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1、2023 学年高考数学模拟测试卷 考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1在三棱锥DABC中，1ABBCCDDA，且,ABBC CDDA M N分别是棱BC，CD的中点，下面四个结论：ACBD；/MN平面ABD；三棱锥A CMN的
2、体积的最大值为212；AD与BC一定不垂直.其中所有正确命题的序号是（）A B C D 2甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；甲同学的平均分比乙同学的平均分高；甲同学的平均分比乙同学的平均分低；甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.以上说法正确的是（）A B C D 3已知角的终边经过点 P(00sin47,cos47)，则 sin(013)=A12 B32 C12 D32 4设函数 21010 0 xxxfxlgxx，若关于x的方程 f xa aR有四个实数解1234ix i ，其中1234xxxx，则1234xxxx的取值范
3、围是（）A0101，B099，C0100，D0，5某学校调查了200 名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是 17.5，30，样本数据分组为 17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是（）A56 B60 C140 D120 6函数 231f xxx在2,1上的最大值和最小值分别为（）A23，-2 B23，-9 C-2，-9 D2，-2 7已知()f x为定义在R上的奇函数，且满足f xf x(4)(),当(0,2)x时，2
4、()2f xx，则(3)f（）A18 B18 C2 D2 851(1)xx展开项中的常数项为 A1 B11 C-19 D51 9己知函数sin,2,2(),2223sin,2,2(),222xxkkkzyxxkkkz的图象与直线(2)(0)ym xm恰有四个公共点11123344,.,A x yB x yC x yD xy，其中1234xxxx，则442 tanxx（）A1 B0 C1 D222 10设函数 f x在R上可导，其导函数为 fx，若函数 f x在1x 处取得极大值，则函数 yxfx的图象可能是（）A B C D 11已知ABC的面积是12,1AB,2BC ,则AC（）A5 B5或
5、 1 C5 或 1 D5 12已知(1)2iaibi（i 为虚数单位，,a bR），则 ab 等于（）A2 B-2 C12 D12 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。1341x的展开式中2x的系数为_ 14已知 1,1P为椭圆22+=142xy内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为_ 15已知数列na的前n项和为nS且满足2nnSa，则数列na的通项na _ 16设数列 na的前 n 项和为nS，且(21)3nnSa，若108aka，则k _.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）已知矩阵1323
6、,2111AB，且二阶矩阵 M 满足 AMB，求 M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量.18（12 分）在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为cos2sinxtyt （t为参数，0），点(0,2)M.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4 2cos4.（1）求曲线2C的直角坐标方程，并指出其形状；（2）曲线1C与曲线2C交于A，B两点，若1117|4MAMB，求sin的值.19（12 分）已知函数2()lnf xxx.（1）若函数()()1 lng xf xax的图象与x轴有且只有一个公共点，求实数a的取值范围；（2）若2()211f xmxm x对
7、任意1,x成立，求实数m的取值范围.20（12 分）已知 ABC 三内角 A、B、C 所对边的长分别为 a，b，c，且 3sin2A+3sin2B4sinAsinB+3sin2C（1）求 cosC 的值；（2）若 a3，c6，求 ABC 的面积 21（12 分）如图，ABC为等腰直角三角形，3ABAC，D 为 AC 上一点，将ABD沿 BD 折起，得到三棱锥1ABCD，且使得1A在底面 BCD 的投影 E 在线段 BC 上，连接 AE.（1）证明：BDAE；（2）若1tan2ABD，求二面角1CBAD的余弦值.22（10 分）已知直线1l：yxb与抛物线2:2(0)C ypx p切于点P，直线
8、2l：2210 xmym 过定点 Q，且抛物线C上的点到点 Q 的距离与其到准线距离之和的最小值为102.（1）求抛物线C的方程及点P的坐标；（2）设直线2l与抛物线C交于(异于点 P)两个不同的点 A、B，直线 PA，PB 的斜率分别为12kk、，那么是否存在实数，使得12kk？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.2023 学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【答案解析】通过证明AC 平面OBD，证得ACBD；通过证明/MNBD，证得/MN平面ABD；求得三棱锥A CM
