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1、关于反比例函数与几何图形的面积公开课现在学习的是第1页，共21页教学目标：教学目标：（1 1）理解和掌握反比例函数）理解和掌握反比例函数 （k0k0）中）中k k的几何意义的几何意义 （2 2）能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题）能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题教学过程：教学过程：让让学学生生自自己己尝尝试试在在反反比比例例函函数数的的图图象象上上任任取取一一点点P(xP(x、y)y)，过过P P点点分分别别向向X X轴轴、Y Y轴轴作作垂垂线线，从从而而探探究究求求出出两两垂垂线线与与坐坐标标轴轴形形成成的的矩矩形形的的面面积积及三角形的面积，从而探究所形成的矩形与三角
2、形的面积与及三角形的面积，从而探究所形成的矩形与三角形的面积与k k的关系。的关系。现在学习的是第2页，共21页教学重、难点：教学重、难点：（1 1）重重点点：理理解解并并掌掌握握反反比比例例函函数数中中k k的的几几何何意意义义；并并能能利利用用它它们解决一些综合问题们解决一些综合问题 （2 2）难点：学会从图象上分析、解决问题）难点：学会从图象上分析、解决问题学情分析：学情分析：（1 1）知知识识基基础础：本本节节课课学学习习前前，学学生生已已经经具具有有了了函函数数概概念念的的知知识识积积累累，在在上上一一节节课课的的学学习习中中，学学生生已已经经掌掌握握了了反反比比例例函数的概念。函数
3、的概念。（2 2）学学习习方方法法：学学生生已已经经积积累累的的学学习习函函数数的的方方法法有有：画画图图象象，观观察察图图像像归归纳纳函函数数性性质质，了了解解函函数数变变化化规规律律和和函函数数的的变变换趋势等，通过设置问题让学生自主探究。换趋势等，通过设置问题让学生自主探究。现在学习的是第3页，共21页反比例函数中反比例函数中“k”k”的几何意义的几何意义x xy yO O如图，是如图，是y=6/xy=6/x的图象，点的图象，点P P是图象上的一个动点。是图象上的一个动点。1 1、若、若P(1P(1，y)y)，则四边形，则四边形OAPBOAPB的面积的面积_P P(1,y)(1,y)B
4、BB BA AA AA AB BA AP P(5,y(5,y)P P(3,y)(3,y)2 2、若、若P(3P(3，y)y)，则四边形，则四边形OAPBOAPB的面积的面积_6663 3、若、若P(5P(5，y)y)，则四边形，则四边形OAPBOAPB的面积的面积_结论：从双曲线上任意一点向结论：从双曲线上任意一点向x x、y y轴分别作垂线段，两条垂线轴分别作垂线段，两条垂线段与两坐标轴所围成的长方形的面积段与两坐标轴所围成的长方形的面积=k.想一想：若想一想：若P(xP(x，y)y)，则四边形，则四边形OAPBOAPB的面积的面积_6现在学习的是第4页，共21页反比例函数与矩形面积 例例1
5、.1.如如图图，P P是是反反比比例例函函数数的的图图象象上上一一点点，过过P P点点分分别别向向x x轴轴、y y轴轴作作垂垂线线，所所得得到到的的图图中中阴阴影影部部分分的的面面积积为为6 6，求求这这个个反反比比例例函函数数的的解解析析式。式。解：解：设设P P点的坐标为（点的坐标为（x,y),x,y),则则OA=x,AP=-yOA=x,AP=-y 矩形矩形OAPBOAPB的面积的面积S=6S=6 OAAP=6 OAAP=6，即，即-xy=6-xy=6 这个反比例函数关系式为：这个反比例函数关系式为：P(x,y)Aoyx B思考：如果去掉上题图，将阴影部分的面积改为思考：如果去掉上题图，
6、将阴影部分的面积改为“过过P点的垂线和两点的垂线和两坐标轴所围成的矩形的面积为坐标轴所围成的矩形的面积为6”，本题该如何解决？，本题该如何解决？现在学习的是第5页，共21页P(m,n)AoyxBP(m,n)AoyxB过反比例函数图象上任一点过反比例函数图象上任一点P P分别作分别作x x轴、轴、y y轴的垂线，垂足分别为轴的垂线，垂足分别为A,BA,B，它们与坐标轴形成的，它们与坐标轴形成的矩形面积矩形面积是是不变的。不变的。总结：总结：k的绝对值的几何意义的绝对值的几何意义现在学习的是第6页，共21页 推广：反比例函数与三角形面积 例例2.2.如如图图，点点A A在在反反比比例例函函数数 图
7、图象象上上，ABAB垂垂直直于于x x轴轴，垂垂足为足为B.B.求求OABOAB的面积。的面积。解：解：设设A A点坐标为（点坐标为（x x，y y），），点点A A在在 图象上图象上xy=-8xy=-8，xyxy=8=8 BoyxA现在学习的是第7页，共21页P(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx过P作x轴的垂线，垂足为A,则它与坐标轴形成的三角形的面积是不变的，为：总结：总结：k的绝对值的几何意义的推广的绝对值的几何意义的推广现在学习的是第8页，共21页PDoyx1.1.如图如图,点点P P是反比例函数是反比例函数 图象上的一图象上的一点点,PDx,PDx轴于轴于D.D.则则PODPOD
