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1、关于导数与微分高等数学现在学习的是第1页，共42页1 1、导数的定义、导数的定义导函数导函数 注意：注意：记为现在学习的是第2页，共42页例题例题1 1.设设存在，且存在，且则则等于等于 A.1,B.0,C.2,D.0.5 A.1,B.0,C.2,D.0.5 分析：分析：现在学习的是第3页，共42页导数定义的本质：导数定义的本质：练习：练习：P43 P43 第第3 3题题现在学习的是第4页，共42页2、单侧导数单侧导数左导数左导数与右导数与右导数:在讨论分段函数在分段点的可导时，由于在分段点两侧表达式在讨论分段函数在分段点的可导时，由于在分段点两侧表达式可能不同，因此一般应从定义出发讨论其左、
2、右导数。可能不同，因此一般应从定义出发讨论其左、右导数。例例.见教材见教材 P42 P42 页例页例6 6现在学习的是第5页，共42页例题例题2.2.讨论讨论在在处的连续性与可导性处的连续性与可导性.分析：分析：所以所以在在处连续处连续 现在学习的是第6页，共42页所以所以因此因此在在处可导。处可导。题目的函数为：题目的函数为：现在学习的是第7页，共42页当当时，时，所以所以因此因此从而从而在在处可导。处可导。判断可导性的另一种方法：判断可导性的另一种方法：现在学习的是第8页，共42页3 3、导数的几何意义：、导数的几何意义：函数函数在点在点处的导数处的导数表示曲线在点表示曲线在点处切线的斜率
3、。处切线的斜率。曲线在点曲线在点处的切线方程为处的切线方程为 法线方程为：法线方程为：现在学习的是第9页，共42页例例 求曲线求曲线在点（在点（2，8）处得切线方程和法线方程。）处得切线方程和法线方程。解解 在点（在点（2，8）处的切线斜率为）处的切线斜率为所以，所求切线方程为所以，所求切线方程为所求法线斜率为所求法线斜率为于是所求法线方程为于是所求法线方程为现在学习的是第10页，共42页4 4、导数与连续的关系、导数与连续的关系 ：定理定理(函数可导的必要条件函数可导的必要条件)：在点在点处可导处可导在点在点处连续。处连续。可导可导连续，反之不一定连续，反之不一定 即函数连续是函数可导的必要
4、条件，即函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件。但不是充分条件。例子例子 见教材见教材 P42 P42 例题例题7 7，8 8现在学习的是第11页，共42页例例 函数函数在在x=0连续但不可导，连续但不可导，于是有于是有可导一定连续，但是连续不一定可导。可导一定连续，但是连续不一定可导。连续一定有极限，但是有极限不一定连续。连续一定有极限，但是有极限不一定连续。因为因为现在学习的是第12页，共42页例例解解练习：练习：P43页第页第7题题现在学习的是第13页，共42页5 5、基本导数公式、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式）（常数和基本初等函数的导数公式）现在学习的是第14页，共
5、42页6 6、求导法则、求导法则(1)函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则反函数的求导法则现在学习的是第15页，共42页或或注意：注意：与与的区别的区别表示复合函数对自变量表示复合函数对自变量 求导求导 （3 3）.复合函数的导数复合函数的导数：复合函数求导关键在于正确地分解复合复合函数求导关键在于正确地分解复合函数，正确地运用复合函数求导法则。函数，正确地运用复合函数求导法则。表示复合函数对中间变量表示复合函数对中间变量 求导求导现在学习的是第16页，共42页例例求下列函数的导数求下列函数的导数 现在学习的是第17页，共42页例例 设设，求，求解
6、解 例例设设，求，求解解 首页首页上页上页下页下页现在学习的是第18页，共42页现在学习的是第19页，共42页(4)(4)隐函数求导法则隐函数求导法则隐函数求导法隐函数求导法:方程两端同时对方程两端同时对x x求导求导,注意在注意在求导过程中要求导过程中要y=f(x)y=f(x)视为视为x x的函数的函数,即把即把y y视为视为中间变量。中间变量。见见 P53 P53 页例页例3 3现在学习的是第20页，共42页例例 求由方程求由方程所确定的隐函数的导数所确定的隐函数的导数解解 方程两端对方程两端对x求导数，得求导数，得例例 求椭圆求椭圆在点在点处的切线方程处的切线方程.解解 所求切线斜率为所
