化学计量学的相关基础讲稿.ppt

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1、化学计量学的相关基础第一页，讲稿共七十二页哦第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-2 数学数学：化学计量学的理论基础化学计量学的理论基础 数学将实际问题中的背景省略，抽提其在数字数学将实际问题中的背景省略，抽提其在数字或几何方面的共性特点进行研究。或几何方面的共性特点进行研究。抽象数学十分实用：很多学科中的研究对象抽象数学十分实用：很多学科中的研究对象可以用可以用向量向量、矩阵矩阵表示。表示。利用数学中抽象符号及其相关理论可以建立描利用数学中抽象符号及其相关理论可以建立描述研究对象的述研究对象的数学模型数学模型，从而进一步发现其内，从而进一步发现其内在规律。在规律。第二页，讲稿共七十二

2、页哦数学对化学家有用吗？数据的挖掘数据的挖掘数据的处理数据的处理从测试数据提取化学信息从测试数据提取化学信息 信息技术的革命信息技术的革命计算机的发展与应用计算机的发展与应用 第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-3第三页，讲稿共七十二页哦2-1 数学基础回顾-线性代数部分线性代数部分化学中的数据类型第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-4单变量数据：单变量数据：一次测量得到一个值（如：温度、压力、单波长的吸一次测量得到一个值（如：温度、压力、单波长的吸光度等）；光度等）；多变量数据：多变量数据：分析仪器的高性能化，使得一次测量可以获得多变量、分析仪器的高性能化，使得一次测量可

3、以获得多变量、多通道的数据（如：多通道的数据（如：UV-VisL吸收光谱、吸收光谱、IR、NIR、荧光光谱、荧光光谱、GC、LC、MS、NMR及联用仪器等）；及联用仪器等）；第四页，讲稿共七十二页哦 分析化学中的矢量任何一个光谱、色任何一个光谱、色谱等谱图可以用一谱等谱图可以用一个向量表达；个向量表达；一组描述研究对象一组描述研究对象的变量也可用一个的变量也可用一个向量表达向量表达第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-5第五页，讲稿共七十二页哦第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-6第六页，讲稿共七十二页哦联用仪器HPLC-DAD,GC-MS,GC-IR,HPLC-MS 二维数

4、据既含有色谱二维数据既含有色谱信息又含有光谱信息信息又含有光谱信息 数据矩阵大于数据矩阵大于10兆兆 大量化合物数据库大量化合物数据库第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-7第七页，讲稿共七十二页哦根据根据Lambert-Beer定律做出的定律做出的两个不同化合物两个不同化合物a与与b的混合物光谱的混合物光谱第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-8第八页，讲稿共七十二页哦向量加法的几何意义第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-9第九页，讲稿共七十二页哦向量减法的几何意义第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-10第十页，讲稿共七十二页哦向量的方向与长度 向向量量的

5、的方方向向：由构成向量的所有元素所决定，因为任意两元素间的不同比率会确定向量在线性子空间中的方向;向向量量的的长长度度：由构成向量的所有元素的平方和所决定：第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-11第十一页，讲稿共七十二页哦向量分量之间的不同比例决定了向量在线性子空间中的方向第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-12第十二页，讲稿共七十二页哦两向量间的减法决定了n维空间中两点间的距离第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-13第十三页，讲稿共七十二页哦向量的数乘第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-14第十四页，讲稿共七十二页哦 向量的数乘向量的数乘相当于不同浓度

6、的光谱第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-15向量的数乘满足结合律、分配律向量的数乘满足结合律、分配律第十五页，讲稿共七十二页哦向量的内积与外积第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-16向量间的内积内积或点积点积生成一个数第十六页，讲稿共七十二页哦两向量间内积的几何意义第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-17第十七页，讲稿共七十二页哦 两两向量外积向量外积生成一个生成一个双线性矩阵双线性矩阵第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-18其在多元分辨中有重要的意义其在多元分辨中有重要的意义第十八页，讲稿共七十二页哦矩阵代数相关概念简介矩阵代数相关概念简介1、矩阵的

