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1、专题 20 立体几何中的平行与垂直问题 一、题型选讲 题型一、线面平行与垂直 知识点拨：证明直线与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆直线与平面的平行与垂直判定定理和性质 定理，切记不可缺条件。直线与平面的平行有两种方法：一是在面内找线；二是通过面面平行转化。直线 与平面垂直关键是找两条相交直线 例 1、（2019 南通、泰州、扬州一调）如图，在四棱锥 PABCD 中，M,N 分别为棱 PA,PD的中点.已知 侧面 PAD 丄底面 ABCD,底面 ABCD 是矩形，DA=DP.求证：（1）MN平面 PBC；MD 丄平面 PAB.【证明】（1）在四棱锥 P-ABCD 中，M,N 分别为棱 PA,
2、PD的中点，所以 MNAD.（2分）又底面 ABCD 是矩形，所以 BCAD.所以 MNBC.（4分）又 BCU 平面 PBC，MNQ 平面 PBC，所以 MN平面 PBC.（6分）（2）因为底面 ABCD 是矩形，所以 AB 丄 AD.又侧面 PAD 丄底面 ABCD，侧面 PAD n 底面ABCD=AD,ABU 底面 ABCD，所以 AB 丄侧面 PAD.（8分）又 MDU 侧面 PAD，所以 AB 丄 MD.（10分）因为DA=DP,又M为AP的中点，从而MD 丄 PA.（12分）又 PA，AB 在平面 PAB 内，PAn AB=A，所以 MD 丄平面 PAB.（14分）例 2、（201
3、9 扬州期末）如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，四边形 AA1B1B 为矩形，平面 AA1B1B 丄平面 ABC,点 E，F 分别是侧面 AA1B1B，BB1C1C 对角线的交点.（1）求证：EF平面 ABC；（2）求证：BB丄 AC.规范解答（1）在三棱柱 ABCA1B1C1中，四边形 AA1B1B,四边形 BB1C1C 均为平行四边形，E,F 分别 是侧面 AA1B1B,BB1C1C 对角线的交点，所以 E,F 分别是 AB1，CB1的中点，所以 EFAC.（4分）因为 EFQ 平面 ABC,ACU 平面 ABC，所以 EF平面 ABC.（8分）（2）因为四边形 AA1B1B 为矩
4、形，所以 BB1丄 AB.因为平面 AA1B1B 丄平面 ABC,且平面 AA1B1B n 平面 ABC=AB,BB1U 平面 AA1B1B,所以 BB1丄平面 ABC.（12分）因为 ACU 平面 ABC，所以 BB1丄 AC.（14分）例 3、（2019 南京、盐城二模）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC,A1C 丄 BC,AB丄 BC1，D,E 分别是 AB1和 BC 的中点.求证：（1）DE 平面 ACC1A1；（2）AE丄平面 BCC1B1.A _ c,规范解答连结 A1B，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1#BB1且 AA1=BB1，所以四边形 AA1B1B 是平
5、行四边形 又因为 D 是 AB1的中点，所以 D 也是 BA1的中点.（2分）在厶 BA1C 中，D 和 E 分别是 BA1和 BC 的中点，所以 DEAC.又因为 DEG 平面 ACC1A1，A1CU 平面 ACC1A1，所以 DE平面 ACC1A1.（6分）（2）由（1）知 DEAC，因为 A1C 丄 BC”所以 BC丄 DE.（8 分）又因为 BC丄 AB1，AB1HDE=D，AB1，DEU 平面 ADE，所以 BC1 丄平面 ADE.又因为 AEU 平在 ADE,所以 AE 丄 BC1.（10分）在厶 ABC 中，AB=AC，E 是 BC 的中点，所以 AE 丄 BC.（12分）因为
6、AE 丄 BC1，AE 丄 BC，BC1HBC=B，BC1，BCU 平面 BCC1B1，所以 AE 丄平面 BCC1B1.（14 分）例 4、（2019 苏锡常镇调研）如图，三棱锥 DABC 中，已知 AC 丄 BC，AC 丄 DC，BC=DC，E，F分别为 BD，CD 的中点求证：（1）EF平面 ABC；（2）BD 丄平面 ACE.所以 EF 平面 ABC.（6分）（2）因为 AC 丄 BC，AC 丄 DC，BCHDC=C，BC，DCU 平面 BCD 所以 AC 丄平面 BCD，（8分）因为 BDU 平面 BCD，所以 AC 丄 BD，（10分）因为 DC=BC，E 为 BD 的中点，所以