8、的面积为的面积为 .1 1现在学习的是第9页，共21页2.2.如图如图,点点P P是反比例函数图象上的一点是反比例函数图象上的一点,过点过点P P分别向分别向x x轴、轴、y y轴作垂线轴作垂线,若阴影部分面积为若阴影部分面积为1,1,则这个反比例函数的关系则这个反比例函数的关系式是式是 .PDoyxPyxOC现在学习的是第10页，共21页的面积不变性的面积不变性 注意：注意：（1 1）面积与面积与P P的位置无关的位置无关（2）当）当k符号不确定的情况符号不确定的情况下须下须分类讨论分类讨论PQ0 xyP0 xy规律总结规律总结现在学习的是第11页，共21页 3、在双曲线、在双曲线 上上任一
9、点分别作任一点分别作x轴、轴、y轴的垂线段，轴的垂线段，与与x轴轴y轴围成矩形面积为轴围成矩形面积为12，求函，求函数解析式数解析式_。(X0)(X0)yxO或或现在学习的是第12页，共21页AA.S1=S2=S3 B.S1 S2 S3 C.S3 S1 S2 S3 BA1oyxACB1C1S1S3S2现在学习的是第13页，共21页AoyxBS1S25、如图，如图，A,B是双曲线是双曲线 上的点，分别经过上的点，分别经过A,B两点向两点向X轴、轴、y轴作垂线段，若轴作垂线段，若 .4现在学习的是第14页，共21页Oyxs1s2 如图如图,点点P P、Q Q是反比例函数图象上的两点是反比例函数图象
10、上的两点,过点过点P P、Q Q分别向分别向x x轴、轴、y y轴作垂线轴作垂线,则则S S1 1(黄色三角形）黄色三角形）S S2 2(绿色三角形）的面积大小关系是：绿色三角形）的面积大小关系是：S1 _ _ S2.PQ=综合提高：综合提高：现在学习的是第15页，共21页xyOP1P2P3P41234如图，在反比例函数如图，在反比例函数 的图象上，有点的图象上，有点，它们的横坐标依次为，它们的横坐标依次为1，2，3，4分别过这些点作分别过这些点作 轴与轴与 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 ，则，则（x0)（x0)思考：思考
11、：1.你能求出你能求出S2和和S3的值吗？的值吗？2.S1呢？呢？1现在学习的是第16页，共21页 如如图图，已已知知正正方方形形OABCOABC的的面面积积为为9 9，点点O O为为坐坐标标原原点点，点点A A在在x x轴轴上上，点点C C在在y y轴轴上上，点点B B在在函函数数y=k/xy=k/x的的图图象象上上，点点P(m,n)P(m,n)是是图图象象上上任任意意一一点点，过过点点 P P分分别别作作x x轴轴，y y轴轴的的垂垂线，垂足分别为线，垂足分别为E,FE,F，拓拓展展提提高高若设矩形若设矩形OEPF和正方和正方形形OABC不重合部分的不重合部分的面积为面积为S，写出，写出S
12、关于关于m的函数关的函数关 系式系式现在学习的是第17页，共21页总结提高总结提高一个性质：反比例函数的一个性质：反比例函数的面积不变性面积不变性两种思想：两种思想：分类讨论分类讨论和和数形结合数形结合现在学习的是第18页，共21页练习：1.1.（20102010湖北孝感）湖北孝感）如图，点如图，点A A在双曲线在双曲线 上，点上，点B B在双曲线在双曲线 上，且上，且ABxABx轴，轴，C C、D D在在x x轴上，若四边形轴上，若四边形ABCDABCD为矩形，则它的为矩形，则它的面积为面积为 .2.2.如图，过反比例函数如图，过反比例函数 的图象上任意的图象上任意两点两点A A、B B分别
13、作分别作x x轴的垂线，垂足分别为轴的垂线，垂足分别为C C、D D，连结连结OAOA、OBOB。设。设ACAC与与OBOB的交点为的交点为E E，与与梯形梯形ECDBECDB的面积分别为的面积分别为S1S1、S2S2，比较它们的，比较它们的大小，可得（大小，可得（）A.A.B.C.D.B.C.D.大小关系不能确定大小关系不能确定E现在学习的是第19页，共21页3.3.如图，如图，A A、B B是函数是函数 的图象上关于原点的图象上关于原点O O对称的任意两点，对称的任意两点，ACAC平行于平行于y y轴，轴，BCBC平行于平行于x x轴，轴，的面积为的面积为S S，则（，则（）A.SA.S1 B.1 B.C.S C.S2 D.2 D.4.4.如图，正比例函数如图，正比例函数 与反比例函数与反比例函数 的图象相交于的图象相交于A A、C C两点，过两点，过A A点作点作x x轴轴的垂线，交的垂线，交x x轴于轴于B B，过，过C C作作x x轴的垂线，交轴的垂线，交x x轴轴于于D D，则四边形，则四边形ABCDABCD的面积为的面积为_。现在学习的是第20页，共21页2023/4/1感感谢谢大大家家观观看看现在学习的是第21页，共21页