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1、第一章 仿射几何第1页，本讲稿共32页1.1平行射影与仿射对应一一.两直线间的平行射影与仿射对应ABCD1.平行射影或透视仿射：若直线且 ,，,点A,B,C,D,过点A,B,C,D作直线的平行线交于，则可得直线到直线的一个映射。称为平行射影或透视仿射，记为 T第2页，本讲稿共32页ABCD原象点：A,B,C,D 直线a上的点平行射影的方向：直线透视仿射与方向有关，方向变了，则得到另外的透视仿射O点 O 为自对应点(同一平面上两相交直线的公共点)映象点：直线上的点记透视仿射T：第3页，本讲稿共32页2.仿射（或仿射变换）：仿射是透视仿射链或平行射影链 表示透视仿射链，T表示仿射（如图）第4页，本
2、讲稿共32页仿此，每一个对应点都可以这样表示。注：1.仿射是有限回的平行射影组成的2.判断仿射是否是透视仿射的方法：对应点的联线是否平行3.书写的顺序与平行射影的顺序是相反的二二.两平面的平行射影与仿射对应：1.平行射影：如图点A,B,C共线a，则 共线gABCal两相交平面的交线为自对应点的集合即对应轴第5页，本讲稿共32页平面到平面的仿射是有限回平行射影的积组成的，是透 视 仿射链性质：1.透视仿射保留同素性.（几何元素保留同一种类而不改变）即点对应点，直线对应为直线.2.保留点与直线的结合性2仿射：第6页，本讲稿共32页1.2仿射不变性与不变量定义1 仿射不变性与不变量仿射不变性与不变量
3、：经过一切透视仿射不变的性质和数量仿射图形仿射图形：经过任何仿射对应不改变的图形.仿射性仿射性：经过任何仿射对应不改变的性质.仿射量仿射量：经过任何仿射对应不改变的数量.定理1：两直线间的平行性是仿射不变性.（反证法）推论平行四边形是仿射不变的图形.定义2简比：设A,B,C为共线三点，这三点的简比（ABC）定义为以下有向线段的比：当点 C 在线段 AB 上时，(ABC)0第7页，本讲稿共32页当点 C 在线段 AB或 BA的延长线上时，当点 C 与点A重合时，当点 C 与点B重合时，当点 C 为线段 AB的中点时，(ABC)=-1则点C称为分点，A,B 两点称为基点简比(ABC)等于点C分割线
4、段AB的分割比的相反数例1经过点A(-3,2)和B(6,1)两点直线被直线x+3y-6=0截于P点，求简比（ABP）解解:设(ABC)0(ABC)=0(ABC)不存在第8页，本讲稿共32页定理2共线三点的简比是仿射不变量.定理3两平行线段之比是仿射不变量.点P在直线x+3y-6=0上.ABC=要证:第9页，本讲稿共32页ABCDE证明:如图,作DE AC,=简比是仿射不变量 定理4一直线上两线段之比是仿射不变量.定理5在透视仿射下，任何一对对应点到对应轴的距离之比是一个常数第10页，本讲稿共32页gABC证明:设T为 到 的一个透视仿射,如图并且则=若AB g,=g,则显然成立.若AB g,=
5、g,=过A,B,分别引轴g的垂线垂足分别为由相似三角形得:第11页，本讲稿共32页定理2任意两个三角形面积之比是仿射不变量.证明:分两种情形特殊情形:有两对对应点在对应轴g上并且重合.如图ABCg一般情形:如图第12页，本讲稿共32页对应三角形的三对对应顶点都不在对应轴上,ABC与对应,三对对应边相交于对应轴g上.ABCgXYZ由 的证明可得:第13页，本讲稿共32页推论1在仿射变换下，任何一对对应多边形面积之比是仿射不变量推论2在仿射变换下，任何两条封闭凸曲线所围成的面积之比是仿射不变量第14页，本讲稿共32页1.3平面内的仿射变换及其决定一.平面内的透视仿射设 为平面 到平面 的透视仿射，