7、相等、矩阵的相等：矩阵：矩阵A和和B相等，当且仅当对于所相等，当且仅当对于所有有i和和j均有均有Aij=Bij时才成立！时才成立！2、矩阵的加减矩阵的加减：只有相同维数的矩阵才可以加减：只有相同维数的矩阵才可以加减 Aij BijCij第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-193、矩阵乘法矩阵乘法：矩阵：矩阵A、B，仅当，仅当A的列数等于的列数等于B的行数是，才可以相乘：的行数是，才可以相乘：CAB第十九页，讲稿共七十二页哦第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-20第二十页，讲稿共七十二页哦4、矩阵矩阵“除法除法”：只能通过一个逆过程来完成，：只能通过一个逆过程来完成，凡是矩阵

8、凡是矩阵A具有非零行列式：具有非零行列式：det(A)0（称非奇（称非奇异矩阵），而且仅对于这种矩阵，才能按照下列异矩阵），而且仅对于这种矩阵，才能按照下列等式定义其逆矩阵等式定义其逆矩阵A-1:AA-1=A-1A=E第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-21A、B不对易不对易第二十一页，讲稿共七十二页哦第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-22 或或：如果两个方阵如果两个方阵A、B满足满足AB=E，则称，则称B矩阵是矩阵是A矩阵的逆矩阵，计为矩阵的逆矩阵，计为B=A-1;如果矩阵如果矩阵A的逆矩阵的逆矩阵A-1存在，则称存在，则称A是非奇异矩阵是非奇异矩阵（或满秩矩阵）！否则

9、成为（或满秩矩阵）！否则成为奇异矩阵奇异矩阵！第二十二页，讲稿共七十二页哦第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-235、零矩阵和单位矩阵：、零矩阵和单位矩阵：全部元素为全部元素为0 0的矩阵为的矩阵为零矩阵零矩阵，计作：，计作：0对对n阶方阵，对角元均为阶方阵，对角元均为1、非对角元均为、非对角元均为0称称单位矩阵单位矩阵；计作：；计作：E6、矩阵的转置：、矩阵的转置：将矩阵行与列互换称为矩阵的转置，转置矩阵有如下性质：将矩阵行与列互换称为矩阵的转置，转置矩阵有如下性质：第二十三页，讲稿共七十二页哦第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-247、矩阵的行列式、矩阵的行列式：方阵的

10、行列式是一个实数，计为方阵的行列式是一个实数，计为detA：其中：其中：Akj是是(n-1)(n-1)阶矩阵，是划去第阶矩阵，是划去第k行和第行和第j列所得的列所得的A的子阵。的子阵。第二十四页，讲稿共七十二页哦第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-258、正交矩阵、正交矩阵：如果一个方阵如果一个方阵A满足：满足：AtA=E；称；称A为为正交矩阵正交矩阵。显然：。显然：At=A-1；9、方阵的迹方阵的迹：定义为矩阵：定义为矩阵A主对角线上元素的和，计为主对角线上元素的和，计为trA；第二十五页，讲稿共七十二页哦第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-2610、方阵的秩方阵的秩：第

11、二十六页，讲稿共七十二页哦第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-27 方阵方阵秩秩的化学意义的化学意义 联用色谱法测量样本，获得一个数据矩阵：矩阵中每行就联用色谱法测量样本，获得一个数据矩阵：矩阵中每行就是一个在某保留时间点上的光谱（是一个在某保留时间点上的光谱（MS,NMR）；每一列就是）；每一列就是一个在某一波长（或质荷比等）上的色谱。如果没有量测噪声，一个在某一波长（或质荷比等）上的色谱。如果没有量测噪声，且每个不同化学物质都具有不同的光谱或色谱，则且每个不同化学物质都具有不同的光谱或色谱，则矩阵的秩就矩阵的秩就是体系的组分数是体系的组分数！如果化合物测量体系没有化学反应发生（即

