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1、关于非机理模型在数学建模中的应用第一页，讲稿共四十四页哦 当人们对研究对象的内在特性和各因素间的关当人们对研究对象的内在特性和各因素间的关系有比较充分的认识时，一般用机理分析方法建立系有比较充分的认识时，一般用机理分析方法建立数学模型，但如果由于客观事物内部规律的复杂性数学模型，但如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制，无法分析实际对象的内在及人们认识程度的限制，无法分析实际对象的内在的因果关系、建立合乎机理规律的数学模型，那么的因果关系、建立合乎机理规律的数学模型，那么通常的办法是搜集大量的数据，基于对数据的统计通常的办法是搜集大量的数据，基于对数据的统计分析去建立模型。本部分
2、将介绍概率统计的基本应分析去建立模型。本部分将介绍概率统计的基本应用描述与分析，以及用途最为广泛的两类数理统计用描述与分析，以及用途最为广泛的两类数理统计随机模型随机模型统计回归模型和马氏链模型。统计回归模型和马氏链模型。概率与统计思想在数学建模中的应用概率与统计思想在数学建模中的应用沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第二页，讲稿共四十四页哦例例1.报童的诀窍报童的诀窍问问题题报童售报：报童售报：a(零售价零售价)b(购进价购进价)c(退回价退回价)售出一份赚售出一份赚 a-b；退回一份赔；退回一份赔 b-c 每天购进多少份可使收入最大？每天购进多少份可使收入最大？分分析析购进太多购进太多
3、卖不完退回卖不完退回赔钱赔钱购进太少购进太少不够销售不够销售赚钱少赚钱少应根据需求确定购进量应根据需求确定购进量.存在一个合存在一个合适的购进量适的购进量一、一、概率论在建模中的应用概率论在建模中的应用第三页，讲稿共四十四页哦每天需求量是随机的每天需求量是随机的优化问题的目标函数应是长期的日平均收入优化问题的目标函数应是长期的日平均收入每天收入是随机的每天收入是随机的等于每天收入的期望等于每天收入的期望第四页，讲稿共四十四页哦建建模模 设每天购进设每天购进 n 份，份，日平均收入为日平均收入为 G(n)求求 n 使使 G(n)最大最大 已知售出一份赚已知售出一份赚 a-b；退回一份赔；退回一份
4、赔 b-c调查需求量的调查需求量的随机规律随机规律每天需求每天需求量为量为 r 的概率的概率 f(r),r=0,1,2准准备备第五页，讲稿共四十四页哦求解求解将将r视为连续变量视为连续变量第六页，讲稿共四十四页哦结果解释结果解释nP1P2取取n使使 a-b 售出一份赚的钱售出一份赚的钱 b-c 退回一份赔的钱退回一份赔的钱Orp第七页，讲稿共四十四页哦二、二、数据的统计描述与分析数据的统计描述与分析 数理统计学是以概率论为基础，从实际观测资料数理统计学是以概率论为基础，从实际观测资料出发，研究如何合理的搜集资料（数据）来对随机变出发，研究如何合理的搜集资料（数据）来对随机变量的分布函数、数字特
5、征等进行估计、分析和推断。量的分布函数、数字特征等进行估计、分析和推断。更具体地说：数理统计学是研究从一定总体中随机抽更具体地说：数理统计学是研究从一定总体中随机抽出一部分（称为样本）的某些性质，以此对所研究总出一部分（称为样本）的某些性质，以此对所研究总体的性质作出推测性的判断。具体包括：参数估计、体的性质作出推测性的判断。具体包括：参数估计、假设检验、方差分析、回归分析及马尔可夫链等。假设检验、方差分析、回归分析及马尔可夫链等。沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第八页，讲稿共四十四页哦 一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这
6、些零件的参数。零件参数包括标定某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差。进行成批生产时，标定值表示一批零件参值和容差。进行成批生产时，标定值表示一批零件参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期范围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望，在生产部门无特别要求时，容差通常规定为均方望，在生产部门无特别要求时，容差通常规定为均方差的差的3倍。倍。例例2.2.零件的参数设计零件的参数设计沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院背景介绍背景介绍第九页，讲稿共四十四页哦 某粒子分离器某参数
7、由某粒子分离器某参数由7 7个零件的参数决定，个零件的参数决定，经验公式为经验公式为 y的目标值为的目标值为y0=1.5。当。当y偏离偏离y00.1时，产品时，产品为次品，质量损失为次品，质量损失1000元；当元；当y偏离偏离y00.3时，产时，产品为废品，质量损失品为废品，质量损失9000元。元。沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第十页，讲稿共四十四页哦表表1 1 零件参数标定值容许范围及其成本零件参数标定值容许范围及其成本标标准准值值容容许许范范围围C C等等B B等等A A等等x x1 10.075,0.1250.075,0.125/2525/x x2 20.225,0.3750.2
