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1、变分法求解薄板的强度问题1现在学习的是第1页，共18页回顾回顾l逆法Navier法 （双三角级数法）l半逆法Levy法 （单三角级数法）l迭加法l正规解法2现在学习的是第2页，共18页一一.薄板形变势能的计算薄板形变势能的计算基于弹性体形变势能计算公式简化为3现在学习的是第3页，共18页用挠度w函数表示对于没有自由边板，简化为4现在学习的是第4页，共18页外力功外力功外力势能外力势能薄板总势能薄板总势能5现在学习的是第5页，共18页二二.瑞次法求解步骤瑞次法求解步骤l分析边条（标出位移边条，同逆法半逆法）l选取函数，满足位移边条，待定系数l计算板形变势能l建立平衡关系，使形变势能一阶变分是由形
2、变势能对系数求偏导来实现的6现在学习的是第6页，共18页l回代定挠度l求内力7现在学习的是第7页，共18页1.注意事项注意事项l瑞次法选取的挠度函数必须满足所有的位移边条，不必须满足力的边条l如能预先满足力的边条，可能得到更精确的解l最好不要预先满足实际上不存在的边界条件三三.瑞次法算例瑞次法算例8现在学习的是第8页，共18页例：矩形板，边界如图所示，受均布荷载 用瑞次法求挠度设9现在学习的是第9页，共18页求形变势能U因为薄板具有自由边，所以用下式求U应用瑞次法解出代入,求出w10现在学习的是第10页，共18页四四.伽辽金法伽辽金法 伽辽金法的基本原理是虚位移原理，即一个平衡系统的力伽辽金法
3、的基本原理是虚位移原理，即一个平衡系统的力对于在虚位移上所做的功应等于零，对于薄板平衡系统，在单对于在虚位移上所做的功应等于零，对于薄板平衡系统，在单位面积上，力为位面积上，力为 ，而虚位移，而虚位移 ，11现在学习的是第11页，共18页选取一个既能满足板的几何边界条件，又能满足内力边界条件的挠度函数对w的变分可由系数Cm的变分来实现将其带入得由于 是任意的12现在学习的是第12页，共18页五五.伽辽金法求解步骤伽辽金法求解步骤1.写出边界条件(同逆法、半逆法、瑞次法)2.选取挠度表达式 互不依赖的待定系数 满足全部边条的函数 同逆法、半逆法、瑞次法 不同的是满足全部边条13现在学习的是第13页，共18页3.确定4.求内力及应力14现在学习的是第14页，共18页伽辽金法算例伽辽金法算例四边固支矩形薄板四边固支矩形薄板边界条件：边界条件：15现在学习的是第15页，共18页选取挠度函数：只取其中一个系数：将其代入式16现在学习的是第16页，共18页17现在学习的是第17页，共18页讨论讨论1.对于同一个固支边矩形板，承受 ，分别用瑞次法和伽辽金法求w，可否选取相同的挠度公式？2.对于四边简支矩形板，承受q=q(x,y)，用伽辽金法求w，试选w=?3.瑞次法和伽辽金法的异同。18现在学习的是第18页，共18页