代数方程与差分方程模型讲稿.ppt

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1、代数方程与差分方程模型第一页，讲稿共四十四页哦 国民经济各个部门之间存在着国民经济各个部门之间存在着相互依存和制约相互依存和制约关系，每关系，每个部门将其他部门的产品或半成品经过加工（个部门将其他部门的产品或半成品经过加工（投入投入）变）变为自己的产品（为自己的产品（产出产出）.根据各部门间根据各部门间投入和产出的平衡投入和产出的平衡关系，确定各部门的关系，确定各部门的产出水平以满足社会的需求产出水平以满足社会的需求.20世纪世纪30年代由美国经济学家列昂节夫提出和研究年代由美国经济学家列昂节夫提出和研究.从静态扩展到动态，与数量经济分析方法日益融合，应从静态扩展到动态，与数量经济分析方法日益

2、融合，应用领域不断扩大用领域不断扩大.6.1 投入产出模型投入产出模型背景背景建立静态投入产出数学模型，讨论具体应用建立静态投入产出数学模型，讨论具体应用.第二页，讲稿共四十四页哦投入产出表投入产出表 国民经济各部门间生产和消耗、投入和产出的数量关系国民经济各部门间生产和消耗、投入和产出的数量关系 产产出出投入投入农业农业工工业业建筑建筑业业运运输输邮电邮电批零批零餐餐饮饮其他其他服服务务外部外部需求需求总产总产出出农业农业464788229131271312842918工工业业499860514444035571223408316814建筑建筑业业593202312426912875运运输邮

3、电输邮电62527128163671464771570批零餐批零餐饮饮79749140431302739272341其他服其他服务务146128527222521954227255414初始投入初始投入1663485165970312183093总总投入投入2918168142875157023415414中国中国2002年投入产出表（产值单位：亿元）年投入产出表（产值单位：亿元）第三页，讲稿共四十四页哦直接消耗系数表直接消耗系数表 产产出出投入投入农业农业工工业业建筑建筑业业运运输邮电输邮电批零餐批零餐饮饮其他服其他服务务农业农业0.1590.0470.0800.0080.0540.002工

4、工业业0.1710.5120.5020.2570.2380.226建筑建筑业业0.0020.0010.0010.0130.0100.023运运输邮电输邮电0.0210.0310.0450.1040.0290.027批零餐批零餐饮饮0.0270.0450.0490.0270.0560.050其他服其他服务务0.0500.0760.0950.1430.0940.100一个部门的单位产出对各个部门的直接消耗一个部门的单位产出对各个部门的直接消耗 中国中国2002年直接消耗系数表年直接消耗系数表 由投入产出表直接得到由投入产出表直接得到 农业每农业每1亿元产出直接消耗亿元产出直接消耗0.159亿元农业

5、产品亿元农业产品 直接消耗直接消耗0.171亿元工业产品亿元工业产品 反映国民经济各个部门之间的投入产出关系反映国民经济各个部门之间的投入产出关系第四页，讲稿共四十四页哦投入产出的数学模型投入产出的数学模型 xi第第i部门的总产出部门的总产出di对第对第i部门的部门的外部需求外部需求xij第第i部门对第部门对第j部门的投入部门的投入aij直接消耗系数直接消耗系数第第j部部门门单位产出对单位产出对第第i部门的直接消耗部门的直接消耗 xij第第j部部门总产门总产出出对对第第i部门的直接消耗部门的直接消耗每个部门的总产出等于总投入每个部门的总产出等于总投入 xj第第j部门的总投入部门的总投入 设设共

6、有共有n个个部门部门第五页，讲稿共四十四页哦技术水平没有明显提高技术水平没有明显提高模型应用模型应用 假设直接消耗系数不变假设直接消耗系数不变 问题问题1 如果某年对农业、工业、建筑业、运输邮电、如果某年对农业、工业、建筑业、运输邮电、批零餐饮和其他服务的外部需求分别为批零餐饮和其他服务的外部需求分别为1500,4200,3000,500,950,3000亿元亿元,问这问这6个部门的总产出分别应为多少个部门的总产出分别应为多少？d=(1500,4200,3000,500,950,3000)T A由直接消耗系数表给出由直接消耗系数表给出6个部门的总产出个部门的总产出 x=(3277,17872,