7、求切线斜率为方程两边对方程两边对x求导求导,得得首页首页上页上页下页下页现在学习的是第21页，共42页例例 求由方程求由方程所确定的隐函数的二阶导数所确定的隐函数的二阶导数现在学习的是第22页，共42页(5)(5)参变量函数的求导法则参变量函数的求导法则现在学习的是第23页，共42页 解：解：曲线上对应曲线上对应t=1的点（的点（x,y)为（为（0,0）,曲线曲线t=1在处的切线斜率为在处的切线斜率为于是所求的切线方程为于是所求的切线方程为 y=x求曲线求曲线在在t=1处的切线方程处的切线方程例例现在学习的是第24页，共42页例题：设，求现在学习的是第25页，共42页(6)对数求导法对数求导法
8、先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求然后利用隐函数的求导方法求出导数出导数.适用范围适用范围:对数求导法适用于幂指函数对数求导法适用于幂指函数 以及多因子乘积（或商）函数的导数以及多因子乘积（或商）函数的导数 例例.见见 P53 P53 页例页例4 4，5 5，6 6现在学习的是第26页，共42页首页首页上页上页下页下页两边对x求导数，得解：两边取对数，得 例例 求函数求函数的导数的导数.现在学习的是第27页，共42页（7）抽象函数的求导法则）抽象函数的求导法则现在学习的是第28页，共42页7 7、高阶导数、高阶导数记作记作二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称
9、为三阶导数,(二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数)现在学习的是第29页，共42页求函数的高阶导数要根据求导的阶数的不同而选择不同的方法。求函数的高阶导数要根据求导的阶数的不同而选择不同的方法。1 1当只须求函数的当只须求函数的2 2、3 3、4 4、5 5阶导数时，通常选择先求出函数阶导数时，通常选择先求出函数2 2的一阶导数，再求出函数的二阶导数，这样一阶接一阶求下去，的一阶导数，再求出函数的二阶导数，这样一阶接一阶求下去，3 3直至求出所求阶导数的方法。直至求出所求阶导数的方法。2 2当所求的阶数比较高（超过五、六阶）时，通常先求出函数当所求的阶数比较高（
10、超过五、六阶）时，通常先求出函数3 3的一至四或五阶导函数从中寻找出高阶导函数表达式规律，的一至四或五阶导函数从中寻找出高阶导函数表达式规律，4 4再应用数学归纳法求出函数的高阶导。或者利用常见函数的再应用数学归纳法求出函数的高阶导。或者利用常见函数的5 5高阶导公式及高阶导运算法则求出高阶导数高阶导公式及高阶导运算法则求出高阶导数。现在学习的是第30页，共42页例例求求的的n阶导数阶导数.解解 一般地，可得一般地，可得例例解解 求求的的阶导数阶导数.一般地，可得一般地，可得首页首页上页上页下页下页现在学习的是第31页，共42页例例求求的的阶导数阶导数.解解 一般地，可得一般地，可得上页上页下
11、页下页练习：练习：P51 2(1)(4)(5)现在学习的是第32页，共42页8、微分微分(微分的实质微分的实质)（1）微分的定义）微分的定义现在学习的是第33页，共42页（2 2）、导数与微分的关系）、导数与微分的关系定理定理（3 3）、）、微分的求法微分的求法求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.现在学习的是第34页，共42页（4）基本初等函数的微分公式）基本初等函数的微分公式现在学习的是第35页，共42页 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则（5 5）、）、微分的基本法则微分的基本法则 微分形式的不变性微分形式的不变性现在学习的是第3
12、6页，共42页例.求函数的微分现在学习的是第37页，共42页现在学习的是第38页，共42页(2)现在学习的是第39页，共42页现在学习的是第40页，共42页例例.设设求求分析分析 ：是是R R上的可导函数，但由于乘积因子过多，直接上的可导函数，但由于乘积因子过多，直接应用乘积函数求导法则或对数求导法则很麻烦。此时可试用应用乘积函数求导法则或对数求导法则很麻烦。此时可试用导数定义。导数定义。解：方法一解：方法一 方法二方法二 分析函数的表达式特点及求导点为分析函数的表达式特点及求导点为 令令 ,其中其中 则则故故现在学习的是第41页，共42页感感谢谢大大家家观观看看现在学习的是第42页，共42页