场：静态电磁场：场量不随时间变化，包括：场量不随时间变化，包括：静电场、恒定电场和恒定磁场静电场、恒定电场和恒定磁场 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且
2、相互独立静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立 第2页，此课件共51页哦3微分形式：微分形式：本构关系：本构关系：1.基本方程基本方程积分形式：积分形式：3.1 静电场的基本方程和电位方程静电场的基本方程和电位方程由由即即静电场静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，用一个标量函数的梯度来表示，标量函数标量函数 称为静称为静电场的标量电位或简称电位。电场的标量电位或简称电位。1.电位函数的定义电位函数的定义3.1.2 电位定位定义第3页，此课件共51页哦42.电位的表达式电位的表达式对于连续的体分布电荷，由对于连续的体分布电荷，由面电荷的电位：面电荷的电位：故得故得点电荷的电位：点电荷
3、的电位：线电荷的电位：线电荷的电位：第4页，此课件共51页哦53.电位差电位差两端点乘两端点乘 ，则有，则有将将上式两边从点上式两边从点P到点到点Q沿任意路径进行积分，得沿任意路径进行积分，得关于电位差的说明关于电位差的说明 P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至点移至Q 点点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处；所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处；电位差也称为电压，可用电位差也称为电压，可用U 表示；表示；电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径
4、无关。P、Q 两点间的电位差两点间的电位差电场力做电场力做的功的功第5页，此课件共51页哦6 静电位不惟一，可以相差一个常数，即静电位不惟一，可以相差一个常数，即选参考点选参考点令参考点电位为零令参考点电位为零电位确定值电位确定值(电位差电位差)两点间电位差有定值两点间电位差有定值 选择电位参考点的原则选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义；应使电位表达式有意义；应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无 限远作电位参考点；限远作电位参考点；同一个问题只能有一个参考点。同一个问题只能有一个参考点。4.电位参考点电位参考点 为为使
5、使空空间间各各点点电电位位具具有有确确定定值值，可可以以选选定定空空间间某某一一点点作作为为参参考考点点，且且令令参参考考点点的的电电位位为为零零，由由于于空空间间各各点点与与参参考考点点的的电电位位差差为为确确定定值值，所所以以该该点点的的电位也就具有确定值，即电位也就具有确定值，即第6页，此课件共51页哦7在均匀介质中，有在均匀介质中，有5.电位的微分方程电位的微分方程在无源区域，在无源区域，标量泊松方程标量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程第7页，此课件共51页哦8 例例 3.1.1 求电偶极子的电位求电偶极子的电位.解解 利用利用 在球坐标系中在球坐标系中用二项式展开，由于，得用二项式展
6、开，由于，得代入上式，得代入上式，得 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。+q电偶极子电偶极子zodq第8页，此课件共51页哦9 由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度等位线等位线电场线电场线电偶极子的场图电偶极子的场图第9页，此课件共51页哦10 解解 选定均匀电场空间中的一点选定均匀电场空间中的一点o为坐标原点，而任意点为坐标原点，而任意点P 的位置矢量的位置矢量为为r，则，则若选择点若选择点o为电位参考点，即为电位参考点，即 ，则，则 在球坐标系中，取极轴与在球坐标系中，取极轴与 的
7、方向一致，即的方向一致，即 ，则有，则有 在圆柱面坐标系中，取在圆柱面坐标系中，取 与与x轴方向一致，即轴方向一致，即 ，而，而 ，故，故 例例3.1.2 求均匀电场的电位分布。求均匀电场的电位分布。第10页，此课件共51页哦11 例例3.1.3 两块无限大接地导体平板分别置于两块无限大接地导体平板分别置于x=0和和 x=a 处，在两板处，在两板之间的之间的 x=b 处有一面密度为处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所示。求两导体的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。平板之间的电位和电场。解解 在两块无限大接地导体平板之间，除在两块无限大接地导体平板之间，除 x=b 处有均匀
8、面电荷分布外，处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程方程的解为方程的解为obaxy两块无限大平行板两块无限大平行板第11页，此课件共51页哦利用边界条件，有利用边界条件，有 处，处，最后得最后得 处，处，处，处，所以所以由此解得由此解得第12页，此课件共51页哦133.2 静电场中的导体与电容静电场中的导体与电容导体：含有大量自由电荷的物体。导体：含有大量自由电荷的物体。特征：特征：1.1.导体内部各处电场强度均为导体内部各处电场强度均为0 02.2.导体内部不存在任何净电荷，电荷都以面电荷形式分布于导体内