12、各物质相互如果化合物测量体系没有化学反应发生（即各物质相互独立），这是与矩阵秩的意义相同！独立），这是与矩阵秩的意义相同！第二十七页，讲稿共七十二页哦中药肉桂的一部分二维数据中药肉桂的一部分二维数据第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-28第二十八页，讲稿共七十二页哦 Lambert-Beer Law的矩阵表达的矩阵表达 单组分在某单组分在某 下的下的Lambert-Beer定律定律:A bC p个混合物构成的体系在个混合物构成的体系在 j处的吸光度处的吸光度Aj第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-29第二十九页，讲稿共七十二页哦在分析化学中经常遇到多组分含量确定的问题在分析

13、化学中经常遇到多组分含量确定的问题 在分光光度法中，各组分在同样的显色条件下于同一显色剂生在分光光度法中，各组分在同样的显色条件下于同一显色剂生成有色物，但是各组分特征吸收峰常出现干扰情况。如果试验符成有色物，但是各组分特征吸收峰常出现干扰情况。如果试验符合以下两个条件：比尔定律：合以下两个条件：比尔定律：A=kbc；吸光度具有加和性吸光度具有加和性 Ai=Ai1+Ai2+Ain如：现有一样品含有：现有一样品含有Mo,Ti,V三种组分，显色后在三种组分，显色后在400、540、610nm处进行了吸光度测定，并对以上三组分的独立标准溶液处进行了吸光度测定，并对以上三组分的独立标准溶液进行了同样显

14、色条件的测定，数据如下，求进行了同样显色条件的测定，数据如下，求Mo,Ti,V三种组分三种组分的含量的含量,第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-30 nmMoTiV样品样品14000.4160.1300.0000.24825400.0480.6080.1480.85736100.0020.4100.2000.718第三十页，讲稿共七十二页哦 p个混合物构成的体系在个混合物构成的体系在n个波长处的吸光度可个波长处的吸光度可用一行向量表示：用一行向量表示：第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-31第三十一页，讲稿共七十二页哦 p个混合物构成的个混合物构成的m个样本在波长个样本在波

15、长j处的吸光度可处的吸光度可用一列向量表示：用一列向量表示：第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 32第三十二页，讲稿共七十二页哦p个混合物构成的个混合物构成的m个样本在个样本在n个波长处的吸光度个波长处的吸光度可用一矩阵表示：可用一矩阵表示：第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-33第三十三页，讲稿共七十二页哦 可见，矩阵的应用之一就是可用简洁形式表示线可见，矩阵的应用之一就是可用简洁形式表示线性方程组，例如：性方程组，例如：第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-34可写成：可写成：或或第三十四页，讲稿共七十二页哦上三角阵与下三角阵上三角矩阵上三角矩阵 下三角矩阵下三角矩

16、阵对角矩阵对角矩阵 恒等矩阵恒等矩阵第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-35第三十五页，讲稿共七十二页哦逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质（1）若）若A可逆，则可逆，则A-1亦可逆，且（亦可逆，且（A-1)-1=A 第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-36证明证明第三十六页，讲稿共七十二页哦证明证明第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-37第三十七页，讲稿共七十二页哦第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-38第三十八页，讲稿共七十二页哦(6)若若A是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则A的逆矩阵是的逆矩阵是唯一唯一的的.若设若设 和和 是是 的逆矩阵，的逆矩阵，则有则有

17、可得可得所以所以 的逆矩阵是唯一的，即的逆矩阵是唯一的，即第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-39第三十九页，讲稿共七十二页哦证明证明若若 可逆，可逆，定理定理1 1 矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 ，且，且 第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-40对任意对任意n 阶矩阵阶矩阵A，称，称A*为为A 的的伴随矩阵伴随矩阵，其中，其中，Aij 是是A 中元素中元素aij的的代数余子式代数余子式。第四十页，讲稿共七十二页哦第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-41第四十一页，讲稿共七十二页哦按逆矩阵的定义得按逆矩阵的定义得证毕证毕.1AA*A1 1-=第2讲