8、25,0.37520205050/x x3 30.075,0.1250.075,0.12520205050200200X X4 40.075,0.1250.075,0.1255050100100500500X X5 51.125,1.8751.125,1.8755050/X X6 612,2012,2010102525100100 x x7 70.5625,0.93750.5625,0.9375/2525100100 零件参数的标定值有一定容许变化范围，容差分零件参数的标定值有一定容许变化范围，容差分A、B、C三个等级，用与标定值的相对值表示，三个等级，用与标定值的相对值表示，A等等为为1%，
9、B等为等为5%，C等为等为10%。7个零件参数个零件参数标定的容许范围及不同容差等级的成本见表标定的容许范围及不同容差等级的成本见表1（符号（符号“/”表示无此等级的零件）。表示无此等级的零件）。沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第十一页，讲稿共四十四页哦 考虑当成批生产，每批产量考虑当成批生产，每批产量1000个时，如原设计个时，如原设计7个零件参数的标定值：个零件参数的标定值：x1=0.1，x2=0.3，x3=0.1，x4=0.1，x5=1.5，x6=16，x7=0.75，容差均取便宜，容差均取便宜的等级。的等级。请综合考虑请综合考虑y偏离偏离y0的损失和零件成本，重新设计的损失和零件
10、成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低多少？总费用降低多少？沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第十二页，讲稿共四十四页哦 目标函数为总费用，它由两部分组成：一是零件的目标函数为总费用，它由两部分组成：一是零件的成本；二是由于产品的参数成本；二是由于产品的参数y偏离目标值偏离目标值y0造成的损失。造成的损失。因此，原问题可归结为在一定约束条件下的非线性规划因此，原问题可归结为在一定约束条件下的非线性规划问题。问题。1 1、问题的分析、问题的分析 由于零件在加工制造过程中存在多种随机因素，由于零件在加工制造过程中存在
11、多种随机因素，如零件安装的误差，刀具的磨损，测量的误差等等，如零件安装的误差，刀具的磨损，测量的误差等等，因此，由中心极限定理知零件的参数可以看成是服从因此，由中心极限定理知零件的参数可以看成是服从正态分布的随机变量。设七个零件的加工是独立的，正态分布的随机变量。设七个零件的加工是独立的，则七个零件的参数可视作相互独立的正态随机变量，则七个零件的参数可视作相互独立的正态随机变量，即设即设2 2、关于零件参数的假设、关于零件参数的假设沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第十三页，讲稿共四十四页哦3 3、模型的初步建立、模型的初步建立 由于产品的参数由于产品的参数y为零件参数的函数，也是随机为零
12、件参数的函数，也是随机变量，记变量，记l(y)为生产一件产品造成的损失，则为生产一件产品造成的损失，则l(y)是是随机函数，且可表达为：随机函数，且可表达为：(1)其中其中生产一件产品的平均损失费用生产一件产品的平均损失费用 (2)沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第十四页，讲稿共四十四页哦4 4、模型中变量的分布及参数的求解、模型中变量的分布及参数的求解（1）首先估计首先估计y的分布的分布 需要解决下面两个问题：需要解决下面两个问题：用什么分布描述用什么分布描述y？估计出分布后，如何计算相应的参数？估计出分布后，如何计算相应的参数？可采用模拟的办法产生一批可采用模拟的办法产生一批X=(X
13、1,X2,X7)的样的样本，这样就得到了本，这样就得到了y的模拟样本，由此可以对的模拟样本，由此可以对y的分的分布进行统计分析。布进行统计分析。沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第十五页，讲稿共四十四页哦 这里采用这里采用MATLAB软件编程进行试验，然后使用软件编程进行试验，然后使用histfit(y)指令根据模拟指令根据模拟y的样本画出的直方图及其正的样本画出的直方图及其正态密度的拟合。态密度的拟合。用上面的程序计算的结果，看来本问题将用上面的程序计算的结果，看来本问题将y视为视为正态分布是合理的。正态分布是合理的。沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第十六页，讲稿共四十四页哦（2）
14、对所提出的对所提出的y为正态分布进行假设检验及参数为正态分布进行假设检验及参数 的相应估计的相应估计拟合拟合检验法来检验检验法来检验y y是否服从正态分布是否服从正态分布方法：皮尔逊方法：皮尔逊 N(,2)，这里，这里和和2可以由可以由y的样本进行矩的样本进行矩估计或极大似然估计，估计或极大似然估计，对均值得检验可直接调用对均值得检验可直接调用ztest、ttest指令来完成，指令来完成，其调用格式如下：其调用格式如下：h,p,ci=ztest(x,mu,sigma,alpha,tail)：均方差：均方差sigma 为已知。为已知。h,p,ci=ttest(x,mu,alpha,tail)：均
