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1、高等数学殷锡鸣函数的单调性极值与最值现在学习的是第1页，共30页这与定理条件矛盾这与定理条件矛盾 由于由于f(x)在在 x1，x2 上满足拉格朗日中值定理上满足拉格朗日中值定理条件，条件，从定理的证明过程可以看出从定理的证明过程可以看出,将定理中的将定理中的a,b 换成换成(-，+),a，+)，(a，+),(-,a 结论结论仍然成立仍然成立 说明说明:存在存在(x1 1，x2 2)使使现在学习的是第2页，共30页证明证明:例例 (证明恒等式证明恒等式)证明证明:设设则对则对 ,有有现在学习的是第3页，共30页又又 f(x)在在 上连续上连续,根据上面的定理知根据上面的定理知令令 x=0现在学习
2、的是第4页，共30页2 单调性单调性设设 f(x)在在 a,b 上严格单调增上严格单调增,定理定理(2)f (x)在在(a,b)的任意部分区间内都不恒等于零的任意部分区间内都不恒等于零设函数设函数 f(x)在在a,b上连续上连续,(a,b)上可导上可导,则则 f(x)在在 a,b 上严格单调增上严格单调增(严格单调减严格单调减)证明证明:仅对严格单调增的情形给出证明仅对严格单调增的情形给出证明有有则对任意则对任意现在学习的是第5页，共30页即结论（即结论（1）成立）成立 为证为证(2),采用反证法采用反证法设条件设条件(1)、(2)成立成立.对任意对任意据拉格朗日中值定理据拉格朗日中值定理 f
3、(x)在在a,b单调增单调增故知故知(2)成立成立由于由于部分区间部分区间 I 上恒等于零，上恒等于零，假设假设 f (x)在在(a,b)的的某某恒等于常数，这与恒等于常数，这与 f(x)在在 I 上严格单调增矛盾上严格单调增矛盾,据定理知，据定理知，f(x)在在 I 上上现在学习的是第6页，共30页 为证严格单调增，假设为证严格单调增，假设 f(x1)=f(x2)=c 即即 f(x)在在(x1，x2)内恒等于一个常数内恒等于一个常数,这与条件（这与条件（2）矛盾）矛盾 f (x1)f(x2)f(x)在在a,b上上严严格格单调单调增增f(x)在在a，b 上上严格单调增严格单调增(严格单调减严格
4、单调减)而且使而且使 f (x)=0 的点不构成区间的点不构成区间说明说明:定理可简述为定理可简述为:现在学习的是第7页，共30页解解 例例 求求 的严格单调区间的严格单调区间应用定理知应用定理知:当当 x (-,-1)时时,f (x)0 f (x)严格单调增严格单调增当当 x (1 1,)时时,f (x)0 时时,构造辅助函数构造辅助函数则则且使且使 f (x)=0 的点的点不构成区间不构成区间,当当 x 0 时时,x sinx再证再证:当当 x 0 时时,例例 (利用单调性证不等式利用单调性证不等式)证明证明:当当 x 0 时时,解解由于由于 f(0)=0 当当 x 0 时时,f(x)f(
5、0)=0 据定理知据定理知 f(x)在在(0,+)上上严严格格单调单调增增,现在学习的是第9页，共30页构造辅助函数构造辅助函数则则 g(0)=0,下证下证:当当 x 0 时时,g(x)g(0)注意到注意到 当当 x 0 时时,g (x)g (0)=0 g(x)在在(0,+)上严格单调增上严格单调增 当当 x 0 时时,g(x)g(0)=0即即 当当 x 0 时时,由由现在学习的是第10页，共30页3局部极小与极大局部极小与极大 我们已经知道我们已经知道:f(x)的极值点必为临界点的极值点必为临界点,但临但临如何判断一临界点是不是极值点如何判断一临界点是不是极值点?定理定理(一阶充分条件一阶充