18、第2章 化学计量学的相关基础知识 2-42第四十二页，讲稿共七十二页哦逆矩阵的求解逆矩阵的求解第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-43 定义定义 对于对于 阶矩阵阶矩阵 ，如果有一个，如果有一个 阶矩阵阶矩阵 则说矩阵则说矩阵 是是可逆的可逆的，并把矩阵，并把矩阵 称为称为 的的逆矩阵逆矩阵.,使得使得例例 设设:第四十三页，讲稿共七十二页哦例例1 1 设设解解设设 是是 的逆矩阵的逆矩阵,则则利用待定系数法利用待定系数法第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-441、利用待定系数法、利用待定系数法第四十四页，讲稿共七十二页哦又因为又因为所以所以第2讲 第2章 化学计量学的相关

19、基础知识 2-45第四十五页，讲稿共七十二页哦例例2 2 求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵.解解三、逆矩阵的求法第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-462 2、逆矩阵充要条件法：、逆矩阵充要条件法：第四十六页，讲稿共七十二页哦故故第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-47第四十七页，讲稿共七十二页哦解解例例3 3第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-48 a2i-a1i 2a3i-a1i第四十八页，讲稿共七十二页哦第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-49A21=3;A22=0;A23=-1;A31=1;A32=4;A33=-3;第四十九页，讲稿共七十二页哦第2

20、讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-50第五十页，讲稿共七十二页哦例例4 4 设设解解第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-51第五十一页，讲稿共七十二页哦于是于是第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-52第五十二页，讲稿共七十二页哦第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-53例例5 5第五十三页，讲稿共七十二页哦解解给方程两端左乘矩阵给方程两端左乘矩阵第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-54第五十四页，讲稿共七十二页哦给方程两端右乘矩阵给方程两端右乘矩阵得得第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-55第五十五页，讲稿共七十二页哦给方程两端左、右乘相

21、应逆矩阵给方程两端左、右乘相应逆矩阵第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-56得得第五十六页，讲稿共七十二页哦解解 例例6 6,1AA*A1-=第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-57第五十七页，讲稿共七十二页哦第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-58第五十八页，讲稿共七十二页哦四、小结3、初等变换法、初等变换法矩阵的初等变换矩阵的初等变换（1）互换矩阵的两行，常用互换矩阵的两行，常用rirj表示第表示第i行与第行与第j行行互换。互换。（2）用一个非零数乘矩阵的某一行，常用用一个非零数乘矩阵的某一行，常用k ri 表示用数表示用数k乘矩阵的某乘矩阵的某i 行。行。（

22、3）将矩阵的某一行乘以数将矩阵的某一行乘以数k后，加到另一行，常用后，加到另一行，常用rjk ri 表示第表示第i行的行的k倍加到第倍加到第j行。行。这样的过程称为这样的过程称为矩阵的初等矩阵的初等行行变换！变换！（4）将定义中的将定义中的“行行r”换成换成“列列c”，即得到矩阵的，即得到矩阵的列列变换。变换。矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换法！矩阵的初等变换法！第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-59互换；表示用数k乘以第i行；第五十九页，讲稿共七十二页哦在给定的在给定的n阶方阵的右边放一个阶方阵的右边放一个n阶单位矩阵阶单位矩阵E

23、形成形成初等行变换求逆矩阵初等行变换求逆矩阵一个一个n2n的矩阵的矩阵，然后对矩阵，然后对矩阵 实施初等行变换，直到将原矩阵实施初等行变换，直到将原矩阵A所在部分变成单位矩阵所在部分变成单位矩阵E，原单位矩阵部分经同样的，原单位矩阵部分经同样的初等变换后，所得初等变换后，所得到的矩阵就是到的矩阵就是A的逆矩阵的逆矩阵，即，即 第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-60第六十页，讲稿共七十二页哦例例7 我国某地方为避开高峰期用电，实行分时段计费，鼓励夜间用电。某地白天我国某地方为避开高峰期用电，实行分时段计费，鼓励夜间用电。某地白天(AM8:00PM11:00)与夜间与夜间(PM11:0