15、方差：均方差sigma为未知。为未知。沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第十七页，讲稿共四十四页哦 从结果看：从结果看：p=0.8387，并不是小概率事件，并不是小概率事件，且且h=0，因此所提原假设（即，因此所提原假设（即H0:=0）成立，）成立，结果表明：结果表明：Y仍为正态分布，即：仍为正态分布，即：其概率密度函数其概率密度函数为为：因此，大批生产时平均每件产品的质量损失费用为：因此，大批生产时平均每件产品的质量损失费用为：(3)沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第十八页，讲稿共四十四页哦5 5、模型解析表达式最终的确定、模型解析表达式最终的确定产品总费用零件总成本质量损失费用。
16、产品总费用零件总成本质量损失费用。生产一批生产一批1000件产品总费用的目标函数可写成件产品总费用的目标函数可写成 设设cij为第为第i个参数取第个参数取第j个容差等级时所需成本，第个容差等级时所需成本，第1，2，3容差等级分别表示容差等级分别表示A，B，C等级。等级。设设dij为为0-1变量，如果第变量，如果第i个参数取第个参数取第j个容差等级个容差等级则取值为则取值为1，否则取值为，否则取值为0。(4)沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第十九页，讲稿共四十四页哦最终数学模型如下：最终数学模型如下：(5)沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第二十页，讲稿共四十四页哦回归模型回归模型是用
17、统计分析方法建立的最常用的一类模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型.通过对数据的通过对数据的统计分析统计分析，找出与数据拟合最好的模型，找出与数据拟合最好的模型.不涉及回归分析的数学原理和方法不涉及回归分析的数学原理和方法.通过通过实例实例讨论如何选择不同类型的模型讨论如何选择不同类型的模型.对软件得到的结果进行对软件得到的结果进行分析分析，对模型进行，对模型进行改进改进.由于客观事物内部规律的复杂及人们认识程度的限制由于客观事物内部规律的复杂及人们认识程度的限制,无法分无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型模型.三、三
18、、统计回归模型统计回归模型沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第二十一页，讲稿共四十四页哦例例3.3.香皂的销售量香皂的销售量 问问题题建立建立香皂销售量与价格、广告投入之间的香皂销售量与价格、广告投入之间的模型模型;预测预测在不同价格和广告费用下的香皂在不同价格和广告费用下的香皂销售量销售量.收集了收集了30个销售周期本公司香皂销售量、价格、广告费个销售周期本公司香皂销售量、价格、广告费用，及同期其他厂家同类牙膏的平均售价用，及同期其他厂家同类牙膏的平均售价.9.260.556.804.253.70307.930.055.803.853.80298.510.256.754.003.7527
19、.38-0.055.503.803.851销售量销售量(百万块百万块)价格差价格差（元）（元）广告费用广告费用(百万元百万元)其他厂家其他厂家价格价格(元元)本公司价本公司价格格(元元)销售销售周期周期沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第二十二页，讲稿共四十四页哦基本模型基本模型y 公司香皂销售量公司香皂销售量x1其他厂家与本公司其他厂家与本公司价格差价格差x2公司广告费用公司广告费用x2yx1yx1,x2解释变量解释变量(回归变量回归变量,自变量自变量)y被解释变量（因变量）被解释变量（因变量）0,1,2,3 回归系数回归系数 随机随机误差（误差（均值为零的正态均值为零的正态分布随机变量
20、）分布随机变量）沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第二十三页，讲稿共四十四页哦MATLAB 统计工具箱统计工具箱 模型求解模型求解b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,alpha)输入输入 x=n 4数据矩阵数据矩阵,第第1列为全列为全1向向量量alpha(置信置信水平水平,0.05)b 的的估计值估计值 bintb的置信区间的置信区间 r 残差向量残差向量y-xb rintr的置信区间的置信区间 Stats检验统计量检验统计量 R2,F,p,s2 yn维数据向量维数据向量输出输出 由数据由数据 y,x1,x2估计估计 参数参数参数估计值参数估计值置信区间置信区间
