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1、均匀实验设计现在学习的是第1页，共39页61 基本原理基本原理一、引言一、引言正交试验设计利用：正交试验设计利用：均衡分散：试验点在试验范围内排列规律整齐均衡分散：试验点在试验范围内排列规律整齐整齐可比：试验点在试验范围内散布均匀整齐可比：试验点在试验范围内散布均匀 可以进行部分试验而得到基本上反映全面情况的试验结果，可以进行部分试验而得到基本上反映全面情况的试验结果，但是，当试验中因素数或水平数比较大时，正交试验的次数也但是，当试验中因素数或水平数比较大时，正交试验的次数也会很大。如会很大。如5因素因素5水平，用正交表需要安排水平，用正交表需要安排5525次试验。次试验。这时，可以选用均匀设
2、计法，仅用这时，可以选用均匀设计法，仅用5次试验就可能得到能满足次试验就可能得到能满足需要的结果需要的结果现在学习的是第2页，共39页1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五因素的试年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五因素的试验，希望每个因素的水平数要多于验，希望每个因素的水平数要多于10，而试验总数又不超过，而试验总数又不超过50，显然优选法和正交设计都不能用，方开泰与王元经过几个月，显然优选法和正交设计都不能用，方开泰与王元经过几个月的共同研究，提出了一个新的试验设计，即所谓的共同研究，提出了一个新的试验设计，即所谓“均匀设计均匀设计”，将这一方法用于导弹设计，取得了成效将
3、这一方法用于导弹设计，取得了成效均匀设计法愈正交设计法的不同：均匀设计法愈正交设计法的不同：均匀设计法不再考虑均匀设计法不再考虑“数据整齐可比数据整齐可比”性，只考虑试验点在试验性，只考虑试验点在试验范围内充分范围内充分“均衡分散均衡分散”现在学习的是第3页，共39页均匀设计属于近年发展起来的均匀设计属于近年发展起来的“伪蒙特卡罗方法伪蒙特卡罗方法”的范筹。将的范筹。将经典的确定的单变量问题的计算方法推广后用于多变量问题的经典的确定的单变量问题的计算方法推广后用于多变量问题的计算时，计算量往往跟变量个数有关，即使电脑再进步很多，计算时，计算量往往跟变量个数有关，即使电脑再进步很多，这种方法仍无
4、法实际应用，乌拉母（这种方法仍无法实际应用，乌拉母（S.Ulam）与冯诺依曼）与冯诺依曼(J.von Neumann)在在40年代提出蒙特卡罗方法，即统计模拟方法，年代提出蒙特卡罗方法，即统计模拟方法，这个方法的大意是将一个分析问题化为一个有同样解答的概率这个方法的大意是将一个分析问题化为一个有同样解答的概率问题，然后用统计模拟的方法来处理后面这个问题，这样使一问题，然后用统计模拟的方法来处理后面这个问题，这样使一些困难的分析问题反而得到了解决，例如多重定积分的近似计些困难的分析问题反而得到了解决，例如多重定积分的近似计算。蒙特卡罗方法的关键是找一组随机数作为统计模拟之用，算。蒙特卡罗方法的关
5、键是找一组随机数作为统计模拟之用，所以这一方法的精度在于随机数的均匀性与独立性。所以这一方法的精度在于随机数的均匀性与独立性。现在学习的是第4页，共39页二、均匀设计表二、均匀设计表均匀设计表符号表示的意义均匀设计表符号表示的意义U7(76)均匀表的代号试验次数因素的水平数因素数现在学习的是第5页，共39页如如U6(64)表示要做次表示要做次6试验，每个因素有试验，每个因素有6个水平，个水平，该表有该表有4列。列。1234112362246533624441535531266541U6(64)列号试验号现在学习的是第6页，共39页每个均匀设计表都附有一个使用表，它指示我们如何从设计表中选每个均
6、匀设计表都附有一个使用表，它指示我们如何从设计表中选用适当的列，以及由这些列所组成的试验方案的均匀度。下表是用适当的列，以及由这些列所组成的试验方案的均匀度。下表是U6(64)的使用表。它告诉我们，若有两个因素，应选用的使用表。它告诉我们，若有两个因素，应选用1，3两列来两列来安排试验；若有三个因素，应选用安排试验；若有三个因素，应选用1，2，3三列，三列，最后，最后1列列D表示刻划均匀度的偏差表示刻划均匀度的偏差(discrepancy)，偏差值越小，表示均匀度，偏差值越小，表示均匀度越好。越好。s列号D2130.187531230.2656412340.2990U6(64)的使用表现在学习