9、N体积的最大值，由此判断的正确性；利用反证法证得AD与BC一定不垂直.【题目详解】设AC的中点为O，连接,OB OD，则ACOB，ACOD，又OBODO，所以AC 平面OBD，所以ACBD，故正确；因为/MNBD，所以/MN平面ABD，故正确；当平面DAC与平面ABC垂直时，A CMNV最大，最大值为112234448A CMNNACMVV，故错误；若AD与BC垂直，又因为ABBC，所以BC 平面ABD，所以BCBD，又BDAC，所以BD 平面ABC，所以BDOB，因为OBOD，所以显然BD与OB不可能垂直，故正确.故选：D 【答案点睛】本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题
10、真假性的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.2、A【答案解析】由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断,再根据数据集中程度判断.【题目详解】由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为8082812,乙同学成绩的中位数为878887.52,故错误；1=72+76+80+82+86+90=816x甲,1=69+78+87+88+92+96=856x乙,则xx甲乙,故错误,正确；显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故正确,故选:A【答案点睛】本题考查由茎叶图分析数据特征,考查由茎叶图求中位数、平均数.3、A【答案解析】由题意可得三角函数的定义可知：22cos47sincos4
11、7sin 47cos 47，22sin47cossin47sin 47cos 47，则：sin13sincos13cossin13cos47 cos13sin47 sin131cos 4713cos60.2 本题选择 A 选项.4、B【答案解析】画出函数图像，根据图像知：1210 xx，3 41xx，31110 x，计算得到答案.【题目详解】21010 lg0 xxxfxxx，画出函数图像，如图所示：根据图像知：1210 xx，34lglgxx，故3 41xx，且31110 x.故1234330110,99xxxxxx.故选：B.【答案点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用
12、能力，画出图像是解题的关键.5、C【答案解析】试题分析：由题意得，自习时间不少于22.5小时的频率为(0.160.080.04)2.50.7，故自习时间不少于22.5小时的频率为0.7200140，故选 C.考点：频率分布直方图及其应用 6、B【答案解析】由函数解析式中含绝对值，所以去绝对值并画出函数图象，结合图象即可求得在2,1上的最大值和最小值.【题目详解】依题意，151,2323111,13xxf xxxxx ，作出函数 f x的图象如下所示；由函数图像可知，当13x 时，f x有最大值23，当2x 时，f x有最小值9.故选：B.【答案点睛】本题考查了绝对值函数图象的画法，由函数图象求
13、函数的最值，属于基础题.7、C【答案解析】由题设条件 4f xf x，可得函数的周期是4，再结合函数是奇函数的性质将 3f转化为 1f函数值，即可得到结论.【题目详解】由题意，4f xf x，则函数 f x的周期是4，所以，33 41fff，又函数 f x为R上的奇函数，且当0,2x时，22f xx，所以，3112fff .故选：C.【答案点睛】本题考查函数的周期性，由题设得函数的周期是解答本题的关键，属于基础题.8、B【答案解析】展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的，所以可分成三种情况.【题目详解】展开式中的项为常数项，有 3 种情况：（1）5 个括号都出 1，即1T；（2）两个括号
14、出x，两个括号出1()x，一个括号出 1，即2222531()130TCxCx ；（3）一个括号出x，一个括号出1()x，三个括号出 1，即11541()120TCx Cx ；所以展开项中的常数项为1 302011T ，故选 B.【答案点睛】本题考查二项式定理知识的生成过程，考查定理的本质，即展开式中每一项是由每个括号各出一项相乘组合而成的.9、A【答案解析】先将函数解析式化简为|cos|yx，结合题意可求得切点4x及其范围4,2x，根据导数几何意义，即可求得442 tanxx的值.【题目详解】函数sin,2,2(),2223sin,2,2(),222xxkkkzyxxkkkz 即|cos|y
15、x 直线(2)(0)ym xm与函数|cos|yx图象恰有四个公共点，结合图象知直线(2)(0)ym xm与函数cosyx 相切于4x，4,2x，因为sinyx，故444cossin2xkxx，所以4444444sin1221c2 tanos2xxxxxxx.故选：A.【答案点睛】本题考查了三角函数的图像与性质的综合应用，由交点及导数的几何意义求函数值，属于难题.10、B【答案解析】由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间 ,0,0,1,1,和0,1xx处函数的特征即可确定函数图像.【题目详解】函数 f x在R上可导，其导函数为 fx，且函数 f x在1x 处取得极大值，当1x
16、时，0fx；当1x 时，0fx；当1x 时，0fx.0 x 时，0yxfx，01x时，0yxfx，当0 x 或1x 时，0yxfx；当1x 时，0 xfx.故选：B【答案点睛】根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断图像问题常见方法，有一定难度.11、B【答案解析】11sin22ABCSAB BCB，1AB,2BC 12sin22B 若B为钝角，则2cos2B ，由余弦定理得2222cosACABBCB AB BC，解得5AC；若B为锐角，则2cos2B，同理得1AC.故选 B.12、A【答案解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再