7、CE 丄 BD，（12分）因为 ACnCE=C,AC，CEU 平面 ACE，所以 BD 丄平面 ACE.（14分）例 5、（2019 苏州三市、苏北四市二调）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 BCC1B1为正方形，A1B1 丄 B1C1 设 A1C 与 AC1交于点 D,B1C 与 BC1交于点 E.求证：（1）DE平面 ABB1A1；（2）BC丄平面 A1B1C.规范解答（1）因为三棱柱 ABCA1B1C1 为直三棱柱，所以侧面 ACC1A1 为平行四边形又 A1C 与 AC1 交于点 D,所以 D 为 AC的中点，同理，E 为 BC的中点所以 DEAB.（3分）又 ABU 平面
8、 ABBA,DEG 平面 ABBA,所以 DE平面 ABBA.（6分）（2）因为三棱柱 ABCABC为直三棱柱，所以 BB丄平面 ABC.又因为 ABU 平面 ABC,所以 BB丄 ABi.（8分）又 AB丄 BC,BB,BC U 平面 BCCB,BBnBC1=B1，所以 AB丄平面 BCCB.（10 分）又因为 BCU 平面 BCCB1，所以 AB 丄 BC.（12分）又因为侧面 BCCB1为正方形，所以 BC丄 BQ.又 A1B1nB1C=B1，A1B1，B1CU 平面 A1B1C,所以 BC1丄平面 A1B1C.（14分）例 6、（2017 苏北四市一模）如图，在正三棱柱ABCA1B1C
9、1中，已知D,E分别为BC,B1C1的中点，点F 在棱CC1上，且EF丄CD.求证：（1）直线A1E平面ADC1；证法 1 连结ED,因为D,E分别为BC,B1C1的中点，所以B&/BD且B1E=BD,所以四边形BBDE是平行四边形，（2分）所以 BB/DE 且 BB1=DE.又 BBAA且 BB=AA,所以 AA/DE 且 AA1=DE,所以四边形AAED是平行四边形，所以AEAD.（4分）又因为AEG平面ADC,ADU平面ADC，所以直线AE平面ADC.（7分）1 1 1 畀 -1 B 证法 2 连结ED,连结A1C,EC分别交AC”DC1于点M,N,连结MM,则因为D,E分别为BC,B1
10、C1的中点，所以C1ECD且C、E=CD,所以四边形C1EDC是平行四边形，所以N是CE的中点.（2分）因为A1ACC1为平行四边形，所以M是A1C的中点，（4分）所以 MN/AE.又因为AEG平面ADC，MNU平面ADC，所以直线Af 平面ADC、.（7分）（2）在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB丄平面ABC.又ADU平面ABC，所以AD丄BB、.又 AABC是正三角形，且D为BC的中点，所以AD丄BC.（9分）又 BB，BCU 平面 BBCC，BB1ABC=B，所以AD丄平面B,BCC,，又EFU平面BBCC，所以AD丄EF.（11分）又 EF丄CD，CD，ADU平面 ADC,，C,DA
11、AD=D，所以直线EF丄平面ADC,.（14分）题型二、线面与面面平行与垂直 证明平面与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆平面与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记 不可缺条件。平面与平面的平行关键是在一个平面内找两条相交直线；平面与平面垂直可以从二面角入手 页可以从线面垂直进行转化。例 7、（2020 年江苏高考）在三棱柱ABC-A,B,C,中，AB丄AC，B,C丄平面ABC,E，F分别是AC，B,C的 中点（1）求证：EF平面ABC；（2）求证：平面AB,C丄平面ABB,.【解析】（1）由于E,F分别是AC,BC的中点，所以EFIIAB、.由于EF 平面AB】-,AB】u平面ABf】
12、，所以EF/平面ABC.（2）由于BC丄平面ABC，AB 平面ABC，所以BC丄AB.由于AB丄AC,ACcBC C，所以AB丄平面AB】C,由于AB 平面ABB】，所以平面ABC丄平面ABB】.例 8、（2019 宿迁期末）在四棱锥 SABCD 中，SA 丄平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形.（1）求证：平面 SAC 丄平面 SBD；（2）若点 M 是棱 AD 的中点，点 N 在棱 SA 上,且 AN=*NS，求证：SC平面 BMN.规范解答（1）因为 SA 丄平面 ABCD,BDU 平面 ABCD,所以 SA 丄 BD.（2分）又因为底面 ABCD 是菱形，所以 AC 丄 BD.又 S
13、A，ACU 平面 SAC，且 SAHAC=A,所以 BD 丄平面 SAC.（5分）由 BDU 平面 SBD，得平面 SAC丄平面 SBD.（7分）设 AC 与 BM 的交点为 E,连结 NE.由底面 ABCD 是菱形，得 ADBC.”、AE AM AM 1 小、所以 EC=BC=AD=2.（9 分）1 AE AN 1 又因为 AN=2NS，所以EC=NS=2，所以NESC.（II 分）因为 NEU 平面 BMN,SCQ 平面 BMN,所以 SC平面 BMN.（14分）例 9、（2019 苏北四市、苏中三市三调）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，平面BPC 丄平面DPC,A