9、部不存在任何净电荷，电荷都以面电荷形式分布于 导体表面导体表面3.3.导体为一等位体，其表面为等位面导体为一等位体，其表面为等位面4.4.导体表面切向电场为导体表面切向电场为0 0，而只有法向电场分量，而只有法向电场分量E En n第13页，此课件共51页哦14任何两个导体都可看作一点容器任何两个导体都可看作一点容器电容器广泛应用于电子设备的电路中：电容器广泛应用于电子设备的电路中：在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用；路、选频等作用；通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂通过电容、电感、电阻的排布，可
10、组合成各种功能的复杂 电路；电路；在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以 减少电能的损失和提高电气设备的利用率；减少电能的损失和提高电气设备的利用率；第14页，此课件共51页哦15 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能力的物理储存电荷能力的物理量。量。孤立导体的电容定义为所带电量孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位与其电位 的比值，即的比值，即1.电容电容 孤立导体的电容孤立导体的电容 两个带等量异号电荷（两个带等量异号电荷（q）的导的导 体组成的电容器，其电容为体组
11、成的电容器，其电容为 电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。第15页，此课件共51页哦16(1)假定两导体上分别带电荷假定两导体上分别带电荷+q 和和-q；(2)计算两导体间的电场强度计算两导体间的电场强度E；计算电容的步骤：计算电容的步骤：(4)求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所求电容。(3)由由 ，求出两导体间的电位差；，求出两导体间的电位差；或：或：(1)假定两导体间电压假定两导体间电压U；(3)根据根据 计算导体表面的电量；
12、计算导体表面的电量；(2)由由 ，求出电场强度，求出电场强度E；(4)求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所求电容。第16页，此课件共51页哦17 解：解：设内导体的电荷为设内导体的电荷为q q，则由高斯定理可求得内外导体间的电场，则由高斯定理可求得内外导体间的电场同心导体间的电压同心导体间的电压球形电容器的电容球形电容器的电容当当 时，时，例例3.1.4 同心球形电容器的内导体半径为同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为、外导体半径为b，其间填充，其间填充介电常数为介电常数为的均匀介质。的均匀介质。求此球形电容器的电容。求此球形电容器的电容。孤立导体球的电容孤立导体球的电容第17页
13、，此课件共51页哦18 例例 3.1.5 如图所示的平行双线传输线，导线半径为如图所示的平行双线传输线，导线半径为a，两导线的轴，两导线的轴线距离为线距离为D，且，且D a，求传输线单位长度的电容。，求传输线单位长度的电容。解解 设两导线单位长度带电量分别为设两导线单位长度带电量分别为 和和 。由于。由于 ，故可，故可近似地认为电荷分别均匀分布在两近似地认为电荷分别均匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点理，可得到两导线之间的平面上任一点P 的电场强度为的电场强度为两导线间的电位差两导线间的电位差故单位长度的电容为故单位
14、长度的电容为第18页，此课件共51页哦19 例例3.1.6 同轴线内导体半径为同轴线内导体半径为a，外导体半径为为，外导体半径为为b，内外导体间填充的介，内外导体间填充的介电常数为电常数为 的均匀介质，的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。求同轴线单位长度的电容。内外导体间的电位差内外导体间的电位差 解解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和和 ，应，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为故得同轴线单位长度的电容为故得同轴线单位长度的电容为同轴线同轴线第19页，此课件共51页哦203.4 静静电场
15、的的边界条件界条件电场强度和电位移矢量的边界条件电场强度和电位移矢量的边界条件或或若分界面上不存在面电荷，即若分界面上不存在面电荷，即S S0 0，则，则或或第20页，此课件共51页哦21介质介质2 2介质介质1 1 在静电平衡的情况下，导体内部的电场为在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的边界条件，则导体表面的边界条件为为 或或 场矢量的折射关系场矢量的折射关系 导体表面的边界条件导体表面的边界条件 介质介质1 1导体第21页，此课件共51页哦22 设设P1和和P2是是介介质质分分界界面面两两侧侧紧紧贴贴界界面面的的相相邻邻两两点点，其其电电位位分分别别为为 1和和 2。当两点
