分子动力学理论讲稿.ppt

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1、分子动力学理论第一页，讲稿共九十页哦 几个要用的积分公式几个要用的积分公式高斯积分第二页，讲稿共九十页哦32.1 2.1 分子动理学理论与统计物理学分子动理学理论与统计物理学分子分子动动理学理理学理论论方法的主要特点主要特点是，它考虑到分子与分子间、分子与器壁间频繁的碰撞，考虑到分子间有相互作用力，利用力学定律和概率论来讨论分子运动及分子碰撞的详情。它的最终及最高目标是描述气体由非平衡态转入平衡态的过程。统计统计物理学物理学是从对物质微观结构和相互作用的认识出发，采用概率统计的方法来说明或预言由大量粒子组成的宏观物体的物理性质。第三页，讲稿共九十页哦42.2 2.2 概率论的基本知识概率论的基

2、本知识一、伽一、伽尔尔顿顿板板实验实验.对对于由大量分子于由大量分子组组成的成的热热力学系力学系统统从微从微观观上加以研究上加以研究时时，必，必须须用用统计统计的方法的方法.小球在伽小球在伽尔尔顿顿板中的分板中的分布布规规律律.第四页，讲稿共九十页哦5二、等概率性与概率的基本性二、等概率性与概率的基本性质质1、概率的定、概率的定义义2、等概率性、等概率性等概率性等概率性-在没有理由说明哪一事件出现的概率都应相等。随机事件：若某一事件或现象可能发生也可能不发生。随机事件：若某一事件或现象可能发生也可能不发生。随机事件：若某一事件或现象可能发生也可能不发生。随机事件：若某一事件或现象可能发生也可能

3、不发生。概率：在总次数趋于无限大时，某事件出现次数对总次数的比率。概率：在总次数趋于无限大时，某事件出现次数对总次数的比率。概率：在总次数趋于无限大时，某事件出现次数对总次数的比率。概率：在总次数趋于无限大时，某事件出现次数对总次数的比率。离散变量xi连续变量x,x-x+dx区间分布函数分布函数 f(x):x f(x):x处的概率密度（处的概率密度（x x附近的单位区间内的附近的单位区间内的概率）概率）不可能事件的概率为零。不可能事件的概率为零。不可能事件的概率为零。不可能事件的概率为零。必然事件的概率为一。必然事件的概率为一。必然事件的概率为一。必然事件的概率为一。第五页，讲稿共九十页哦3、

4、概率的基本性质、概率的基本性质(1)、n个互相排斥事件发生的总概率是每个事件发生概率之和，简称概率相加法则。概率相加法则。(2)、相互统计独立的事件同时或依次发生的发生的概率等于各个事件概率之乘积，简称概率相乘法则概率相乘法则。第六页，讲稿共九十页哦7三、平均三、平均值值及其运算法及其运算法则则连续变量x离散变量xi第七页，讲稿共九十页哦四、四、均方偏差均方偏差 相对均方根偏差 表示了随机变量在平均值附近分散开分布的程度，也称为涨落、散度或散差。称为涨落、散度或散差。第八页，讲稿共九十页哦9五、五、概率分布函数概率分布函数分布曲线分布曲线飞镖飞镖分布函数分布函数 f(x):x f(x):x处的

5、概率密度（处的概率密度（x x附近的单附近的单位区间内的位区间内的概率）概率）f(x)第九页，讲稿共九十页哦10少数分子无规律性大量分子的统计分布第十页，讲稿共九十页哦麦克斯韦（麦克斯韦（James Clerk Maxwell 18311879)19世纪伟大的英国世纪伟大的英国物理学家、数学家。物理学家、数学家。经典电磁理论的奠经典电磁理论的奠基人，气体动理论基人，气体动理论的创始人之一。的创始人之一。他提出了有旋电场和位移电流概念，建立了他提出了有旋电场和位移电流概念，建立了经典电磁理论，预言了以光速传播的电磁波经典电磁理论，预言了以光速传播的电磁波的存在。的存在。1873年，他的电磁学通论

