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1、高数函数极限现在学习的是第1页，共28页使用数学语言进行描述使用数学语言进行描述,定义定义1.6可以写为：可以写为：如果如果在定义在定义1.6,如果令如果令 则有则有 设设 在点在点 的某个空心邻域内有定义的某个空心邻域内有定义,A 为常数为常数.存在点存在点 的空心邻域的空心邻域现在学习的是第2页，共28页的的右极限右极限与与左极限左极限.分别称为分别称为 f(x)在点在点由定义由定义1.6,特别地特别地,我们有下面两个简单的极限：我们有下面两个简单的极限：现在学习的是第3页，共28页例例1 证明证明 不存在不存在.左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,证证所以所以,不存在不存在.现在学
2、习的是第4页，共28页例例2 用定义验证用定义验证:证证因因所以所以故故而而现在学习的是第5页，共28页例例3 证明证明:当当 证证因因不妨设不妨设 由由 所以所以 故故 现在学习的是第6页，共28页例例4 用定义验证用定义验证:证证因因不妨设不妨设 于是于是故故所以所以现在学习的是第7页，共28页例例5 证明证明 其中其中 为常数为常数.证证即即 当当 时时,结论显然成立结论显然成立.令令 则则 于是于是 所以所以 先证先证 的情形的情形.当当 时时,令令 而而同样有同样有 现在学习的是第8页，共28页1.2.2 函数极限的性质与运算函数极限的性质与运算但所有的结果都可以平行推广到一般情况但
3、所有的结果都可以平行推广到一般情况.定理定理1.9(唯一性唯一性)本节主要针对本节主要针对 的情形讨论极限的性质与运算的情形讨论极限的性质与运算,证证 反证法反证法.若若 存在存在,则极限值是唯一的则极限值是唯一的.于是于是 为无穷小为无穷小,与与 矛盾矛盾.则则 都是无穷小都是无穷小.现在学习的是第9页，共28页定理定理1.10 (局部有界性局部有界性)若若 存在存在,则则 在在 x0的某个空心邻域的某个空心邻域证证 设设所以所以,在该空心邻域内有界在该空心邻域内有界.内有界内有界.因为因为 在点在点 x0 某空心邻域内有界某空心邻域内有界,现在学习的是第10页，共28页定理定理1.11 (
4、局部保号性局部保号性)证证 只需证第一部分只需证第一部分.与与 A 同号同号.不妨设不妨设 1.设设 且且因因所以所以 为无穷小为无穷小.即即于是于是现在学习的是第11页，共28页1.2.3 极限的运算法则极限的运算法则定理定理1.12 (极限四则运算法则极限四则运算法则)则有则有 证证 (1)则则 设设 现在学习的是第12页，共28页推论推论1 如果如果即即:常数因子常数因子可以提到极限记号外面可以提到极限记号外面.推论推论2 如果如果所以所以(1)成立成立.于是于是现在学习的是第13页，共28页推论推论1.2 (局部保序性局部保序性)由定理由定理1.11和定理和定理1.12,立即有下面的推
5、论立即有下面的推论 则则在在 x0的某个空心邻域内有的某个空心邻域内有2.若若在在 x0的某个空心邻域内有的某个空心邻域内有则则则则现在学习的是第14页，共28页有有利用极限的运算法则和上节的两个结果利用极限的运算法则和上节的两个结果我们可以求解一些简单的极限问题我们可以求解一些简单的极限问题：对于的多项式函数对于的多项式函数现在学习的是第15页，共28页例例6 求求 解解由函数商的极限法则由函数商的极限法则,有有现在学习的是第16页，共28页一般地一般地,设设 则商的法则不能使用则商的法则不能使用.则当则当现在学习的是第17页，共28页解解商的法则不能用商的法则不能用由由无穷小与无穷大的关系
6、无穷小与无穷大的关系,得得例例7 求求 现在学习的是第18页，共28页解解消去零因子法消去零因子法时时,分子分子、分母的极限都是零分母的极限都是零.例例8 求求 现在学习的是第19页，共28页解解时时,分子分子、分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大,例例9 求求 分子、分母同时除以分子、分母同时除以 x 的最高次幂的最高次幂.现在学习的是第20页，共28页一般地一般地,当当现在学习的是第21页，共28页解解先作恒等变形先作恒等变形,使和式的项数固定使和式的项数固定,再求极限再求极限.和式的项数随着和式的项数随着n在变化在变化,原式原式不能用运算法则不能用运算法则.方法方法:例例10 求求
7、现在学习的是第22页，共28页定理定理1.13 (复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则)设设且存在且存在推论推论 若若则则则则复合复合函数函数时的极限也存在时的极限也存在,且且现在学习的是第23页，共28页证证例例11 证明证明:如果如果 则则 由由 及复合函数的极限法则及复合函数的极限法则,有有 有有特别地特别地,如果如果 为多项式函数为多项式函数,且且 现在学习的是第24页，共28页解解原式原式例例12 求求 现在学习的是第25页，共28页 由于数列可以看作特殊的函数由于数列可以看作特殊的函数,因此复合函数因此复合函数的极限法则对数列同样适用的极限法则对数列同样适用.抽取无限多项并
8、保持它们在原数列中的先后次序抽取无限多项并保持它们在原数列中的先后次序,在数列在数列 中任意中任意得到的数列称为原数列的一个子数列得到的数列称为原数列的一个子数列(简称子列简称子列).设在设在 数列中数列中,第一次抽取第一次抽取 第二次在第二次在后抽取后抽取抽取下去得到子数列抽取下去得到子数列 第三次在第三次在 后抽取后抽取注意注意:严格单调递增，显然有严格单调递增，显然有 无休止地无休止地现在学习的是第26页，共28页如果数列如果数列 收敛于收敛于A,则它的任意子数列则它的任意子数列推论推论1.3 (收敛数列与其子数列间的关系收敛数列与其子数列间的关系)也收敛于也收敛于A.证证设设 是是 的任的任一子列一子列.令令显然有显然有由由定理定理1.13有有现在学习的是第27页，共28页如果如果推论推论1.4 (函数极限与数列极限之间的关系函数极限与数列极限之间的关系)则对任意满足则对任意满足 用此结论同样可以证明函数极限不存在用此结论同样可以证明函数极限不存在.且且 的数列的数列 有有 例如例如,由由 有有 不存在不存在.现在学习的是第28页，共28页