21、17.32445.7282 28.92061.30700.6829 1.9311-3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 R2=0.9054 F=82.9409 p0.0001 s2=0.0490 0 1 2 3沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第二十四页，讲稿共四十四页哦结果分析结果分析y的的90.54%可由模型确定可由模型确定 参数参数参数估计值参数估计值置信区间置信区间17.32445.7282 28.92061.30700.6829 1.9311-3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 R2=0.9
22、054 F=82.9409 p0.0001 s2=0.0490 0 1 2 3F远超过远超过F检验的临界值检验的临界值 p远小于远小于=0.05 2的置信区间包含零点的置信区间包含零点(右端点距零点很近右端点距零点很近)x2对因变量对因变量y 的的影响不太显著影响不太显著x22项显著项显著 可将可将x2保留在模型中保留在模型中 模型从整体上看成立模型从整体上看成立沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第二十五页，讲稿共四十四页哦销售量预测销售量预测 价格差价格差x1=其他厂家其他厂家价格价格x3-本公司本公司价格价格x4估计估计x3调整调整x4控制价格差控制价格差x1=0.2元，投入广告费元，
23、投入广告费x2=6.5百万元百万元销售量预测区间为销售量预测区间为 7.8230，8.7636（置信度（置信度95%）上限用作库存管理的目标值上限用作库存管理的目标值 下限用来把握公司的现金流下限用来把握公司的现金流 若估计若估计x3=3.9，设定，设定x4=3.7，则可以，则可以95%的把握知道销的把握知道销售额在售额在 7.8320 3.7 29（百万元）以上（百万元）以上控制控制x1通过通过x1,x2预测预测y(百万支百万支)沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第二十六页，讲稿共四十四页哦模型改进模型改进x1和和x2对对y的的影响独立影响独立 参数参数参数估计值参数估计值置信区间置信区
24、间17.32445.7282 28.92061.30700.6829 1.9311-3.6956-7.4989 0.1077 0.34860.0379 0.6594 R2=0.9054 F=82.9409 p0.0001 s2=0.0426 0 1 2 3参数参数参数估计值参数估计值置信区间置信区间29.113313.7013 44.525211.13421.9778 20.2906-7.6080-12.6932 -2.5228 0.67120.2538 1.0887-1.4777-2.8518 -0.1037 R2=0.9209 F=72.7771 p3P 0.368 0.368 0.184
25、 0.061 0.019状态转移阵状态转移阵 沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第三十九页，讲稿共四十四页哦模型建立模型建立 状态概率状态概率 马氏链的基本方程马氏链的基本方程正则链正则链 稳态概率分布稳态概率分布 w 满足满足 wP=w已知初始状态，可预测第已知初始状态，可预测第n周周初库存量初库存量Sn=i 的概率的概率n,状态概率状态概率 正则链正则链沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第四十页，讲稿共四十四页哦第第n周失去销售机会的概率周失去销售机会的概率 n充分大时充分大时 模型求解模型求解 从长期看，失去销售机会的可能性大约从长期看，失去销售机会的可能性大约 10%。1.估计
26、失去销售机会的可能性估计失去销售机会的可能性D 0 1 2 3 3P 0.368 0.368 0.184 0.061 0.019存贮策略的评价指标存贮策略的评价指标0.105沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第四十一页，讲稿共四十四页哦模型求解模型求解 第第n周平周平均售量均售量从长期看，每周的平均销售量为从长期看，每周的平均销售量为 0.857(架架)n充分大时充分大时 需求不超过存量需求不超过存量,需求被售需求被售需求超过存量需求超过存量,存量被售存量被售思考：为什么每周的平均销售量略小于平均需求量思考：为什么每周的平均销售量略小于平均需求量?2.估计每周的平均销售量估计每周的平均销售
27、量存贮策略的评价指标存贮策略的评价指标每周平均需求量每周平均需求量1架架0.857沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第四十二页，讲稿共四十四页哦敏感性分析敏感性分析 当平均需求在每周当平均需求在每周1(架架)附近波动附近波动时，最终结果有多大变化。时，最终结果有多大变化。设设Dn服从均值服从均值 的泊松分布的泊松分布 状态转移阵状态转移阵 0.80.91.01.11.2P0.0730.0890.1050.1220.139第第n周周(n充分大充分大)失去销售机会的概率失去销售机会的概率 当平均需求当平均需求(=1.0)增长增长(或减少或减少)10%时，时，失去销售机会的概率失去销售机会的概率P将增长将增长(或减少或减少)约约15%。沈阳建筑大学沈阳建筑大学 理学院理学院第四十三页，讲稿共四十四页哦感谢大家观看第四十四页，讲稿共四十四页哦