6、问世，这年，他的电磁学通论问世，这是一本划时代巨著，它与牛顿时代的自是一本划时代巨著，它与牛顿时代的自然哲学的数学原理并驾齐驱，它是人类然哲学的数学原理并驾齐驱，它是人类探索电磁规律的一个里程碑。探索电磁规律的一个里程碑。在气体动理论方面，在气体动理论方面，1859年提出气体分年提出气体分子按速率分布的统计规律。子按速率分布的统计规律。第十一页，讲稿共九十页哦速度取向的概率问题。速度是矢量，必须解决有关大小取值的概率问题。速度取向的概率问题。速度是矢量，必须解决有关大小取值的概率问题。首先我们容易想到这样两个事实：首先我们容易想到这样两个事实：1 1。由于分子受到频繁的碰撞，每个分子。由于分子

7、受到频繁的碰撞，每个分子热运动的速率是变化的，说某一分子具有多大的运动速率没有意义，所以热运动的速率是变化的，说某一分子具有多大的运动速率没有意义，所以只能估计在某个速率间隔内出现的概率；只能估计在某个速率间隔内出现的概率；2 2。哪怕是相同的速率间隔，例如。哪怕是相同的速率间隔，例如都是都是100100msms-1-1，但是不同的速率附近，其概率是不等的，例如，但是不同的速率附近，其概率是不等的，例如，100-200100-200 msms-1-1和和500-600500-600 ms ms-1-1有相同的速率间隔，但第一个间隔总的来说速有相同的速率间隔，但第一个间隔总的来说速率较低，第二个

8、间隔总的来说速率较大，其概率是不等的。比如，率较低，第二个间隔总的来说速率较大，其概率是不等的。比如，速率接近为速率接近为0 0的可能性很小，速率非常大的可能性也很小，而居中的可能性很小，速率非常大的可能性也很小，而居中速率的可能性则较大。根据这个两个事实，我们自然要问，在不速率的可能性则较大。根据这个两个事实，我们自然要问，在不同速率间隔取值的概率有没有规律？肯定是有的，这个规律能用同速率间隔取值的概率有没有规律？肯定是有的，这个规律能用一个函数定量表示出来。为此，我们引入速率分布函数来描述分一个函数定量表示出来。为此，我们引入速率分布函数来描述分子热运动在不同速率间隔取值的概率规律。子热运

9、动在不同速率间隔取值的概率规律。第十二页，讲稿共九十页哦132.3 2.3 麦克斯韦速率分布麦克斯韦速率分布一、分子射线束实验一、分子射线束实验实验装置实验装置 金属蒸汽金属蒸汽 显显示示屏屏 狭缝狭缝 接抽气泵接抽气泵第十三页，讲稿共九十页哦第十四页，讲稿共九十页哦麦克斯韦速率分布函数m分子的质量分子的质量T热力学温度热力学温度k玻耳兹曼常量玻耳兹曼常量vPv v+dvv面积=dN/Nf(v)f(vP)曲线下面宽度为曲线下面宽度为 dv 的的小窄条面积等于分布小窄条面积等于分布在此速率区间内的分在此速率区间内的分子数占总分子数的概子数占总分子数的概率率dN/N。二、麦克斯韦速率分布二、麦克斯

10、韦速率分布第十五页，讲稿共九十页哦麦克斯韦麦克斯韦速率速率分布曲线分布曲线在在f(v)v整个曲线下的面积为整个曲线下的面积为 1-归一化条件。归一化条件。速率位于速率位于 区区间间的分子数占的分子数占总总数的百分比数的百分比 归一归一化条件化条件 第十六页，讲稿共九十页哦记忆这个公式分三部分：记忆这个公式分三部分：第第一一部部分分：4 4 v v2 2dvdv是是“球球壳壳”的的体体积积，而而“球球壳壳”全全方方位位的的高高度度对对称性正是分子热运动想各个方向几率均等的生动表现；称性正是分子热运动想各个方向几率均等的生动表现；第二部分：第二部分：正是分子热运动速率取值不等几率的表现，值得注意，