7、3210,1672,2478,5888)（亿元）（亿元）.求解求解第六页，讲稿共四十四页哦模型应用模型应用 总产总产出出对对外部需求外部需求线线性性dd增加增加1个个单单位位 x的增量的增量若农业的外部需求增加若农业的外部需求增加1单位单位 x为为 的第的第1列列 6个部门的总产出分别增加个部门的总产出分别增加1.2266，0.5624，0.0075，0.0549，0.0709，0.1325单位单位.问题问题2 如果如果6个部门的外部需求分别增加个部门的外部需求分别增加1个单位个单位,问它问它们的总产出应分别增加多少？们的总产出应分别增加多少？求解求解其余外部需求增加其余外部需求增加1单位单位

8、 x为为 的其余各列的其余各列 第七页，讲稿共四十四页哦6.2 CT技术的图像重建技术的图像重建 CT(计算机断层成像计算机断层成像)技术是技术是20世纪世纪50至至70年代由美国年代由美国科学家科马克和英国科学家豪斯费尔德发明的科学家科马克和英国科学家豪斯费尔德发明的.1971年第一代供临床应用的年第一代供临床应用的CT设备问世设备问世.螺旋式螺旋式CT机等新型设备被医疗机构普遍采用机等新型设备被医疗机构普遍采用.CT技术在工业无损探测、资源勘探、生态监测等领技术在工业无损探测、资源勘探、生态监测等领域也得到了广泛的应用域也得到了广泛的应用.背景背景什么是什么是CT，它与传统的，它与传统的X

9、射线成像有什么区别？射线成像有什么区别？第八页，讲稿共四十四页哦光源光源人眼人眼光源光源人眼人眼一个半透明物体嵌入一个半透明物体嵌入5个不同透明度的球个不同透明度的球 概念图示概念图示 单方向观察无法确定球单方向观察无法确定球的数目和透明度的数目和透明度 让物体旋转从多角度观察能分辨让物体旋转从多角度观察能分辨出出5个球及各自的透明度个球及各自的透明度 人体内脏人体内脏胶胶片片 传统的传统的X射线成像原理射线成像原理 CT技术原理技术原理 探探测测器器 X射射线线X光光管管人体内脏人体内脏CT技术技术:在在不同深度不同深度的断面上的断面上,从从各个角度各个角度用探用探测测器器接收旋接收旋转的转

10、的X光管发出、穿过人体而使光管发出、穿过人体而使强度衰减的射线强度衰减的射线;经过经过测量和计算测量和计算将人体器官和组织的将人体器官和组织的影像影像重新重新构建构建.图像图像重建重建 第九页，讲稿共四十四页哦X射线强度衰减与图像重建的数学原理射线强度衰减与图像重建的数学原理 射线强度的衰减率射线强度的衰减率与强度成正比与强度成正比.I射线强度射线强度 l物质在射线方向的厚度物质在射线方向的厚度 物质对射线的衰减系数物质对射线的衰减系数 I0入射入射强强度度 射线沿直线射线沿直线L穿行穿行,穿过由不同穿过由不同衰减系数的物质组成的非均匀衰减系数的物质组成的非均匀物体物体(人体器官人体器官).I

11、0LOyx(x,y)第十页，讲稿共四十四页哦X射线强度衰减与图像重建的数学原理射线强度衰减与图像重建的数学原理 右端数值可从右端数值可从CT 的测量数据得到的测量数据得到 多条直线多条直线L的线积分的线积分 被积函数被积函数(x,y)FQ(q)与与Q相距相距q的直的直线线L的的线积线积分分Pf(L)对对所有所有q的平均的平均值值 拉东变换拉东变换 拉东逆变换拉东逆变换 图像图像重建重建反映人体器官大小、形状、密度的图像反映人体器官大小、形状、密度的图像 数学数学原理原理实际上只能在有限条直线上得到投影实际上只能在有限条直线上得到投影(线积分线积分).图像重建在数学方法上的进展，为图像重建在数学