16、间距离当两点间距离l0时时 若介质分界面上无自由电荷，即若介质分界面上无自由电荷，即导体表面上电位的边界条件：导体表面上电位的边界条件：由由 和和媒质媒质2媒质媒质1常数，常数，静电位静电位的边界条件的边界条件讲解书中例题3.4-1第22页，此课件共51页哦233.5 静电场的边值问题，惟一性定理静电场的边值问题，惟一性定理3.5.1 3.5.1 边值问题的类型边值问题的类型已知场域边界面上的位函数值，即已知场域边界面上的位函数值，即边值问题：在给定的边界条件下，求解位函边值问题：在给定的边界条件下，求解位函 数的泊松方程或拉普拉斯方程数的泊松方程或拉普拉斯方程第一类边值问题（或狄里赫利问题）
17、第一类边值问题（或狄里赫利问题）已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即 已知场域一部分边界面上的已知场域一部分边界面上的位函数值，而另一部分边界面上则位函数值，而另一部分边界面上则已知已知位函数的法向导数值，即位函数的法向导数值，即第三类边值问题（或混合边值问题）第三类边值问题（或混合边值问题）第二类边值问题（或纽曼问题）第二类边值问题（或纽曼问题）第23页，此课件共51页哦24 自然边界条件自然边界条件（无界空间）（无界空间）周期边界条件周期边界条件 衔接条件衔接条件不同媒质分界面上的边界条件，如不同媒质分界面上的边界条件，如第24页，此课件共51页
18、哦25例：例：（第一类边值问题）（第一类边值问题）（第三类边值问题）（第三类边值问题）例：例：第25页，此课件共51页哦26 在场域在场域V 的边界面的边界面S上给定上给定 或或 的值，则的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 具有惟一值。具有惟一值。3.5.2 惟一性定理惟一性定理惟一性定理的重要意义惟一性定理的重要意义给出了静态场边值问题具有惟一解的条件给出了静态场边值问题具有惟一解的条件为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据为求解结果的正确性提供了判据为求解结果的正确性提供了判据惟一性定理的表述惟一性定理的表述
19、第26页，此课件共51页哦27 当当有有电电荷荷存存在在于于导导体体或或介介质质表表面面附附近近时时，导导体体和和介介质质表表面面会会出出现现感感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。非非均均匀匀感感应应电电荷荷产产生生的的电电位位很很难难求求解解，可可以用等效电荷的电位替代以用等效电荷的电位替代1.问题的提出问题的提出几个实例几个实例接接地地导导体体板板附附近近有有一个点电荷，如图所示。一个点电荷，如图所示。q qqq非均匀感应电荷非均匀感应电荷等效电荷等效电荷 3.6 镜像法镜像法第27页，此课件共51页哦28 接地导体
20、球附近有一个点电荷，如图。接地导体球附近有一个点电荷，如图。非非均均匀匀感感应应电电荷荷产产生生的的电电位位很很难难求求解解，可可以以用用等等效效电电荷荷的电位替代的电位替代 接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。荷为线电荷。q q非均匀感应电荷非均匀感应电荷qq等效电荷等效电荷结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷 或线电荷的作用。或线电荷的作用。问题：这种等效电荷是否存在？问题：这种等效电荷是否存在？这种等效是否合理？这种等效是否合理？第28页，
21、此课件共51页哦292.镜像法的原理镜像法的原理 用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边用位于场域边界外虚设的较简单的镜像电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空界上未知的较为复杂的电荷分布，从而将原含该边界的非均匀媒质空间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化间变换成无限大单一均匀媒质的空间，使分析计算过程得以明显简化的一种间接求解法。的一种间接求解法。在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的在导体形状、几何尺寸、带电状况和媒质几何结构、特性不变的前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同
22、一泛定方前提条件下，根据惟一性定理，只要找出的解答满足在同一泛定方程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是惟一的程下问题所给定的边界条件，那就是该问题的解答，并且是惟一的解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构解答。镜像法正是巧妙地应用了这一基本原理、面向多种典型结构的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法的工程电磁场问题所构成的一种有效的解析求解法3.镜像法的理论基础镜像法的理论基础解的惟一性定理解的惟一性定理第29页，此课件共51页哦30 像电荷的个数、位置及其电量大小像电荷的个数、位置及其电量大小“三要素三要素”；4.镜像法应用的关键点镜像法应用的关键点