11、这个正是分子热运动速率取值不等几率的表现，值得注意，这个指数衰减律的结果没有单位，指数衰减律的结果没有单位，mvmv2 2/2/2是分子热运动的动能，是分子热运动的动能，kTkT既有能量的量纲，所以指数衰减的指数部分是热运动的动能既有能量的量纲，所以指数衰减的指数部分是热运动的动能与体系能量状态特征量之比，对于大的速率，指数衰减的速与体系能量状态特征量之比，对于大的速率，指数衰减的速度比度比v v2 2增加的速度快得多，二者共同影响的结果，分布函数值增加的速度快得多，二者共同影响的结果，分布函数值必然较小。必然较小。第十七页，讲稿共九十页哦第三部分：第三部分：是是归一化因子归一化因子，这里也有

12、一个值得注意的问题，指数衰减部分没有，这里也有一个值得注意的问题，指数衰减部分没有单位，单位，4 4 v v2 2dvdv具有速度立方的单位，分布律只是分子数的比值，也没有具有速度立方的单位，分布律只是分子数的比值，也没有单位，所以归一化因子必须具有速度负立方的单位。单位，所以归一化因子必须具有速度负立方的单位。第十八页，讲稿共九十页哦19 三种统计速率三种统计速率 1 1）最概然速率）最概然速率根据分布函数根据分布函数求得求得 气体在一定温度下分布在最概然速率气体在一定温度下分布在最概然速率 附近单位速附近单位速 率间隔内的相对分子数最多率间隔内的相对分子数最多.物理意义物理意义定义：定义：

13、与与 f(v)极大值相对应的速率。极大值相对应的速率。第十九页，讲稿共九十页哦202 2）平均速率平均速率第二十页，讲稿共九十页哦213 3）均方根速率）均方根速率第二十一页，讲稿共九十页哦三种速率的比较三种速率的比较三种速率的比较三种速率的比较三种速率统计值有不同的应用：三种速率统计值有不同的应用：在讨论速率分布时，要用到最概然速率；在计算分子运动在讨论速率分布时，要用到最概然速率；在计算分子运动的平均距离时，要用到平均速率；在计算分子的平均平动动的平均距离时，要用到平均速率；在计算分子的平均平动动能时，要用到方均根速率。能时，要用到方均根速率。第二十二页，讲稿共九十页哦23 N2 分子在不

14、分子在不同温度下的速率分同温度下的速率分布布 同一温度下不同气同一温度下不同气体的速率分布体的速率分布第二十三页，讲稿共九十页哦课堂练习课堂练习1速率分布函数速率分布函数 的物理意义为：的物理意义为：（）具有速率（）具有速率 的分子占总分子数的百分比的分子占总分子数的百分比 （）速率分布在（）速率分布在 附近的单位速率间隔中的分子数占附近的单位速率间隔中的分子数占总分子数的百分比总分子数的百分比 （）具有速率（）具有速率 的分子数的分子数 （）速率分布在（）速率分布在 附近的单位速率间隔中的分子数附近的单位速率间隔中的分子数（）（）第二十四页，讲稿共九十页哦练习练习2、下列各式的物理意义分别为

15、、下列各式的物理意义分别为:(1)(2)(3)(4)速率在速率在v-v+dv内的分子数占总分子数的百分比内的分子数占总分子数的百分比速率在速率在v-v+dv内的分子数内的分子数速率在速率在v1v2内的分子数占总分子数的百分比内的分子数占总分子数的百分比速率在速率在v1v2内的分子数内的分子数第二十五页，讲稿共九十页哦练习练习3在平衡状态下，已知理想气体分子的麦克斯韦速率在平衡状态下，已知理想气体分子的麦克斯韦速率分布函数为分布函数为 、分子质量为、分子质量为 、最可几速率为、最可几速率为 ，试说，试说明下列各式的物理意义：明下列各式的物理意义：（）（）表示表示_；（）（）表示表示_ 分子平动动