7、的是第7页，共39页均匀设计有其独特的布（试验）点方式：均匀设计有其独特的布（试验）点方式：每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每列有任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每列有且仅有一个试验点且仅有一个试验点 以上两个性质反映了均匀设计试验安排的以上两个性质反映了均匀设计试验安排的“均衡性均衡性”，即对各，即对各因素，每个因素的每个水平一视同仁。因素，每个因素的每个水平一视同仁。均匀设计表任两列组成的试验方案一般并不等价均匀设计表任两列组成的试验方案一般并不等价现在学习的是第8页，共39页例如用例如用U6(
8、64)的的1，3 和和1，4列分别画图，得到下面的图列分别画图，得到下面的图(a)和和图图(b)。我们看到，。我们看到，(a)的点散布比较均匀，而的点散布比较均匀，而(b)的点散布并不的点散布并不均匀。均匀设计表的这一性质和正交表有很大的不同，均匀。均匀设计表的这一性质和正交表有很大的不同，因此，每个均匀设计表必须有一个附加的使用表。因此，每个均匀设计表必须有一个附加的使用表。现在学习的是第9页，共39页三、试验结果分析三、试验结果分析均匀设计的结果没有整齐可比性，分析结果不能均匀设计的结果没有整齐可比性，分析结果不能采用一般的方差分析方法，通常要用回归分析或逐步采用一般的方差分析方法，通常要
9、用回归分析或逐步回归分析的方法：回归分析的方法：现在学习的是第10页，共39页现在学习的是第11页，共39页现在学习的是第12页，共39页现在学习的是第13页，共39页现在学习的是第14页，共39页62应用举例利用均匀设计表来安排试验的步骤：利用均匀设计表来安排试验的步骤：（1）根据试验的目的，选择合适的因素和相应的水平。）根据试验的目的，选择合适的因素和相应的水平。（2）选择适合该试验的均匀设计表，然后根据该表的使用表从）选择适合该试验的均匀设计表，然后根据该表的使用表从中选出列号，将因素分别安排到这些列号上，并将这些因素的水中选出列号，将因素分别安排到这些列号上，并将这些因素的水平按所在列
10、的指示分别对号，则试验就安排好了平按所在列的指示分别对号，则试验就安排好了现在学习的是第15页，共39页在阿魏酸的合成工艺考察中，为了提高产量，选在阿魏酸的合成工艺考察中，为了提高产量，选取了原料配比取了原料配比(A)、吡啶量、吡啶量(B)和反应时间和反应时间(C)三个三个因素，它们各取了因素，它们各取了7个水平如下：个水平如下：原料配比（原料配比（A）：）：1.0，1.4，1.8，2.2，2.6，3.0，3.4吡啶量（吡啶量（B）(ml)：10，13，16，19，22，25，28反应时间（反应时间（C）(h)：0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，3.0，3.57个水平，需要安排个水平，需
11、要安排7次试验，根据因素和水平，我们可以选次试验，根据因素和水平，我们可以选用用U7(76)完成该试验。完成该试验。现在学习的是第16页，共39页1234561123656224653533624144415363553124266541217777777U7(76)列号试验号现在学习的是第17页，共39页因素数列号2133123412365123466123456U7(76)使用表使用表U7(76)共有6列，现在有3个因素，根据其使用表，应该取1，2，3列安排试验。现在学习的是第18页，共39页No.配比配比（A）吡啶量吡啶量（B）时间时间（C）收率收率（Y）11.0(1)13(2)1.5(
12、3)0.33021.4(2)19(4)3.0(6)0.33631.8(3)25(6)1.0(2)0.29442.2(4)10(1)2.5(5)0.47652.6(5)16(3)0.5(1)0.20963.0(6)22(5)2.0(4)0.45173.4(7)28(7)3.5(7)0.482制备阿魏酸的试验方案U7(73)和结果现在学习的是第19页，共39页根据试验方案进行试验，其收率根据试验方案进行试验，其收率(Y)列于表的最后一列于表的最后一列，其中以第列，其中以第7号试验为最好，其工艺条件为配比号试验为最好，其工艺条件为配比3.4，吡啶量，吡啶量28ml，反应时间，反应时间3.5h。我们可