12、方法上的进展，为CT技术在各个领域成技术在各个领域成功的和不断拓广的应用提供了必要条件功的和不断拓广的应用提供了必要条件.第十一页，讲稿共四十四页哦图像重建的代数模型图像重建的代数模型 lj每个像素对射线的衰减系数是常数每个像素对射线的衰减系数是常数 m个像素个像素(j=1,m),n束射线束射线(i=1,n)Li的的强强度度测测量量数据数据 j像素像素j的衰减系数的衰减系数 lj射射线线在像素在像素j中的穿行中的穿行长长度度 J(Li)射射线线Li穿穿过过的像素的像素j的集合的集合 像素像素j 射线射线Li第十二页，讲稿共四十四页哦jLilij图像重建的代数模型图像重建的代数模型 常用算法常用

13、算法 设像素的边长和射线的宽度均为设像素的边长和射线的宽度均为 中心线法中心线法 aij射射线线Li的中心的中心线线在像素在像素j内的内的长长度度lij与与之比之比.面积法面积法 aij射射线线Li的中心的中心线线在像素在像素j内的面内的面积积sij与与之比之比.sij中心法中心法 aij=1射射线线Li经过经过像素像素j的中心点的中心点.第十三页，讲稿共四十四页哦图像重建的代数模型图像重建的代数模型 中心法的简化形式中心法的简化形式 假定射线的宽度为零假定射线的宽度为零,间距间距 aij=1 Li经过经过像素像素j内任一点内任一点987654321L4L8L7L6L5L3L2L1根据根据A和

14、和b,由由 确定像素的衰减系数向量确定像素的衰减系数向量x m和和n很大且很大且m n,方程有无穷多解方程有无穷多解+测量误差和噪声测量误差和噪声 在在x和和e满满足的足的最优准则下估计最优准则下估计x 代数重建技术代数重建技术(ART)第十四页，讲稿共四十四页哦6.3 原子弹爆炸的能量估计与量纲分析原子弹爆炸的能量估计与量纲分析1945年年7月月16日美国科学家在新墨西哥州的阿拉莫日美国科学家在新墨西哥州的阿拉莫戈多沙漠试爆了全球第一颗原子弹戈多沙漠试爆了全球第一颗原子弹,震惊世界震惊世界!当时资料是保密的当时资料是保密的,无法准确估计爆炸的威力无法准确估计爆炸的威力.英国物理学家泰勒研究了

15、两年后美国公开的录像带英国物理学家泰勒研究了两年后美国公开的录像带,利用利用数学模型估计数学模型估计这次爆炸释放的能量为这次爆炸释放的能量为19.2103t.后来公布爆炸实际释放后来公布爆炸实际释放的能量为的能量为21103t 第十五页，讲稿共四十四页哦t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)0.1011.10.8034.21.5044.43.5361.115.0106.50.2419.90.9436.31.6546.03.8062.925.0130.00.3825.41.0838.91.7946.94.0764.334.0145.00.522

16、8.81.2241.01.9348.74.3465.653.0175.00.6631.91.3642.83.2659.04.6167.362.0185.0泰勒测量：泰勒测量：时刻时刻t 所对应的所对应的“蘑菇云蘑菇云”的的半径半径r原子弹爆炸的能量估计原子弹爆炸的能量估计爆炸产生的冲击波以爆炸点为中心呈球面向四周传播爆炸产生的冲击波以爆炸点为中心呈球面向四周传播,爆炸爆炸的能量越大，在一定时刻冲击波传播得越远的能量越大，在一定时刻冲击波传播得越远.冲击波由爆炸形成的冲击波由爆炸形成的“蘑菇云蘑菇云”反映出来反映出来.泰勒用泰勒用量纲分析方法量纲分析方法建立数学模型建立数学模型,辅以小型试验辅以