6、分条件)设设 y=f(x)在在 N(x0,)内可导内可导(在在 x0 处可以不可导处可以不可导,(1)如果当如果当 x(x0-,x0)时时,f (x)0 x0 是是 f(x)的局部极小点的局部极小点界点不一定是极值点界点不一定是极值点若是极值点若是极值点,则是极小还是极大值点则是极小还是极大值点?问题问题:但要求连续但要求连续),则则现在学习的是第11页，共30页(2)如果当如果当 x(x0-,x0)时时,f (x)0当当 x(x0,x0+)时时,f (x)0 x0 是是 f(x)的的局部极大值点局部极大值点(3)当当 x N(x0,)时时,f (x)不变号不变号,则则 x0不是极值点不是极值
7、点仅对仅对(1)加以证明加以证明 取取 0 1 ,则则 (x0,x0+1)(x0,x0+),由于由于 x(x0-1,x0),f (x)0,f(x)在在 x0,x0+1上上严严格格单调单调增增即即 综上所述有综上所述有即即 x0 是是 f(x)的局部极小值点的局部极小值点利用定理知利用定理知现在学习的是第13页，共30页例例 求下列函数的极值求下列函数的极值 (1)由于由于f (x)在在 R上可微上可微所以驻点所以驻点:当当 x 0 时时,f (x)0 f (x)当当 时时,f (x)0 f (x)x=0不是极值点不是极值点 是极小值点是极小值点解解 极值点一定是驻点极值点一定是驻点 现在学习的
8、是第14页，共30页极小值极小值:(2)x=0,x=1 是不可微点是不可微点 有驻点有驻点:所以所以 f(x)的可能的极值点为的可能的极值点为:x=0,x=1是可能的极值点是可能的极值点 现在学习的是第15页，共30页当当 x(-,0)时时,f (x)0 f (x)当当 时时,f (x)0 f (x)x=0不是极值点不是极值点是极大值点是极大值点当当 时时,f (x)0 f (x)当当 x(1,+)时时,f (x)0 f (x)x=1是极小值点是极小值点所以极小值所以极小值:极大值极大值:现在学习的是第16页，共30页我们注意到我们注意到:研究研究 x0 是否为是否为 f(x)的局部极值点的局
9、部极值点,即即,只需研究只需研究 f(x)-f(x0)在在 x0 附近是否局部保号附近是否局部保号 f(x)-f(x0)0(或或 f(x)-f(x0)0),定理定理(二阶充分条件二阶充分条件)由于由于 f(x)f(x0)(或或 f(x)f(x0),泰勒公式为我们研究泰勒公式为我们研究 f(x)-f(x0)的保号性提供的保号性提供方便方便(1)若若 f (x0)0,x0 是局部极小值点是局部极小值点;(2)若若 f (x0)0,f (x)在在 x0 处处 连续以及极限的保号性性质连续以及极限的保号性性质,存在存在 0,有有当当 时时,利用泰勒公式利用泰勒公式,有有 此此时时 N(x 0,)现在学
10、习的是第18页，共30页即即 是是 f(x)的极大值点的极大值点处取得极值处取得极值,是极大值还是极小值是极大值还是极小值?并求出其极值并求出其极值例例 试问试问a为何值时为何值时,在在 因为因为 f (x)是可微函数是可微函数,故故 是是 f(x)的驻点的驻点,当当 a=2 时时,极大值极大值:解解即即现在学习的是第19页，共30页由由 f(x)是可微函数是可微函数,并在并在 x0 处取得极值处取得极值当当 x0 0 时时,所以所以,x0 是是 f(x)的极小值点的极小值点 在方程中令在方程中令 x=x0,则有则有 f (x0)=0.当当 x0 0 时时,由于由于已知已知 y=f(x)满足满
11、足 如果如果 f(x)在在 x0 0 处有极值处有极值,问它是极大值还是极问它是极大值还是极小值小值?并证明之并证明之例例解解现在学习的是第20页，共30页4 最大值、最小值最大值、最小值(简称最值简称最值)的计算的计算定理（最值点与极值点的关系）定理（最值点与极值点的关系）如果开区间如果开区间(a,b)内的点内的点 x0 是是 f(x)的最值点，的最值点，则则 x0 是极值点是极值点,反之不然反之不然 最值的计算方法：最值的计算方法：（1）f(x)在（在（a,b）上的临界点）上的临界点；计算计算 f(x)在在a,b上的最上的最值值点，点，只需计算只需计算（3）比较这些点处函数值的大小，求出最
