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1、 第一章 三角形的证明 13 线段的垂直平分线 1.如图，已知线段 a、h，作等腰ABC，使 ABAC，且 BCa，BC 边上的高 ADh.张红的作法是：作线段 BCa；作线段 BC 的垂直平分线 MN，MN 与 BC 相交于点 D；在直线 MN 上截取线段 h；连接 AB、AC，则ABC 为所求的等腰三角形上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是()A.B.C.D.【答案】C【解析】在直线 MN 上截取线段 h，带有随意性，与作图语言的准确性不相符 故选 C 2.如图，在ABC 中，ABAC，A120，BC6cm，AB 的垂直平分线交 BC 于点 M，交 AB 于点 E，AC 的垂直平分线
2、交 BC 于点 N，交 AC 于点 F，则 MN 的长为()A.4cm B.3cm C.2cm D.1cm【答案】C【解析】连接 AM、AN、过 A 作 ADBC 于 D，如图所示：在ABC 中，AB=AC，A=120，BC=6cm，B=C=30，BD=CD=3cm，AB=cm=AC，AB 的垂直平分线 EM，BE=12AB=cm 同理 CF=cm，BM=2cm，同理 CN=2cm，MN=BC-BM-CN=2cm，故选 C【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，含 30 度角的直角三角形性质，解直角三角形等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力 3.如图，等
3、腰ABC 中，ABAC，DBC15，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，则A 的度数是_.【答案】50【解析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得 AD=BD，根据等边对等角可得A=ABD，然后表示出ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得C=ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可 解：MN 是 AB 的垂直平分线，AD=BD，A=ABD，DBC=15，ABC=A+15，AB=AC，C=ABC=A+15，A+A+15+A+15=180，解得A=50 4.如图，在锐角三角形 ABC 中，BAC60，边 AC、AB 的垂直平分线交于点 O，交 AC、AB 于点 D、E
4、，则BOC 等于_.【答案】120【解析】AB,AC 的垂直平分线交于点 O,OA=OB=OC OAB=OBA,OAC=OCA OAB+OAC=OBA+OCA=A=60 OBC+OCB=180-2*60=60 BOC=180-60=120.故答案是：120.5.在ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得到的锐角为 50，则B 等于_.【答案】70或 20【解析】试题分析：当ABC 是锐角三角形时，则B=70，当ABC 是钝角三角形时，则B=20.考点：(1)、等腰三角形的性质；(2)、分类讨论思想 6.如图，有 A、B、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小
5、区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在()A.在 AC、BC 两边高线的交点处 B.在 AC、BC 两边中线的交点处 C.在A、B 两内角平分线的交点处 D.在 AC、BC 两边垂直平分线的交点处【答案】D 7.如图，点 D 在 BC 上，DEAB，DFAC，垂足分别为 E、F，DEDF.求证：AD 垂直平分 EF.【答案】见解析【解析】试题分析：根据直角三角形的判定定理证明 RtAEDRtAFD，得到 AE=AF，根据线段垂直平分线的判定定理证明结论 试题解析：在 RtAED 和 RtAFD 中，RtAEDRtAFD（HL），AE=AF，又DE=DF，AD 是 EF
6、 的垂直平分线，即 AD 垂直平分 EF 8.如图，在ABC 中，ACB90，D 是 BC 延长线上一点，E 是 BD 垂直平分线与 AB 的交点，DE 交 AC 于点 F.求证：点 E 在 AF 的垂直平分线上 【答案】见解析【解析】试题分析：过 E 作 EG 垂直于 AC，交 AC 于 G，可得出 EGBD 故AEG=B，D=DEG再根据 E是 BD 的垂直平分线与 AB 的交点可得出B=D，根据 ASA 定理得出AEGFEG，进而可得出结论 试题解析：证明：如图所示：过 E 作 EG 垂直于 AC，交 AC 于 G，ACB=90，EGBD，AEG=B，D=DEG E 是 BD 的垂直平分
7、线与 AB 的交点，BE=DE，B=D，AEG=DEG 在AEG 与FEG 中，AEGFEG（ASA），EA=EF 又EG 垂直于 AC，EG 是 AC 的垂直平分线，点 E 在 AF 的垂直平分线上 9.如图，在ABC 中，ABAC，BAC120，AB 的垂直平分线交 AB 于点 E，交 BC 于点 F.若 BF3cm.求 BC.【答案】9cm 试题解析：在ABC 中，AB=AC，A=120，B=C=30，AB 的垂直平分线 EF，AF=BF，BAF=B=30，又BF=3,AF=3,又BAC120，CAF=120-30=90，在ACF 中，FAC=90，C=30，CF=2AF=6，BC=BF
8、+CF=3+6=9 10.如图，ABC 中，ABAC，A36，AC 的垂直平分线交 AB 于 E，D 为垂足，连接 EC.求ECD 的度数；【答案】36【解析】试题分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AE=CE，然后根据等边对等角可得ECD=A；试题解析：ED 垂直平分 AC，AE=CE，ECD=A，A=36，ECD=36；11.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离_.【答案】相等【解析】根据线段垂直平分线的性质可得：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故答案是：相等.12.如图，已知线段 AB.(1)用尺规作图的方法作出线段 AB 的垂直平分线 l(保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)中所作的直线 l 上任意取的两点 M、N(在线段 AB 的上方)，连接 AM、AN、BM、BN.求证：MANMBN.【答案】见解析 【解析】（1）根据线段垂直平分线的性质作图。（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，可得 AM=BM，AN=BN。MN 是公共边，从而 SSS可证得AMNBMN，进而得到MAN=MBN 的结论。