6、射影方向为 .设 为平面 到平面 的透视仿射，射影方向为 .则gAB设T将将 上的点上的点 A变换为其本身上的点变换为其本身上的点T将将 上的点上的点 B变换为其本身上的点变换为其本身上的点a第15页，本讲稿共32页T将将 上的点上的点 变换为变换为 上的点上的点,将将 上的直线上的直线 a 变换为变换为 上上的直线的直线 ,即即 T 保留同素性和接合性保留同素性和接合性.T将将 上的相交直线上的相交直线 a,b 变换为变换为 上的相交直线上的相交直线 .T将将 上的平行直线上的平行直线 变换为变换为 上的平行直线上的平行直线 .和和 的交线的交线g上的每一点经过上的每一点经过T不变，且不变，
7、且T具有仿射不变性具有仿射不变性与不变量，称与不变量，称T为平面为平面 到自身的透视仿射到自身的透视仿射定理1平面内的透视仿射由一对对应轴与一对对应点完全决定证明证明:设已知对应轴g与不在其上的一对对应点 为平面上任一已知点第16页，本讲稿共32页定理2给定平面内的两个三角形，至多利用三回透视仿射可使一个三角形变为另一个三角形BAXg 连直线AB,设与对应轴g相交于X,连X与 ,则AX与 是一对对应直线过B引 的平行直线,与B对应的点 就只能是这直线与 的交点.是唯一确定的.BAgAB=ggoABC第17页，本讲稿共32页证明:把ABC平移到 使顶点A落在 上,把平移看作透视仿射的特例.记为A
8、BC对应轴不存在,对应边互相平行再以直线 为透视轴,以作为一对对应点确定一个透视仿射 .最后以 为对应轴,以 作为一对对应点确定一个透视仿射 T为仿射变换第18页，本讲稿共32页定理3原象点不共线，映象点也不共线的三对对应点决定唯一的仿射变换.若两三角形有一对顶点重合,则利用两回透视仿射就够了.若两三角形有两对顶点重合,则利用一回透视仿射就够了.仿射等价图形:经过仿射变换可以互相转换的图形.任意三角形是仿射等价的.证明:存在性:设 是平面内不共线的任意三点.也是不共线的任意三点.存在一个仿射变换T使在平面内任意取一点P,设 交 于Q.由定理2知.第19页，本讲稿共32页QP唯一性:设存在另一个
9、仿射 ,在平面内任意取一点P,设于Q为仿射.保持接合性且简比不变都在直线 上.且有:第20页，本讲稿共32页对于平面上任意一点P,都有作业作业:第21页，本讲稿共32页1.4仿射变换的代数表示设有一正交笛卡儿坐标系xoy，以E为单位点（如图）。一个仿射变换T将平面上一点P变换为一点 ，求 P的坐标（x,y）和 的坐标 之间的关系。仿射变换T由三对对应点唯一确定.设 的坐标为X轴上的单位点 的映象 的坐标为 y轴上的单位点 的映象 的坐标为 设 P在坐标轴上 的正射影，且 ，则T将平行四边形 及 分别变换为平行四边形 及 .由于T保留简比.则第22页，本讲稿共32页xyOP(x,y)第23页，本
10、讲稿共32页或者写为且因为 三点不共线，三点不共线所以行列式不为O(1)(2)第24页，本讲稿共32页定义1把笛氏坐标系在仿射对应下的象叫仿射坐标系，叫点 的仿射坐标，记为对于斜交笛氏坐标系，仿射坐标系，上面的代数式（1），（2）都成立。例1 求使点（0，0），（1，1），（1，-1）分别变为点（2，3）,（2，5），（3，-7）的仿射变换。将点解解:分别代入仿射变换的代数表示式得:第25页，本讲稿共32页仿射变换式为:例2 求仿射变换 的不变直线。解解:设所求的不变直线为:ax+by+c=0第26页，本讲稿共32页第27页，本讲稿共32页仿射变换的特例:(3)(4)第28页，本讲稿共32页当a=1时,(4)式是恒同变换.(1,-2)(1,2)1第29页，本讲稿共32页求使直线x=0,y=0,x+2y-1=0分别变为直线x+y=0,x-y=0,x+2y-1=0的仿射变换.练习练习:解:设所求的仿射变换为则有:第30页，本讲稿共32页由以上(1),(2),(3)联立解得第31页，本讲稿共32页作业：15、16第32页，本讲稿共32页