12、值）比较这些点处函数值的大小，求出最值（2）端点）端点 x=a 或或 x=b;现在学习的是第21页，共30页比较比较 f(x)在在-2,3 上上连续连续且可且可导导,先求可能的最先求可能的最值值点点 可能的最值点为可能的最值点为:f(x)在在(-2,3)内有内有驻驻点点:最大值为最大值为 最小值为最小值为 求函数求函数 在区间在区间-2,3 上的最上的最大大值值和最小和最小值值 例例解解现在学习的是第22页，共30页 x=1是是 f(x)在在(0,2)中的唯一极值点且为极小值点中的唯一极值点且为极小值点原不等式原不等式令令 ,则由则由又又 x=1是是 最小值点最小值点 f(x)f(1)=0,x
13、 (0,2)求求 0 x 2 时时,证明不等式证明不等式例例解解 得得 f(x)在在(0,2)中的唯一驻点中的唯一驻点:x=1现在学习的是第23页，共30页5 最大值、最小值的问题最大值、最小值的问题 在实际应用中在实际应用中,我们经常会遇到各种各样的最优我们经常会遇到各种各样的最优化问题化问题 (即最优值问题即最优值问题),在解决实际应用问题中的求解方法在解决实际应用问题中的求解方法,其中其中 I 是某个区间是某个区间这里讨论这里讨论半顶角为半顶角为 的圆锥形容器内已有的圆锥形容器内已有 b公升的盐水公升的盐水,器内液面上升速度最快器内液面上升速度最快?例例若现在开始若现在开始(t=0)往容
14、器内加注盐水往容器内加注盐水,经经t 秒钟后秒钟后,注注入的盐水量为入的盐水量为 a t2 公升公升,试问从开始起试问从开始起,经几秒后经几秒后,容容现在学习的是第24页，共30页 xthr（1）建立）建立 h与与 t 的函数关系的函数关系设经过时间设经过时间t，水深为，水深为h,时刻时刻 t 的液量的液量=原有液量原有液量+流入液量流入液量原有液量原有液量=b ,流入液量流入液量=at2时刻时刻 t 的液量的液量分析分析:水深水深 h=h(t)上升速度最快就是上升速度最快就是 指指 ht 的最大值的最大值,所以应先找出所以应先找出 h 与与时间时间 t 的函数关系的函数关系,再求再求 ht
15、的最大值的最大值解解则则所以所以现在学习的是第25页，共30页（2）建立问题的数学模型）建立问题的数学模型液面上升的速度液面上升的速度:所以问题为求所以问题为求 v(t)在在 t 0上的最大值上的最大值,(1)(3)求解最值问题求解最值问题(1)即求解即求解现在学习的是第26页，共30页当当 时时,当当 时时,是是 v(t)的极大值点的极大值点,所以所以,当当 时时,水深上升的速度为最快水深上升的速度为最快 驻点驻点(不合题意舍去不合题意舍去)一极值点一极值点,而且而且 是是 v(t)在在 t 0上的唯上的唯故知故知 为为 v(t)在在t 0上的最大值点上的最大值点现在学习的是第27页，共30
16、页求解实际应用最值问题的步骤：求解实际应用最值问题的步骤：（2）用微分学方法求函数的最值）用微分学方法求函数的最值（1）按照问题的提法，设定一些变量，运用）按照问题的提法，设定一些变量，运用有关学科的知识建立描述问题的数学表有关学科的知识建立描述问题的数学表达式（建数学模型达式（建数学模型)现在学习的是第28页，共30页 建立造价建立造价 F 与半径与半径 r 之间的函数关系之间的函数关系设盖的单位面积造价为设盖的单位面积造价为 a 元元/m2，则，则侧面的单位面积造价：侧面的单位面积造价：2a 元元/m2 底面的单位面积造价：底面的单位面积造价：4a 元元/m2 要设计一容积为要设计一容积为 V 的有盖圆柱形储油桶的有盖圆柱形储油桶,已知已知盖的单位面积造价又是侧面单位面积造价的一盖的单位面积造价又是侧面单位面积造价的一例例侧面单位面积造价为底面单位造价的一半，而侧面单位面积造价为底面单位造价的一半，而半，问储油桶半径半，问储油桶半径 r 取何值时造价最省取何值时造价最省？解解现在学习的是第29页，共30页 F=盖的盖的造价造价+侧面的造价侧面的造价+底面的造价底面的造价由于由于 驻点驻点:现在学习的是第30页，共30页