24、0AM8:00)的电费标准为的电费标准为P，若某宿舍两户人某月的用，若某宿舍两户人某月的用电情况如下：电情况如下：白天 夜间 一二 第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-61所交电费所交电费F=(90.29 101.41)，问如何用矩阵的运算表示当地的电费？，问如何用矩阵的运算表示当地的电费？第六十一页，讲稿共七十二页哦可以得到当地的电费标准为可以得到当地的电费标准为 下面用初等变换求下面用初等变换求 解 令，因为 等式两边同时左乘以矩阵等式两边同时左乘以矩阵 第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-62第六十二页，讲稿共七十二页哦即即 第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识

25、2-63第六十三页，讲稿共七十二页哦所以所以 即白天的电费标准为即白天的电费标准为0.462元元/度，度，夜间电费标准为夜间电费标准为0.2323元元/度度.第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-64第六十四页，讲稿共七十二页哦例例8、转动矩阵转动矩阵 机器人手臂的转动常用矩阵表机器人手臂的转动常用矩阵表示，其中的元素为转动角的三角函数值，求下面示，其中的元素为转动角的三角函数值，求下面转动矩阵转动矩阵R的逆阵。的逆阵。第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-65【解解】因为因为第六十五页，讲稿共七十二页哦所以所以第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-66第六十六页，讲稿

26、共七十二页哦 矩阵的本征值方程矩阵的本征值方程 设设 A 是是n阶方阵，如果存在数阶方阵，如果存在数 和非零和非零n维维列向量列向量X，使得，使得 AX=X 成立，则称成立，则称 是是A的一的一个特征值个特征值(characteristic value)或或本征值本征值(eigenvalue)。非零非零n维列向量维列向量X称为称为矩阵矩阵A的属于（对应的属于（对应于）特征值于）特征值 的特征向量或的特征向量或本征向量本征向量，简称，简称A的特征向量或的特征向量或A的本征向量。的本征向量。第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-67第六十七页，讲稿共七十二页哦求矩阵特征值的方法求矩阵特征值

27、的方法 AX=X，等价于求，等价于求 ，使得，使得(A-E)X=0，其，其中中E是单位矩阵，是单位矩阵，0为零矩阵。为零矩阵。|E-A|=0，求得的，求得的 值即为值即为A的特征值。的特征值。|A-E|是一个是一个n次多项式，它的全部根就是次多项式，它的全部根就是n阶方阵阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数有可能是复数(A-iE)xi=0i=1,2,n第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-68第六十八页，讲稿共七十二页哦 如果如果n阶矩阵阶矩阵A的全部特征值为的全部特征值为 1 2.n，则，则|A|=1 2 .n 对矩阵对矩阵A的

28、本征方程的本征方程:(A-iE)Xi=0 有如下定理有如下定理定理定理1：如果：如果A是是厄米矩阵厄米矩阵(A=A*)，一定是实数！一定是实数！定理定理2：不同本征值对应于不同的本征向量，而不同：不同本征值对应于不同的本征向量，而不同本征值对应的本征向量本征值对应的本征向量正交归一正交归一！例例9、求解下列方程的求解下列方程的本征值本征值及其及其归一化本征向量归一化本征向量。（1）（2）第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-69第六十九页，讲稿共七十二页哦【解解】第一步第一步：依据本征方程依据本征方程(A-E)X=0，求解出求解出。第二步第二步：将：将 依次代入依次代入本征方程本征方程

29、(A-E)X=0，求解本征向求解本征向量量；第三步第三步：使各本征向量归一化！：使各本征向量归一化！对对第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-70第一步：欲使第一步：欲使(A-E)X=0，则，则det(A-E)=0从而有：从而有：2-12+270;解得：解得：1=3;2=9;第二步：第二步：将将 1=3代入方程代入方程第七十页，讲稿共七十二页哦第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-71得到：得到：解得：解得：将将 2=9代入代入：解得：解得：于是有：于是有：第七十一页，讲稿共七十二页哦对方程：对方程：第2讲 第2章 化学计量学的相关基础知识 2-72第一步：欲使第一步：欲使(A-E)X=0，则，则det(A-E)=0从而有：从而有：(1-)(2-2 cos +1)=0;解得：解得：1=1;2=cos +i sin ;3=cos -i sin ;第二步：第二步：将将 1=1代入：代入：第七十二页，讲稿共七十二页哦