23、5.确定镜像电荷的两条原则确定镜像电荷的两条原则等效求解的等效求解的“有效场域有效场域”。镜像电荷的确定镜像电荷的确定像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；像电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中；像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域区域 的边界条件来确定。的边界条件来确定。第30页，此课件共51页哦311.点电荷对无限大接地导体平面的镜像点电荷对无限大接地导体平面的镜像满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。满足原问题的边界条件，所得的结果是正确的。3.6.1 接地导体平面的点（线）电荷接地导体平面的点（线）电荷镜像电荷
24、镜像电荷电位函数电位函数因因z=0时，时，q q有效区域有效区域q q第31页，此课件共51页哦32上半空间上半空间(z0）的电位函数）的电位函数q q 导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的感应电荷密度为导体平面上的总感应电荷为导体平面上的总感应电荷为第32页，此课件共51页哦332.线电荷对无限大接地导体平面的镜像线电荷对无限大接地导体平面的镜像镜像线电荷：镜像线电荷：满足原问题的边界条件，满足原问题的边界条件，所得的解是正确的。所得的解是正确的。电位函数电位函数原问题原问题有效区域有效区域当当z=0时，时，第33页，此课件共51页哦343.6.2.导体劈间的点电荷导体劈间的点电荷 如如图
25、图所所示示，两两个个相相互互垂垂直直相相连连的的半半无无限限大大接接地地导导体体平平板板，点点电电荷荷q 位于位于(d1,d2)处。处。显显然然，q1 对对平平面面 2 以以及及q2 对对平平面面 1 均不能满足边界条件。均不能满足边界条件。对于平面对于平面1，有镜像电荷，有镜像电荷q1=q，位于，位于(d1,d2)对于平面对于平面2，有镜像电荷，有镜像电荷q2=q，位于，位于(d1,d2)只有在只有在(d1,d2)处处再设置一再设置一镜像电荷镜像电荷q3=q，所有边界条件才能，所有边界条件才能得到满足。得到满足。电位函数电位函数q d1d212RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d
26、1第34页，此课件共51页哦35 例例3.6.1 一一个个点点电电荷荷q与与无无限限大大导导体体平平面面距距离离为为d，如如果果把把它它移移至至无无穷远处，需要做多少功？。穷远处，需要做多少功？。qqx =0d-d 解解：移移动动电电荷荷q时时，外外力力需需要要克克服服电电场场力力做做功功，而而电电荷荷q受受的的电电场场力力来来源源于于导导体体板板上上的的感感应应电电荷荷。可可以以先先求求电电荷荷q 移移至至无无穷穷远远时时电电场场力力所所做做的的功。功。由镜像法，感应电荷的电场可以由镜像法，感应电荷的电场可以用像电荷用像电荷qq 替代。当电荷替代。当电荷q 移移至至x时，像电荷时，像电荷q应
27、位于应位于x，则有，则有第35页，此课件共51页哦363.6.3 导体圆柱面的镜像导体圆柱面的镜像问题问题：如图如图 1 所示，一根电荷线密度为所示，一根电荷线密度为 的的无限长线电荷位于半径为无限长线电荷位于半径为a 的的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的轴线无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的轴线平行且到轴线的距离为平行且到轴线的距离为d。图图1 线电荷与导体圆柱线电荷与导体圆柱图图2 线电荷与导体圆柱线电荷与导体圆柱的镜像的镜像特点特点：在导体圆柱面上有感应电荷，：在导体圆柱面上有感应电荷，圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共同产生。同产生。分析方法分析方法：镜像电
28、荷是圆柱面内部与：镜像电荷是圆柱面内部与轴线平行的无限长线电荷，如图轴线平行的无限长线电荷，如图2所示。所示。线电荷对接地导体圆柱面的镜像线电荷对接地导体圆柱面的镜像第36页，此课件共51页哦37由于上式对任意的由于上式对任意的都成立，因此，将上式对求导，可以得到都成立，因此，将上式对求导，可以得到由于导体圆柱接地，所以当由于导体圆柱接地，所以当 时，电位应为零，即时，电位应为零，即 所以有所以有 设镜像电荷的线密度为设镜像电荷的线密度为 ，且距圆柱的轴线为且距圆柱的轴线为 ，则由，则由 和和 共同产生的电位函数共同产生的电位函数第37页，此课件共51页哦38导体圆柱面外的电位函数：导体圆柱面
29、外的电位函数：由由 时，时，故故导体圆柱面上的感应电荷面密度为导体圆柱面上的感应电荷面密度为导体圆柱面上单位长度的感应电荷为导体圆柱面上单位长度的感应电荷为导体圆柱面上单位长度的感应电荷与所设置的镜像电荷相等。导体圆柱面上单位长度的感应电荷与所设置的镜像电荷相等。第38页，此课件共51页哦393.7 分离变量法分离变量法 将偏微分方程中含有将偏微分方程中含有n个自变量的待求函数表示成个自变量的待求函数表示成n个各自只含一个个各自只含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成n个常微分方程，求出各常个常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到