17、小型试验,又利又利用测量数据对爆炸的能量进行估计用测量数据对爆炸的能量进行估计.第十六页，讲稿共四十四页哦物物理理量量的的量量纲纲长度长度 l 的量纲记的量纲记 L=l质量质量 m的量纲记的量纲记 M=m时间时间 t 的量纲记的量纲记 T=t动力学中动力学中基本量纲基本量纲 L,M,T速度速度 v 的量纲的量纲 v=LT-1导出量纲导出量纲加速度加速度 a 的量纲的量纲 a=LT-2力力 f 的量纲的量纲 f=LMT-2引力常数引力常数 k 的量纲的量纲 k对无量纲量对无量纲量，=1(=L0M0T0)量纲齐次原则量纲齐次原则=fl2m-2=L3M-1T-2在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲

18、齐次原则在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则,确定确定各物理量之间的关系各物理量之间的关系.第十七页，讲稿共四十四页哦量纲齐次原则量纲齐次原则等式两端的量纲一致等式两端的量纲一致量纲分析量纲分析利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系.例：单摆运动例：单摆运动lmgm求摆动周期求摆动周期 t 的表达式的表达式设物理量设物理量 t,m,l,g 之间有关系式之间有关系式 1,2,3 为待定系数，为待定系数，为无量纲量为无量纲量(1)的量纲表达式的量纲表达式与与 对比对比第十八页，讲稿共四十四页哦对对 x,y,z的两组测量值的两组测量值x1,y1,z1 和和

19、x2,y2,z2,p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)为什么假设这种形式为什么假设这种形式?设设p=f(x,y,z)x,y,z的量纲单位的量纲单位缩小缩小a,b,c倍倍p=f(x,y,z)的形式为的形式为量纲齐量纲齐次原则次原则单摆运动单摆运动第十九页，讲稿共四十四页哦单摆运动中单摆运动中 t,m,l,g 的一般表达式的一般表达式y1y4 为待定常数为待定常数,为无量纲量为无量纲量基本解基本解第二十页，讲稿共四十四页哦设设 f(q1,q2,qm)=0 ys=(ys1,ys2,ysm)T,s=1,2,m-rF(1,2,m-r)=0 与与 f(q1,q2,qm)=0 等价等价

20、,F未定未定.定理定理(Buckingham)是与量纲单位无关的物理定律，是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,Xn 是基本是基本量纲量纲,n m,q1,q2,qm 的量纲可表为的量纲可表为量纲矩阵记作量纲矩阵记作线性齐次方程组线性齐次方程组有有 m-r 个基本解，记作个基本解，记作为为m-r 个相互独立的无量纲量个相互独立的无量纲量,且且则则第二十一页，讲稿共四十四页哦记爆炸能量为记爆炸能量为E，将，将“蘑菇云蘑菇云”近似看成一个球形近似看成一个球形.时刻时刻 t 球的半径为球的半径为 rt,E空气密度空气密度,大气压强大气压强P基本量纲：基本量纲：L,M,T 原子弹爆炸能量估计的量纲分析

21、方法建模原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模 r与哪些因素有关？与哪些因素有关？r t E P LMT量纲矩阵量纲矩阵 第二十二页，讲稿共四十四页哦y=(1,-2/5,-1/5,1/5,0)y=(0,6/5,-2/5,-3/5,1)T原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模 有有2个基本解个基本解两个无两个无量纲量量纲量第二十三页，讲稿共四十四页哦原子弹爆炸能量估计的数值计算原子弹爆炸能量估计的数值计算时间时间 t 非常短非常短能量能量 E 非常大非常大 泰勒泰勒根据一些小型爆炸试验的数据根据一些小型爆炸试验的数据建议建议用用r,t 的实际数据做平均的实际数据做