16、能的平均值分子平动动能的平均值 分布在速率区间分布在速率区间 的分子数在总分子数中占的分子数在总分子数中占的百分率的百分率 第二十六页，讲稿共九十页哦练习练习4已知分子总数为已知分子总数为 ，它们的速率分布函数为，它们的速率分布函数为 ，则速率分布在区间，则速率分布在区间 内的分子的平均速率为内的分子的平均速率为（A）（C）（B）（D）（B）第二十七页，讲稿共九十页哦氦气的速率分布曲线如图所示氦气的速率分布曲线如图所示.解解例例1求求(2)氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率O(1)试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况，试在图上画出同温度下氢

17、气的速率分布曲线的大致情况，(2)第二十八页，讲稿共九十页哦有有N 个粒子，其速率分布函数为个粒子，其速率分布函数为(1)作速率分布曲线并求常数作速率分布曲线并求常数 a(2)速率大于速率大于v0 和速率小于和速率小于v0 的粒子数的粒子数解解例例2求求(1)由归一化条件得由归一化条件得O第二十九页，讲稿共九十页哦(2)因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分子与因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分子与总分子数的比率，所以总分子数的比率，所以因此，因此，vv0 的分子数为的分子数为(2N/3)同理同理 v v 0)0 (v vo)1、作速率分布曲线。、作速率分布曲线。2、由、由

18、N和和vo求常数求常数C。3、求粒子的平均速率。、求粒子的平均速率。4、求粒子的方均根速率。、求粒子的方均根速率。Cvovo解：解：第三十四页，讲稿共九十页哦第三十五页，讲稿共九十页哦362.4 2.4 麦克斯韦速度分布麦克斯韦速度分布一、速度空间一、速度空间vx vy vz ovdvx dvy dvz 第三十六页，讲稿共九十页哦37二、麦克斯二、麦克斯韦韦速度分布速度分布麦克斯韦速度分布曲线的特征（偶函数）麦克斯韦速度分布曲线的特征（偶函数）速度分量速度分量v x处于处于v x v xv x的分子的概率的分子的概率第三十七页，讲稿共九十页哦在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以在平衡态下，当

19、气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在速度区间忽略时，分布在速度区间 也就是也就是分布在分布在vxvx+dvx/vyvy+dvy/vzvz+dvz的分子数占的分子数占总分子数的比率为总分子数的比率为:三、从速度分布三、从速度分布导导出速率分布出速率分布第三十八页，讲稿共九十页哦这个区间内的分子，它们的速这个区间内的分子，它们的速度矢量的端点都在一定的体积度矢量的端点都在一定的体积元元ddvxdvydvz内内也就是满足这个条件的速度矢量也就是满足这个条件的速度矢量的端点都落在半径为的端点都落在半径为v，厚度为，厚度为dv的球壳层内。这个球壳层的体的球壳层内。这个球壳层的体积等于其内壁的面积积等于

20、其内壁的面积4v2乘以厚乘以厚度度dv：d 4v2dv第三十九页，讲稿共九十页哦将将ddvxdvydvz代入代入麦克斯韦速率分布分布律麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 且：且：得：得：第四十页，讲稿共九十页哦由由 vp=(2kT/m)1/2，令，令 u=v/vp f(v)dv=4 1/2m/(2kT)3/2 exp mv2/(2kT)v2dv =4 1/2v2vp-3 exp(v2/vp2)dv=4 1/2 u2exp(u2)du 2.4.3 相对于相对于Vp的麦克斯韦速率与速度分布的麦克斯韦速率与速度分布第四十一页，讲稿共九十页哦f(v)dv=F(u)du=4 -1/2 u2exp(-u