30、级数形式解，并利用微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。给定的边界条件确定待定常数。分离变量法是求解边值问题的一种经典方法分离变量法是求解边值问题的一种经典方法分离变量法的理论依据是惟一性定理分离变量法的理论依据是惟一性定理分离变量法解题的基本思路：分离变量法解题的基本思路：第39页，此课件共51页哦40在直角坐标系中，若位函数与在直角坐标系中，若位函数与z无关，则拉普拉斯方程为无关，则拉普拉斯方程为3.7.1 直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法将将 (x,y)表示为两个一维函数表示为两个一维函数X(x)和和Y(y)的乘积，即的乘
31、积，即将其代入拉普拉斯方程，得将其代入拉普拉斯方程，得再除以再除以X(x)Y(y)，有，有分离常数分离常数第40页，此课件共51页哦41 若取若取k2，则有，则有当当当当第41页，此课件共51页哦42将所有可能的将所有可能的 (x,y)线性线性叠加起来，则得到位函数的通解，即叠加起来，则得到位函数的通解，即 若取若取k2，同理可得到，同理可得到通解中的分离常数和待定系数由给定的边界条件确定。通解中的分离常数和待定系数由给定的边界条件确定。第42页，此课件共51页哦43 例例3.7.1 无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属槽无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属槽绝缘，盖板电位为绝
32、缘，盖板电位为U0，金属槽接地，横截面如图所示，试计算此，金属槽接地，横截面如图所示，试计算此导体槽内的电位分布。导体槽内的电位分布。解：解：位函数满足的方程和边界条件为位函数满足的方程和边界条件为因因 (0,y)0、(a,y)0，故，故位函数的通解应取为位函数的通解应取为第43页，此课件共51页哦44确定待定系数确定待定系数第44页，此课件共51页哦45将将U0 在（在（0，a）上按）上按 展开为傅立叶级数，即展开为傅立叶级数，即其中其中第45页，此课件共51页哦46由由故得到故得到第46页，此课件共51页哦473.7.2 圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法 令其解为令其解为
33、代入方程，可得到代入方程，可得到由此可将拉普拉斯方程分离为两个常微分方程由此可将拉普拉斯方程分离为两个常微分方程 在圆柱坐标系中，若位函数与在圆柱坐标系中，若位函数与z z无关，则拉普拉斯方程为无关，则拉普拉斯方程为 通常通常 (,)随变量随变量 的变化是以的变化是以 2 为周期的周期函数。因此，为周期的周期函数。因此，分离常数分离常数 k 应为整数，即应为整数，即k n(n0,1,2,)。第47页，此课件共51页哦48当当n=0时时 考虑到以上各种情况，考虑到以上各种情况，电位微分方程电位微分方程的解可取下列一般形式的解可取下列一般形式 当当n 0时时 第48页，此课件共51页哦49 解解
34、选取圆柱坐标系，令选取圆柱坐标系，令 z 轴为圆柱轴线，电场强度的方向与轴为圆柱轴线，电场强度的方向与x 轴一致，即轴一致，即 当导体圆柱处于静电平衡时，圆柱当导体圆柱处于静电平衡时，圆柱内的电场强度为零，圆柱为等位体，圆内的电场强度为零，圆柱为等位体，圆柱表面电场强度切向分量为零，且柱外柱表面电场强度切向分量为零，且柱外的电位分布函数应与的电位分布函数应与z 无关。解的形式无关。解的形式可取前述一般形式，但应满足下列两个可取前述一般形式，但应满足下列两个边界条件：边界条件：例例 3.7.2 均匀外电场均匀外电场 中，有一半径为中，有一半径为 a、介电常数为、介电常数为的的无限长均匀介质圆柱，
35、其轴线与外电场垂直，圆柱外为空气，如图无限长均匀介质圆柱，其轴线与外电场垂直，圆柱外为空气，如图所示。试求介质圆柱内外的电位函数和电场强度。所示。试求介质圆柱内外的电位函数和电场强度。xyaE0oP(,)第49页，此课件共51页哦50 由于圆柱表面电场强度的切向分量为零，即由于圆柱表面电场强度的切向分量为零，即 无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为 此此 式式 表表 明明，无无 限限 远远 处处 电电 位位 函函 数数 仅仅 为为cos 的的 函函 数数，可可 见见 系系 数数 ，且，且 m=0。因此电位函数为。因此电位函数为那么，根据应满足的边界条件即可求得系数那么，根据应满足的边界条件即可求得系数 B1，D1 应为应为第50页，此课件共51页哦51代入前式，求得柱外电位分布函数为代入前式，求得柱外电位分布函数为 则柱外电场强度为则柱外电场强度为 xyaE0电场线电场线等位面等位面圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如图所示。圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如图所示。第51页，此课件共51页哦