14、BP BC,E,F分别是PC,AD的中点.求证：(1)BE丄CD；(2)EF平面 PAB.证(1)在APBC中，因为BP BC,E是PC的中点,所以BE丄PC.2 分 又因为平面BPC丄平面DPC,平面BPC 平面DPC PC,BE u平面BPC,所以BE丄平面PCD.5 分 又因为CD u平面DPC,所以BE丄CD.7 分(2)取PB的中点H,连结EH,AH.在APBC中，又因为E是PC的中点，所以 HE/BC,HE 1 BC.9 分 又底面ABCD是平行四边形，F是AD的中点,所以 AF/BC,AF 1BC.所以 HE/AF,HE AF 所以四边形AFEH是平行四边形，所以EF/HA.12
15、 分 又因为EF,平面PAB,HA u平面PAB,所以EF平面PAB.14 分 例 10、(2018 扬州期末)如图，在直三棱柱 ABCABC中，D,E 分别为 AB,(1)求证：B1C1 平面 ADE；(2)若平面 A1DE丄平面 ABB1A1，求证：AB 丄 DE.AC 的中点.规范解答在直三棱柱 ABCABC中，四边形 BBCC是平行四边形，所以 BCBC.（2分）在厶ABC 中，D,E 分别为 AB,AC 的中点，故 BCDE,所以 B1C1#DE.（4分）又 BQ”平面 A1DE，DEU 平面 A1DE，所以 B1C1 平面 A1DE.（7分）（2）如图，在平面 ABB1A1内，过
16、A 作 AF丄 A1D 于 F.因为平面 A1DE 丄平面 A1ABB1，平面 A1DEH 平面 A1ABB1=A1D，AFU 平面 A1ABB1，所以 AF 丄平 面 A1DE.（11 分）又 DEU 平面 A1DE，所以 AF 丄 DE.在直三棱柱 ABCA1B1C1中，AA 丄平面 ABC，DEU 平面 ABC，所以 AA 丄 DE.因为 AFHAA=A,AFU 平面 A1ABB1，AAU 平面 A1ABB1，所以 DE 丄平面 A1ABB1.因为 ABU 平面 A1ABB1，所以 DE 丄 AB.（14分）（注：作 AF 丄 AD 时要交代在平面内作或要交代垂足，否则扣 1 分.）例
17、11、（2017 徐州、连云港、宿迁三检）如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱 PC 上（异于点P，C），平面ABE与棱PD交于点F.（1）求证：ABEF；2）若平面PAD丄平面ABCD，求证：AF丄EF.规范解答（1）因为ABCD是矩形，所以 ABCD（又因为 AB,平面PDC，CD u平面PDC 所以AB平面PDC 又因为AB u平面ABEF，平面ABEF 平面 PDC EF 所以 ABEF.A（2）因为ABCD是矩形，所以AB丄AD 又因为平面PAD丄平面ABCD，平面PAD 平面ABCD=AD AB,平面ABCD,所以AB丄平面PAD.又AF,平面PAD，所以A
18、B丄AF.又由（1）知ABHEF,所以AF丄EF 二、达标训练 1、（2018 无锡期末）如图，ABCD 是菱形，DE 丄平面 ABCD,AFDE,DE=2AF.（1）求证：AC 丄平面 BDE；（2）求证：AC 平面 BEF.规范解答（1）证明：因为 DE 丄平面 ABCD，ACU 平面 ABCD，所以 DE 丄 AC.（2分）因为四边形 ABCD 是菱形，所以 AC 丄 BD，（4分）因为 DE，BDU 平面 BDE，且 DEHBD=D,所以 AC 丄平面 BDE.（6分）证明：设 ACHBD=O,取 BE 中点 G,连结 FG,OG,易知 OGDE 且 OG=2DE.（8 分）因为 AF
19、DE,DE=2AF，所以 AFOG 且 AF=OG,从而四边形 AFGO 是平行四边形，所以FGAO.（10分）因为 FGU 平面 BEF,AOQ 平面 BEF,所以 AO平面 BEF,即卩 AC平面 BEF.（14分）规范解答 如图，取 AB 的中点 P 连结 PM,PB1.因为 P,M 分别是 AB,AC 的中点，所以 PMBC,且 PM=*BC.在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，BCBC,BC=B1C1，又因为 N 是 B1C1的中点，所以 PMBN,且 PM=BN.（2 分）所以四边形 PMNB1是平行四边形，所以 MNPB.（4 分）而 MNQ 平面 ABB1A1，PB1U 平面