21、2)du 但要特别注意但要特别注意:F(u)=4 1/2u2exp(u2)f(u)第四十二页，讲稿共九十页哦f(v)=F(u)du/dv=F(u)/vp第四十三页，讲稿共九十页哦u=v/vp，du/dv=1/vp.f(v)=F(u)du/dv=F(u)/vp=4 1/2u2exp(u2)/vp 第四十四页，讲稿共九十页哦f(vp)=F(1)/vp =4 1/2e 1/vp.即即vp f(vp)=4 1/2e-1 =常量常量.这是一条双曲线的方程。这是一条双曲线的方程。麦克斯韦速率分布曲线出现极大值的麦克斯韦速率分布曲线出现极大值的点的轨迹点的轨迹第四十五页，讲稿共九十页哦由此可得：由此可得：f

22、(vp)=4 1/2e 1vp =常量常量vp 用麦克斯韦速率分布函数的约化形用麦克斯韦速率分布函数的约化形式来求速率分布曲线出现极大值的点的式来求速率分布曲线出现极大值的点的轨迹，似乎更简便。轨迹，似乎更简便。第四十六页，讲稿共九十页哦积分误差函数（error function）21)(2100022222-=-=axaxaaxdxeeaedxdxxe第四十七页，讲稿共九十页哦误差函数（error function）分布在速率区间分布在速率区间 的分子数在总分子数中占的分子数在总分子数中占的百分率的百分率（u=v/vp）第四十八页，讲稿共九十页哦解：由Maxwell速率分布函数的约化形式，速

23、率分量处于0vp分子数所占百分比例 习题 2.4.6,若气体总分子数为，求速率大于vp和2vp的分子数。速率处于vvp分子数：同理速率处于v2vp分子数：43%57%第四十九页，讲稿共九十页哦 麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律 *麦克斯韦速度分布曲线的特征（偶函数）麦克斯韦速度分布曲线的特征（偶函数）第五十页，讲稿共九十页哦例 习题 2.4.,利用Maxwell速度分布，求气体分子速度分量的平均值和平方平均值解：由于麦克斯韦速度分布是偶函数，由于麦克斯韦速度分布是偶函数，在积分时要注意被积函数的在积分时要注意被积函数的奇偶性奇偶性。第五十一页，讲稿共九十页哦第五十二页，讲稿共九十页哦麦克斯

24、韦速度分布函数的约化形式麦克斯韦速度分布函数的约化形式由由Maxwell速度分布函数，速度分量速度分布函数，速度分量v x处于处于v x v xv x的分子的的分子的概率概率速度分量速度分量x处于处于 x x x的分子的概率的分子的概率第五十三页，讲稿共九十页哦由Maxwell速度分布函数，速度分量v x处于02vp的分子的概率例 习题 2.4.5,求Maxwell速度布中分量vx大于2vp量的分子数占总分子数的比率。速度分量处于vx2vp分子的概率第五十四页，讲稿共九十页哦例例.，例，例 2.3第五十五页，讲稿共九十页哦562.5 2.5 气体分子碰撞数及其应用气体分子碰撞数及其应用单位体积

25、内的分子数n,单位面积为dA，求求单单位位时间时间内碰在内碰在单单位面位面积积上的上的总总分子数。分子数。A abcyzx0第五十六页，讲稿共九十页哦Vx0粒子的粒子的x方向速度分量的平均值方向速度分量的平均值dt时间内碰在面积时间内碰在面积dA上的平均分子数上的平均分子数第五十七页，讲稿共九十页哦 对于的各种速度求和对于的各种速度求和vxdtxyzvydtvzdtdAoBvxvyvz0速度分量速度分量v x处于处于v x v xv x的分子数的分子数第五十八页，讲稿共九十页哦59vxdtxyzvydtvzdtdAoB第五十九页，讲稿共九十页哦60三、三、简简并并压压强强四、泻流及其四、泻流及

