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1、关于向量的数量积和向量积现在学习的是第1页，共16页一、两向量的数量积1 定义定义两个向量两个向量a a和和b b的模与它们之间夹角的余弦之积，的模与它们之间夹角的余弦之积，称为向量称为向量a与与b的的数量积数量积，记作记作ab,b,即即数量积也称数量积也称点积点积。力学意义：力学意义：一物体在力一物体在力F的作用下，的作用下，沿直线沿直线AB移动了移动了S，F与与AB的夹角为的夹角为,如右图，如右图，则力对物体做的功为则力对物体做的功为BSAF现在学习的是第2页，共16页2 性质：性质：（1）aa=|a|a=|a|2 2（2）（3）表示两非零向量表示两非零向量a a和和b b的夹角，则有的夹
2、角，则有现在学习的是第3页，共16页3 运算律运算律（1）交换律）交换律（2）分配律）分配律（3）结合律）结合律其中其中为常数。常数。4 数量积的计算公式数量积的计算公式设向量设向量则有则有现在学习的是第4页，共16页证明：证明：则有两非零向量则有两非零向量a a和和b b的夹角的夹角的的余弦坐标余弦坐标表示为表示为 现在学习的是第5页，共16页此时，对于非零向量此时，对于非零向量a，b，有，有5 向量在轴上的投影向量在轴上的投影设设A为空间一点，为空间一点，u轴已知，如图。轴已知，如图。Au过点过点A作与轴垂直的平面，作与轴垂直的平面，平面与轴平面与轴的交点的交点A称为称为A在轴上的投影。在
3、轴上的投影。A对于已知向量对于已知向量 ，u轴上的有向轴上的有向线段线段 的模称为向量的模称为向量 在轴在轴u 上的投影，上的投影，它是一个数量，记作它是一个数量，记作BB现在学习的是第6页，共16页那么那么为向量为向量 与轴与轴u的夹角。的夹角。用用e表示表示u轴上的单位向量，轴上的单位向量，则则aee为向量为向量a a在在e e方向方向上的投影，那么有上的投影，那么有例例1 已知已知a=1，1，-4，b=1，-2，2，求：求：（1）abb；（2）a与与b的夹角；的夹角；（3）a在在b上的投影。上的投影。现在学习的是第7页，共16页解：解：（1）（2）所以所以（3）因为因为所以所以现在学习的
4、是第8页，共16页例例2求证余弦定理求证余弦定理为边为边CACA，CBCB的夹角。的夹角。证明：证明：如图所示的如图所示的ABCABC，令令ABC可得可得那么那么所以所以证毕证毕现在学习的是第9页，共16页二、两向量的向量积二、两向量的向量积1 定义定义设向量设向量c由两个向量由两个向量a和和b按下列规定给出：按下列规定给出：（1）|c|=|a|b|sin，为向量为向量a a和和b b的夹角；的夹角；（2），且向量，且向量a，b，c的方向满足右的方向满足右手定则，如图；手定则，如图；那么向量那么向量c称为向量称为向量a和和b的的向量积向量积，记作记作ab，即，即C=ab向量积又称为向量积又称为
5、叉积叉积。向量积模的几何意义是：向量积模的几何意义是：以以a，b为邻边的平行四边形的面积。为邻边的平行四边形的面积。abc现在学习的是第10页，共16页O为一根杠杆为一根杠杆L的支点，的支点，LOPF有一个力有一个力F作用于其上点作用于其上点P处，处，F与与 的夹角为的夹角为，由力学由力学规定，规定，力力F对支点对支点O的力矩是一的力矩是一个向量个向量M，Q它的模它的模而而M的方向垂直于的方向垂直于 与与F所决定的平面，所决定的平面，M的指向是的指向是是按右手规则从是按右手规则从 以不超过以不超过的角的转向的角的转向F F来确定，来确定，因而实际上因而实际上力学意义：力学意义：力矩力矩，如下图
6、所示。如下图所示。现在学习的是第11页，共16页2 两向量积的性质两向量积的性质（1）aa=o；（2）（3）若）若ao，bo，a，b的夹角为的夹角为，则，则3 两向量的向量积的运算律两向量的向量积的运算律（1）ab=-ba；（2）（）（a）b=a（b）=（ab（为常数为常数）（3）（）（a+b）c=ac+bc现在学习的是第12页，共16页4 两向量的向量积的坐标表示两向量的向量积的坐标表示设向量设向量则有则有此时，对于非零向量此时，对于非零向量a，b，有，有约定：若分母中有零，相应地，分子也为零。约定：若分母中有零，相应地，分子也为零。现在学习的是第13页，共16页例例3 设向量设向量解：解：例例4 设向量设向量问问ab与与c是否平行？是否平行？解：解：显然显然故故ab/c.现在学习的是第14页，共16页例例5 问向量问向量是否共面？是否共面？解：解：判断三个向量是否共面，只要判断其中的两个判断三个向量是否共面，只要判断其中的两个向量的向量及与第三个向量是否垂直即可。向量的向量及与第三个向量是否垂直即可。（为什么？）（为什么？）由于由于所以，所以，=4-2-2=0因而因而a，b，c共面。共面。现在学习的是第15页，共16页感感谢谢大大家家观观看看现在学习的是第16页，共16页