22、平均空气密度空气密度 =1.25(kg/m3)1103t(TNT能量能量)=4.1841012J E=19.7957(103t)E=8.28251013(J)实际值实际值21 103t第二十四页，讲稿共四十四页哦泰勒的泰勒的计算计算tr最小二乘法拟合最小二乘法拟合 r=atbE=8.02761013(J),即即19.2 103t取取y平均值得平均值得c=6.9038 模型检验模型检验b=0.40582/5第二十五页，讲稿共四十四页哦量纲分析法的评注量纲分析法的评注 物理量的选取物理量的选取 基本量纲的选取基本量纲的选取 基本解的构造基本解的构造 结果的局限性结果的局限性 ()=0中包括哪些物理

23、量是至关重要的中包括哪些物理量是至关重要的.基本量纲个数基本量纲个数n;选哪些基本量纲选哪些基本量纲.有目的地构造有目的地构造 Ay=0 的基本解的基本解.方法的普适性方法的普适性函数函数F和无量纲量未定和无量纲量未定.不需要特定的专业知识不需要特定的专业知识.第二十六页，讲稿共四十四页哦物理模拟示例：物理模拟示例：波浪对航船的阻力波浪对航船的阻力航船阻力航船阻力 f航船速度航船速度v,船体尺寸船体尺寸l,浸没面积浸没面积 s,海海水密度水密度,重力加速度重力加速度g.量纲分析在物理模拟中的应用量纲分析在物理模拟中的应用 物理模拟物理模拟:按照一定的按照一定的比例尺寸比例尺寸构造它的物理模型构

24、造它的物理模型,通过对通过对模型的研究得出原型的结果模型的研究得出原型的结果.量纲分析可以指导物理模拟中量纲分析可以指导物理模拟中比例尺寸比例尺寸的确定的确定.第二十七页，讲稿共四十四页哦物理模拟示例：物理模拟示例：波浪对航船的阻力波浪对航船的阻力定理定理 原型船原型船模型船模型船 模型船的模型船的 均已知均已知 当原型船的当原型船的 给定后计算给定后计算 f物理物理模拟模拟第二十八页，讲稿共四十四页哦物理模拟示例：物理模拟示例：波浪对航船的阻力波浪对航船的阻力原原型型船船模模型型船船模拟模拟条件条件量测模型船阻力量测模型船阻力f，可计算，可计算 f.按一定尺寸比例建造按一定尺寸比例建造模型船

25、模型船,并调节船速并调节船速.第二十九页，讲稿共四十四页哦无量纲化示例：火箭发射无量纲化示例：火箭发射m1m2xrv0g星球表面竖直发射火箭星球表面竖直发射火箭.初速初速v,星球星球半径半径r,星球表面重力加速度星球表面重力加速度g.研究火箭高度研究火箭高度 x 随时间随时间 t 的变化规律的变化规律.t=0 时时 x=0,火箭质量火箭质量m1,星球质量星球质量m2牛顿第二定律，万有引力定律牛顿第二定律，万有引力定律3个独立参数个独立参数第三十页，讲稿共四十四页哦用无量纲化方法减少独立参数个数用无量纲化方法减少独立参数个数x=L,t=T,r=L,v=LT-1,g=LT-2变量变量 x,t 和独

26、立参数和独立参数 r,v,g 的的量纲量纲用用参数参数r,v,g的组合的组合,分别分别构造与构造与x,t具有相同具有相同量纲的量纲的xc,tc（特征尺度）（特征尺度）无量纲变量无量纲变量如如利用新变量利用新变量将被简化将被简化令令第三十一页，讲稿共四十四页哦 xc,tc的不同构造的不同构造1）令 为无量纲量为无量纲量用无量纲化方法减少独立参数个数用无量纲化方法减少独立参数个数的不同简化结果的不同简化结果第三十二页，讲稿共四十四页哦3）令 为无量纲量为无量纲量2）令 为无量纲量为无量纲量用无量纲化方法减少独立参数个数用无量纲化方法减少独立参数个数第三十三页，讲稿共四十四页哦1)2)3)的共同点的