26、其应应用用扩散法分离核素扩散法分离核素扩散法分离核素扩散法分离核素第六十页，讲稿共九十页哦第六十一页，讲稿共九十页哦解：在dt时间内在面积为A的小孔中流出的分子数为例 习题 2.5.1,N（t）为容器内的分子数，两边除以体积V得：第六十二页，讲稿共九十页哦解：在dt时间内在面积为A的小孔中流出的分子数为例 习题 2.5.3,N（t）为容器内的分子数，两边除以体积V得：第六十三页，讲稿共九十页哦2.6 玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布Maxwell分布分布：气体分子不受外力作用时，E=Ek=mv2/2，空间分布均匀；当气体处于外力场，E=EK+EP，气体分子空间分布不均匀,如何处理？第六十四页，讲稿共九

27、十页哦麦克斯韦速度分布函数麦克斯韦速度分布函数问题：对于更一般的情形，如在外力场中的问题：对于更一般的情形，如在外力场中的气体分子的分布将如何？气体分子的分布将如何？其指数仅包含分子运动动能其指数仅包含分子运动动能分子按速度的分布不受力分子按速度的分布不受力场的影响，按空间位置的场的影响，按空间位置的分布却是不均匀的，依赖分布却是不均匀的，依赖于分子所在力场的性质。于分子所在力场的性质。玻尔兹曼的推广玻尔兹曼的推广用用k+p 代替代替k，用，用x、y、z、vx、vy、vz 为轴构为轴构成的六维空间中的体积元成的六维空间中的体积元 xdydzdvxdvydvz 代替速度代替速度空间的体积元空间的

28、体积元dvxdvydvz 第六十五页，讲稿共九十页哦一、一、玻尔兹曼能量分布律玻尔兹曼能量分布律当系统在力场中处于平衡态时，其中坐标介于区间当系统在力场中处于平衡态时，其中坐标介于区间xx+dx、yy+dy、zz+dz内，内，同时速度介于同时速度介于vxvx+dvx，vyvy+dvy，vzvz+dvz内的分子数为内的分子数为玻尔兹曼分子按玻尔兹曼分子按能量分布律能量分布律n0为在为在p=0处，单位体积内具有各种速度的分子总数。处，单位体积内具有各种速度的分子总数。第六十六页，讲稿共九十页哦对所有可能的速度积分对所有可能的速度积分分子按势能分子按势能分布律分布律单位体积分子数单位体积分子数n第六

29、十七页，讲稿共九十页哦重力场中粒子按高度的分布重力场中粒子按高度的分布(p=mgh)重力场中，一方面是无规则的热运动使气体分重力场中，一方面是无规则的热运动使气体分子均匀分布于它们所能够到达的空间。另一方子均匀分布于它们所能够到达的空间。另一方面是重力要使气体分子聚集到地面上。这两种面是重力要使气体分子聚集到地面上。这两种作用平衡时，气体分子则在空间作非均匀分布，作用平衡时，气体分子则在空间作非均匀分布，即气体分子数密度随高度的增加按指数规律减即气体分子数密度随高度的增加按指数规律减小；小；分子质量越大，受重力的作用越大，分子数分子质量越大，受重力的作用越大，分子数密度减小得越迅速；密度减小得

30、越迅速；对于温度较高的气体，分子的无规则运动对于温度较高的气体，分子的无规则运动剧烈。分子数密度随高度减小比较缓慢。剧烈。分子数密度随高度减小比较缓慢。法国物理学家佩兰据此测法国物理学家佩兰据此测量了玻耳兹曼常数进而得量了玻耳兹曼常数进而得到了阿伏伽德罗常数，于到了阿伏伽德罗常数，于19221922年获得了诺贝尔物理年获得了诺贝尔物理奖。奖。第六十八页，讲稿共九十页哦假设：假设：大气为理想气体大气为理想气体 不同高度处温度相等不同高度处温度相等利用：利用：p=nkT 可得可得:高度升高，大气压强高度升高，大气压强。由气压的变化可粗略估计高度变化。由气压的变化可粗略估计高度变化。近似估计高度近似