20、ABB1A1，所以 MN平面 ABB1A1.（6分）（2）因为三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱，所以 BB丄平面 A1B1C1.又因为 BB1U 平面 ABB1A1，所以平面 ABB1A1丄平面 A1B1C1.（8分）又因为 ZABC=90,所以 B1C1 B1A1.又平面 ABB1A1 n 平面 A1B1C1=B1A1，B1C1U 平面 A1B1C1，所以 B1C丄平面 ABB1A1.（10 分）又因为 A1BU 平面 ABB1A1，所以 B1C 丄 A1B,即 NB丄 A1B.连结 AB1，在平行四边形 ABB1A1中，AB=AA1，所以丄 A1B.又因为 NB1nAB1=B1，且 A
21、B1，NB1U 平面 AB1N,所以 A1B 丄平面 AB1N.（12分）而 ANU 平面 AB1N,所以 AN 丄 A1B.（14分）3、（2018 南京、盐城、连云港二模）如图，已知矩形 ABCD 所在平面与 AABE 所在平面互相垂直,AE=AB,M,N,H 分别为 DE,AB,BE 的中点.（1）求证：MN平面 BEC；（2）求证：AHICE.规范解答（1）解法 1 取 CE 中点 F,连结 FB,MF.因为 M 为 DE 的中点，F 为 CE 的中点，所以 MFCD 且 MF=1CD.（2 分）又因为在矩形 ABCD 中，N 为 AB 的中点，所以 BNCD 且 BN=2CD,所以
22、MFBN 且 MF=BN，所以四边形 BNMF 为平行四边形，所以 MNBF.（4分）又 MNQ 平面 BEC,BFU 平面 BEC,所以 MN平面 BEC.（6分）解法 2 取 AE中点 G,连结 MG,GN.因为 G 为 AE 的中点，M 为 DE 的中点，所以 MGAD.又因为在矩形 ABCD 中，BCAD，所以 MGBC.又因为 MGQ 平面 BEC,BCU 平面 BEC,所以 MG平面 BEC.（2分）因为 G 为 AE 的中点，N 为 AB 的中点，所以 GNBE.又因为 GNQ 平面 BEC,BEU 平面 BEC，所以 GN平面 BEC.又因为 MGHGN=G,MG,GNU 平面
23、 GMN,所以平面 GMN平面 BEC.（4分）又因为 MNU 平面 GMN,所以 MN平面 BEC.（6分）因为四边形 ABCD 为矩形，所以 BC 丄 AB.因为平面 ABCD 丄平面 ABE,平面 ABCDH 平面 ABE=AB,BCU 平面 ABCD，且 BC 丄 AB,所以 BC丄平面 ABE.（8分）因为 AHU 平面 ABE,所以 BC 丄 AH.因为 AB=AE,H 为 BE 的中点，所以 BE 丄 AH.（10分）因为 BCHBE=B,BCU 平面 BEC,BE U 平面 BEC,所以 AH 丄平面 BEC.（12分）又因为 CEU 平面 BEC，所以 AH 丄 CE.（14
24、分）4、（2018 苏州暑假测试）如图，在三棱锥 PABC 中，已知平面 PBC 丄平面 ABC.（1）若 AB丄 BC,CP 丄 PB,求证：CP 丄 PA；若过点 A 作直线 1 丄平面 ABC,求证：1平面 PBC.规范解答（1）因为平面 PBC 丄平面 ABC,平面 PBCn 平面 ABC=BC,ABU 平面 ABC,AB 丄 BC,所 以 AB 丄平面 PBC.（2分）因为 CPU 平面 PBC，所以 CP 丄 AB.（4分）又因为 CP 丄 PB,且 PBnAB=B,PB,ABU 平面 PAB，所以 CP 丄平面 PAB.（6分）又因为 PAU 平面 PAB,所以 CP 丄 PA.
25、（8分）（2）如图，在平面 PBC 内过点 P 作 PD 丄 BC,垂足为 D.因为平面 PBC 丄平面 ABC，又平面 PBCn 平面 ABC=BC,PDU 平面 PBC,所以 PD 丄平面ABC.（11 分）又 1 丄平面 ABC,所以 1PD.又 1Q 平面 PBC,PDU 平面 PBC,所以 1平面 PBC.（14分）解后反思 一般地，已知面面垂直，需要将面面垂直转化为线面垂直，找出两平面的交线后，寻找平面 中是否有直线垂直于另外一个平面，若没有，则在某平面内构造一条线垂直于交线即可 5、（2018 常州期末）如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，PC 丄平面 ABCD,PB=PD,点 Q 是棱 PC上异于 P,C 的一点.（1）求证：BD 丄 AC；（2）过点 Q 和 AD 的平面截四棱锥得到截面 ADQF（点 F 在棱 PB上），求证：QFBC.（2）因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 ADBC又 ADQ 平面 PBC,BCU 平面 PBC,所以AD平 面 PBC.（10 分）又 ADU 平面 ADQF，平面 ADQFn 平面 PBC=QF,所以 ADQF,所以 QFBC.（14分）