27、共同点只含只含1个参数个参数无量纲量无量纲量 解解1)2)3)的重要差别的重要差别考察无量纲量考察无量纲量在在1)2)3)中能否忽略以中能否忽略以 为因子的项？为因子的项？1)忽略忽略 项项无解无解不能忽略不能忽略 项项无量纲无量纲化方法化方法第三十四页，讲稿共四十四页哦2)3)忽略忽略 项项不能忽略不能忽略 项项忽略忽略 项项1)2)3)的重要差别的重要差别无量纲无量纲化方法化方法第三十五页，讲稿共四十四页哦火箭发射过程火箭发射过程中引力中引力m1g不变不变 即即 x+r r原原问问题题可以忽略可以忽略 项项是原问题是原问题的近似解的近似解1)2)3)的重要差别的重要差别无量纲化方法无量纲化

28、方法第三十六页，讲稿共四十四页哦为什么为什么3)能忽略能忽略 项，得到原问题近似解，而项，得到原问题近似解，而1)2)不能不能?1）令）令2）令）令3）令）令火箭到达最高点时间为火箭到达最高点时间为v/g,高度为高度为v2/2g,大体上具有单位尺度大体上具有单位尺度项可以忽略项可以忽略项不能忽略项不能忽略无量纲化方法无量纲化方法第三十七页，讲稿共四十四页哦 选择特征尺度的一般讨论见：选择特征尺度的一般讨论见：林家翘著林家翘著自然自然科学中确定性问题的应用数学科学中确定性问题的应用数学无无 量量 纲纲 化化 无量纲化无量纲化是研究物理问题常用的数学方法是研究物理问题常用的数学方法.选择选择特征尺

29、度特征尺度主要依赖于物理知识和经验主要依赖于物理知识和经验.恰当地选择特征尺度可以减少独立参数个数，恰当地选择特征尺度可以减少独立参数个数，还可以辅助确定舍弃哪些次要因素还可以辅助确定舍弃哪些次要因素.第三十八页，讲稿共四十四页哦6.4 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型问问 题题供大于求供大于求现现象象 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定?当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定?价格下降价格下降减少产量减少产量增加产量增加产量价格上涨价格上涨供不应求供不应求 描述商品数量与价格的变化规律描述商品数量

30、与价格的变化规律.商品商品数量数量与与价格价格在振荡在振荡第三十九页，讲稿共四十四页哦蛛蛛 网网 模模 型型gx0y0P0fxyOxk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格.消费者的需求关系消费者的需求关系生产者的供应关系生产者的供应关系减函数减函数增函数增函数需求函数需求函数f与与g的交点的交点P0(x0,y0)平衡点平衡点一旦一旦xk=x0，则，则yk=y0,且且 xk+1=xk+2=x0,yk+1=yk+2=y0 供应函数供应函数第四十页，讲稿共四十四页哦xyOfgy0 x0P0设设x1偏离偏离x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是稳定平衡点是

31、稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点是不稳定平衡点xyOy0 x0P0fg 曲线斜率曲线斜率蛛蛛 网网 模模 型型 第四十一页，讲稿共四十四页哦在在P0点附近用直线近似曲线点附近用直线近似曲线P0稳定稳定P0不稳定不稳定方方 程程 模模 型型方程模型与蛛网模型的一致方程模型与蛛网模型的一致第四十二页，讲稿共四十四页哦 商品数量减少商品数量减少1单位单位,价格上涨幅度价格上涨幅度 价格上涨价格上涨1单位单位,(下时段下时段)供应的增量供应的增量考察考察 ,的含义的含义 消费者对需求的敏感程度消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度生产者对价格的敏感程度 小小,有利于经济稳定有利于经济稳定 小小,有利于经济稳定有利于经济稳定结果解释结果解释xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格.经济稳定经济稳定结果解释结果解释第四十三页，讲稿共四十四页哦经济不稳定时政府的干预办法经济不稳定时政府的干预办法1.使使 尽量小，如尽量小，如 =0 以行政手段控制价格不变以行政手段控制价格不变2.使使 尽量小，如尽量小，如 =0靠经济实力控制数量不变靠经济实力控制数量不变xyOy0gfxyOx0gf结果解释结果解释需求曲线变为水平需求曲线变为水平供应曲线变为竖直供应曲线变为竖直第四十四页，讲稿共四十四页哦