31、估计高度二、重力场中等温气压公式二、重力场中等温气压公式第六十九页，讲稿共九十页哦70三、等温大气三、等温大气标标高高定定义义大气大气标标高：高：大气大气标标高高是粒子按高度分布的特征量，它反映了气体分子热运动与分子受重力场作用这一对矛盾。第七十页，讲稿共九十页哦712.7 2.7 能量均分定理能量均分定理一、理想气体的一、理想气体的热热容容热热容：容：C=Cm,C=mcCm为摩尔热容，c为比热（容）理想气体的内能：理想气体的内能：定体摩定体摩尔尔热热容：容：单原子（He、Ne、Ar）理想气体每一个方向的平均平动动能都均分均分 kT/2第七十一页，讲稿共九十页哦自由度自由度分子运动的自由度分子

32、运动的自由度 分子的平动自由度分子的平动自由度 分子的转动自由度分子的转动自由度 分子的振动自由度分子的振动自由度第七十二页，讲稿共九十页哦73二、自由度与自由度数二、自由度与自由度数描述一个物体在空间的位置所需的独立坐标称为该物体的自由度自由度。而决定一个物体在空间的位置所需的独立坐标数称为自由度数自由度数。任一直线形成一组平行线任一直线形成一组平行线1)平动平动 2)转动转动 3)振动振动质点质点第七十三页，讲稿共九十页哦74例例1 自由运自由运动动的的质质点点 (三三维维空空间间)3 个个 平平动动自由度自由度 记记作作 t =3 若受到限制自由度降低若受到限制自由度降低 平面上平面上

33、2个个 平平动动自由度自由度 t=2 直直线线上上 1个个 平平动动自由度自由度 t=1例例2 自由运自由运动动的的刚刚体体(如大家熟悉的手榴如大家熟悉的手榴弹弹)自由度？自由度？首先首先应应明确明确刚刚体的振体的振动动自由度自由度 s=0 按基本运按基本运动动分解：平分解：平动动 +转动转动 整体随某点整体随某点(通常通常选质选质心心)平平动动6个自由度个自由度t+r=3+3=6第七十四页，讲稿共九十页哦75定定质质心位置心位置 需需3 3个个平平动动自由度自由度转轴转轴每一点每一点绕过绕过c 点的点的轴转动轴转动 共有共有 3个个转动转动自由度自由度也可以理解成物体系也可以理解成物体系对对

34、三个三个轴轴的旋的旋转转先定先定转轴转轴2 2个自由度个自由度再定每个再定每个质质量元量元在在垂直垂直轴轴的平面内的平面内绕轴绕轴旋的角度旋的角度1 1个自由度个自由度第七十五页，讲稿共九十页哦76例例3 由由 N 个独立的粒子组成的个独立的粒子组成的 质点系的自由度质点系的自由度(一般性讨论一般性讨论)每个独立的粒子各有每个独立的粒子各有3个自由度个自由度 系统最多有系统最多有3N个自由度个自由度 基本形式基本形式 平动平动 +转动转动 +振动振动 t r s 随某点平动随某点平动 t=3 过该点轴的转动过该点轴的转动 r=3 其余为振动其余为振动 s=3N-6 第七十六页，讲稿共九十页哦4

35、).4).气体分子的自由度气体分子的自由度 将每个原子看作将每个原子看作质质点点,所以分子是所以分子是质质点系点系单原子分子单原子分子双原子分子双原子分子 多原子分子多原子分子单原子分子单原子分子 双原子分子双原子分子 刚性分子：振动自由度为零刚性分子：振动自由度为零非刚性分子：考虑振动非刚性分子：考虑振动多原子分子多原子分子第七十七页，讲稿共九十页哦 三、能量均分定理三、能量均分定理能量按自由度均分定理（简称能量均分定理能量均分定理）-处于温度为T的平衡态的气体中，分子热运动动能平均分配到每一个分子的每一个自由度上，每一个分子的每每一个自由度一个自由度的平均平均动动能能都是kT/2。（振动能