13、用线性回归模型来拟合上表的试验数据我们可用线性回归模型来拟合上表的试验数据现在学习的是第20页，共39页现在学习的是第21页，共39页方差来源自由度平方和均方F回归误差总和3360.0487700.0148380.0636080.0162570.0049463.29方差分析表现在学习的是第22页，共39页现在学习的是第23页，共39页现在用逐步回归分析的方法来筛选变量：现在用逐步回归分析的方法来筛选变量：逐步回归是回归分析中的一种筛选变量的技术逐步回归是回归分析中的一种筛选变量的技术.开始它将贡开始它将贡献最大的一个变量选入回归方程，并且预先确定两个阈值献最大的一个变量选入回归方程，并且预先确
14、定两个阈值Fin和和Fout，用于决定变量能否入选或剔除，用于决定变量能否入选或剔除.逐步回归在每一步有逐步回归在每一步有三种可能的功能：三种可能的功能：将一个新变量引进回归模型，这时相应的将一个新变量引进回归模型，这时相应的F统计量必须大于统计量必须大于Fin将一个变量从回归模型中剔除，这时相应的将一个变量从回归模型中剔除，这时相应的F统计量必须小于统计量必须小于Fout 将回归模型内的一个变量和回归模型外的一个变量交换位置。将回归模型内的一个变量和回归模型外的一个变量交换位置。现在学习的是第24页，共39页设先用后退法来选变量设先用后退法来选变量.所谓后退法，就是开始所谓后退法，就是开始将
15、所有的变量全部采用，然后逐步剔除对方程没将所有的变量全部采用，然后逐步剔除对方程没有显著贡献的变量，直到方程中所有的变量都有有显著贡献的变量，直到方程中所有的变量都有显著贡献为止。显著贡献为止。仍考虑线性模型，开始三个因素全部进入方程，仍考虑线性模型，开始三个因素全部进入方程，得得(2.12).统计软件包通常还会提供每个变量的统计软件包通常还会提供每个变量的t值，值，t值越大（按绝对值计）表示该因素越重要值越大（按绝对值计）表示该因素越重要.对本对本例有例有现在学习的是第25页，共39页t0=0.204,t1=0.96,t2=-0.67,t3=2.77这表明三个因素中以这表明三个因素中以X3（
16、反应时间）对得率（反应时间）对得率（Y）影响最）影响最大，配比次之，吡啶量最小。大，配比次之，吡啶量最小。这些这些t 值都是随机变量，它们遵从值都是随机变量，它们遵从tn-m-1分布。分布。若取若取=0.05，这时，这时n=7,m=3,tn-m-1=的临界值的临界值t3(0.05)=3.18。t值大值大于该值的因素表示对方程有显著贡献，否则表示不显著。于该值的因素表示对方程有显著贡献，否则表示不显著。今今 均小于均小于(0.05)=3.18，说明回归方程，说明回归方程(2.18)的三个变量至的三个变量至少有一个不起显著作用少有一个不起显著作用.于是我们将贡献最小的于是我们将贡献最小的X2删去，
17、重新建删去，重新建立立Y和和X1及及X3的线性回归方程，得的线性回归方程，得现在学习的是第26页，共39页现在学习的是第27页，共39页现在学习的是第28页，共39页现在学习的是第29页，共39页例例.均匀设计法在全光亮镀镍研究中的应用均匀设计法在全光亮镀镍研究中的应用1.均匀设计表的选取均匀设计表的选取 本实验的目的是提高镀层光亮性。经初步研究，取其本实验的目的是提高镀层光亮性。经初步研究，取其固定组成为硫酸镍固定组成为硫酸镍25g/L，次磷酸钠，次磷酸钠25g/L，醋酸钠，醋酸钠25g/L。考察因素为稳定剂，主光亮剂，辅助光亮剂，润湿剂考察因素为稳定剂，主光亮剂，辅助光亮剂，润湿剂4个因素
18、，个因素，每个因素取值范围为每个因素取值范围为t个水平（个水平（t 为实验次数），为实验次数），4个因素的个因素的一次项及二次项各有一次项及二次项各有4项，项，4项因素间的两两交互作用设有项因素间的两两交互作用设有6项，共项，共14项，实验数不能小于项，实验数不能小于14，本实验选用，本实验选用U17（178）表。）表。现在学习的是第30页，共39页均匀表U17（178）现在学习的是第31页，共39页U17（178）表的使用表本实验为本实验为4因素，这因素，这4个因素安排在均匀表的个因素安排在均匀表的1，5，7，8列，去列，去掉掉U17（178）的最后一行，将实验方案及结果见下表。）的最后一行
19、，将实验方案及结果见下表。现在学习的是第32页，共39页现在学习的是第33页，共39页2.指标的选择和优化指标的选择和优化指标是回归方程中的响应函数，在本实验中即是镀件质量。根指标是回归方程中的响应函数，在本实验中即是镀件质量。根据我们对镀件的要求，定义一个综合指标据我们对镀件的要求，定义一个综合指标z，z的分值由外观评的分值由外观评分分R，沉积速度评分，沉积速度评分V，耐腐蚀性评分，耐腐蚀性评分Q乘以不同的权重构成，乘以不同的权重构成，z=0.5R+0.2V+0.3Q。R，V，Q的分值分别为的分值分别为0100。现在学习的是第34页，共39页3.实验方法实验方法试样为试样为10cm5cm0.
20、2cm的低碳钢板，在的低碳钢板，在8890 的恒温水浴槽内的恒温水浴槽内施镀，镀液施镀，镀液pH值控制在值控制在4.5-5.0。镀前处理按常规进行，按均匀设计表。镀前处理按常规进行，按均匀设计表中确定的组成分别配成中确定的组成分别配成16种化学镀液，挂镀法施镀种化学镀液，挂镀法施镀1h，清洗，晾干，清洗，晾干，对试样进行外观的评定。对试样进行外观的评定。沉积速度测定：沉积速度，样片增加的重量沉积速度测定：沉积速度，样片增加的重量/样片的面积样片的面积(g/cm2)耐腐蚀性测定：耐腐蚀性测定：10硫酸浸泡硫酸浸泡24h，根据失重及腐蚀后外观评分，根据失重及腐蚀后外观评分现在学习的是第35页，共3
21、9页4.结果处理及分析结果处理及分析实验结果用计算机处理，主要运用软件为实验结果用计算机处理，主要运用软件为SPSS和和Matlab。4.1建立数学模型及筛选变量建立数学模型及筛选变量 考虑到可能有的数学关系，将各因素的一次项，二次项，两因考虑到可能有的数学关系，将各因素的一次项，二次项，两因子间的交互作用项均作为考察对象，回归方程模型为：子间的交互作用项均作为考察对象，回归方程模型为：R=b0+bixi+bijxixj+biixi2 (i=1,2,3,4;ij)b为各项系数。将给因素的值及综合指标输入计算机，用为各项系数。将给因素的值及综合指标输入计算机，用自后淘汰变量法自后淘汰变量法(ba
22、ckward selection)进行回归分析和变量进行回归分析和变量筛选，筛选，sigF0.100.10的变量被淘汰，的变量被淘汰，最后得到指标与相关组最后得到指标与相关组成的回归方程。成的回归方程。现在学习的是第36页，共39页Z=86.726+6.555d4.554p21.384c20.0164123.177pc0.1932p0.1209c0.3779dc为主光亮剂；为主光亮剂；d为辅助光亮剂；为辅助光亮剂；为润湿剂；为润湿剂；p为稳定剂。为稳定剂。4.2对回归方程的优化处理对回归方程的优化处理用求条件极值的强约束优化法对回归方程进行优化，用用求条件极值的强约束优化法对回归方程进行优化，
23、用Matlab语言编程语言编程，用，用BFGS拟牛顿拟牛顿(Quasi-Newton)算法及最小二乘法寻算法及最小二乘法寻优，本实验找到的最优解为：主光亮剂优，本实验找到的最优解为：主光亮剂HC3.7mg/L，辅助光亮，辅助光亮剂剂HD1.1ml/g，稳定剂，稳定剂0.2mg/L，润湿剂，润湿剂19.7mg/L，乳酸，乳酸6mol/L。现在学习的是第37页，共39页4.3优化结果的验证优化结果的验证 按最优解所得到的组成配成镀液进行施镀，所得试样外观达到按最优解所得到的组成配成镀液进行施镀，所得试样外观达到镜面全光亮，镀件经各种腐蚀介质分别浸泡镜面全光亮，镀件经各种腐蚀介质分别浸泡24h后外观
24、仍然光亮，后外观仍然光亮，镀层无明显变化。镀片综合指数评定值为镀层无明显变化。镀片综合指数评定值为96.2，优于实验中，优于实验中最好的最好的5号试样。镀速可达号试样。镀速可达115m/h，镀液使用周期可达，镀液使用周期可达8周期以周期以上。上。4.4各因素对镀层质量影响的分析各因素对镀层质量影响的分析回归方程中各项系数的大小反映了该因素对指标影响的大小，回归方程中各项系数的大小反映了该因素对指标影响的大小，但由于给系数的单位不同不能进行比较，因此需对给变量的但由于给系数的单位不同不能进行比较，因此需对给变量的系数进行标准化，将回归方程系数变为标准回归系数系数进行标准化，将回归方程系数变为标准
25、回归系数b0：现在学习的是第38页，共39页主光亮剂主光亮剂c2 辅助光亮剂辅助光亮剂d 稳定剂稳定剂p2 润湿剂润湿剂2 b0 0.384 0.384 0.759 0.418 交互交互pcpc 交互交互pw 交互交互cw 交互交互dwb0 0.485 0.233 0.229 0.714从以上数据看出，但因素对综合指标影响最大的是稳定从以上数据看出，但因素对综合指标影响最大的是稳定剂，其次是润湿剂。根据交互作用项的系数可看出，润剂，其次是润湿剂。根据交互作用项的系数可看出，润湿剂与辅助光亮剂的交互作用湿剂与辅助光亮剂的交互作用dw影响最大，其次主光亮影响最大，其次主光亮剂与稳定剂的交互作用影响液也较大。剂与稳定剂的交互作用影响液也较大。现在学习的是第39页，共39页