36、量：振动动能+振动势能）每一个分子的每一个分子的总总的平均能量的平均能量为为：刚性双原子分子：刚性双原子分子：第七十八页，讲稿共九十页哦79四、能量均分定理的局限四、能量均分定理的局限 自由度的冻结自由度的冻结1、能量均分定理的局限、能量均分定理的局限2、自由度的、自由度的冻结冻结振动转动平动T/KCV,m/R03/25/27/22510050010005000氢气CV,m-T曲线第七十九页，讲稿共九十页哦 杜隆珀蒂定律：在杜隆珀蒂定律：在温度足够高时，单质晶温度足够高时，单质晶体的摩尔原子热容约等体的摩尔原子热容约等于于 C=3R 25 J mol-1 K-1.第八十页，讲稿共九十页哦晶体晶

37、体 C/(J mol-1 K-1)C 5.65 B 10.5 Si 19.6 Cu 24.7 Zn 25.5 Cd 25.6第八十一页，讲稿共九十页哦晶体晶体 C/(J mol-1 K-1)Al 25.7 Ag 25.7 Pt 26.3 Au 26.6 Fe 26.6 Sn 27.8第八十二页，讲稿共九十页哦 杜隆珀蒂定律在杜隆珀蒂定律在1819年就已经被总结出来的年就已经被总结出来的经验定律，它可以用能经验定律，它可以用能量均分定理从理论上给量均分定理从理论上给予解释。予解释。第八十三页，讲稿共九十页哦本章内容要点第八十四页，讲稿共九十页哦1 概率概率分布函数分布函数 f(x):x f(x)

38、:x处的概率密度处的概率密度 （x x附近的单位区间内的附近的单位区间内的概率）概率）离散变量xi连续变量x,x-x+dx区间2 平均值平均值离散变量xi连续变量x第八十五页，讲稿共九十页哦Maxwell速度分布函数表示分子的速度分量介于vivi+dvi的概率Maxwell速率分布函数表示分子的速率介于vv+dv的概率 3 Maxwell分布分布：理想气体分子不受外力作用时，E=Ek=mv2/2，空间分布均匀。最概速度为零最概速率不为零第八十六页，讲稿共九十页哦 分子速率的三个统计值分子速率的三个统计值（2 2）平均速率平均速率（3 3）方）方均根速率均根速率（1）最概然）最概然速率速率大小比

39、较，见大小比较，见P64 图图2.7（b）第八十七页，讲稿共九十页哦4 玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布：气体在外力场中处于平衡时，坐标处于xx+dx,yy+dy,zz+dz之间，同时速率介于vv+dv的分子数占总数的百分比占总数的百分比 为 Maxwell分布分布：理想气体分子不受外力作用时，E=Ek=mv2/2，空间分布均匀；玻尔兹曼分布：玻尔兹曼分布：当理想气体处于外力场，E=EK+EP，气体分子空间分布不均匀。坐标处于xx+dx,yy+dy,zz+dz之间内各种速率的分子数占总数的百分比占总数的百分比 第八十八页，讲稿共九十页哦坐标处于xx+dx,yy+dy,zz+dz之间内各种速率的分子总数Ep=0时，单位体积内具有各种速率的分子总数为n0重力场中，气体分子的数密度（气体压强）随高度增加，按指数规律减小度第八十九页，讲稿共九十页哦 能量均分定理能量均分定理处于温度为T的平衡态的气体中，分子热运动动能平均分配到每一个分子的每一个自由度上，每一个分子的每一个自由度的平均动能都是kT/2。第九十页，讲稿共九十页哦