17、由复数相等的条件列式求解【题目详解】(1)2iaibi，2aibi，得2a，1b 2ab 故选：A【答案点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、6【答案解析】在二项展开式的通项中令x的指数为2，求出参数值，然后代入通项可得出结果.【题目详解】41x的展开式的通项为414rrrTCx，令422rr，因此，41x的展开式中2x的系数为246C.故答案为：6.【答案点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，涉及二项展开式通项的应用，考查计算能力，属于基础题.14、23
18、0 xy【答案解析】设弦所在的直线与椭圆相交于11,A x y、22,B x y两点，利用点差法可求得直线AB的斜率，进而可求得直线的点斜式方程，化为一般式即可.【题目详解】设弦所在的直线与椭圆相交于11,A x y、22,B x y两点，由于点P为弦的中点，则12121212xxyy，得121222xxyy，由题意得22112222142142xyxy，两式相减得 12121212042xxxxyyyy，所以，直线AB的斜率为1212121222 2144 22xxyyxxyy ，所以，弦所在的直线方程为1112yx ，即230 xy.故答案为：230 xy.【答案点睛】本题考查利用弦的中点
19、求弦所在直线的方程，一般利用点差法，也可以利用韦达定理设而不求法来解答，考查计算能力，属于中等题.15、112n【答案解析】先求得1n 时11a ；再由2nnSa 可得2n 时112nnSa,两式作差可得120nnaa,进而求解.【题目详解】当1n 时,11122Saa,解得11a ；由2nnSa,可知当2n 时,112nnSa,两式相减,得120nnaa,即11(2)2nnaan,所以数列na是首项为1,公比为12的等比数列,所以112nna,故答案为:112n【答案点睛】本题考查由nS与na的关系求通项公式,考查等比数列的通项公式的应用.16、9【答案解析】用1n 换(21)3nnSa 中
20、的 n，得11233(2)nnSan，作差可得13(2)nnaan，从而数列 na是等比数列，再由2810akqa即可得到答案.【题目详解】由233nnSa，得11233(2)nnSan，两式相减，得1233nnnaaa，即13(2)nnaan；又11233Sa，解得13a ，所以数列 na为首项为-3、公比为 3 的等比数列，所以28109akqa.故答案为：9.【答案点睛】本题考查已知na与nS的关系求数列通项的问题，要注意 n 的范围，考查学生运算求解能力，是一道中档题.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、特征值为 1，特征向量为01 【答案解析】设出
21、矩阵 M 结合矩阵运算和矩阵相等的条件可求矩阵 M，然后利用M可求特征值的另一个特征向量.【题目详解】设矩阵 M a bc d，则 AM1 3 3 32 32 1 2 21 1a bac bdc dacbd，所以32332121acbdacbd，解得1,0,1,1abcd，所以 M1 01 1，则矩阵 M 的特征方程为2()(1)0f，解得1，即特征值为 1，设特征值1的特征向量为xy ，则M，即 xxxyy ，解得 x0，所以属于特征值的1的一个特征向量为01 【答案点睛】本题主要考查矩阵的运算及特征量的求解，矩阵运算的关键是明确其运算规则，侧重考查数学运算的核心素养.18、（1）22(2)
22、(2)8xy，以(2,2)为圆心，2 2为半径的圆；（2）15sin4【答案解析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，直接得到2C的直角坐标方程并判断形状；（2）联立直线参数方程与2C的直角坐标方程，根据直线参数方程中t的几何意义结合1117|4MAMB求解出sin的值.【题目详解】解：（1）由4 2cos4，得4cos4sin，所以24cos4 sin，即2244xyxy，22(2)(2)8xy.所以曲线2C是以(2,2)为圆心，2 2为半径的圆.（2）将cos2sinxtyt 代入22(2)(2)8xy，整理得24 cos40tt.设点A，B所对应的参数分别为1t，2t，则124cost
23、t，1 24t t .22121 212121 2411|16cos1617|4444ttt tttttMAMBMAMBMA MBt t，解得21cos16，则215sin1 cos4.【答案点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化以及根据直线参数方程中t的几何意义求值，难度一般.（1）极坐标与直角坐标的互化公式：cos,sinxy；（2）若要使用直线参数方程中t的几何意义，要注意将直线的标准参数方程代入到对应曲线的直角坐标方程中，构成关于t的一元二次方程并结合韦达定理形式进行分析求解.19、（1）02a aae 或（2）1,0【答案解析】（1）求出()g x及其导函数()g x，利用()g x研
24、究()g x的单调性和最值，根据零点存在定理和零点定义可得a的范围（2）令22()()21121lnh xf xmxm xmxmxx，题意说明1,x时，()0h x 恒成立.同样求出导函数()h x，由()h x研究()h x的单调性，通过分类讨论可得()h x的单调性得出结论【题目详解】解（1）函数22()()1 lnln1 lnlng xf xaxxxaxaxx 所以22()2axag xxxx 讨论：当0a 时，2()0g xxx无零点；当0a 时，()0g x，所以()g x在0,上单调递增.取1axe，则2111211()0aaag eee 又 11g，所以 110ag eg，此时函
25、数()g x有且只有一个零点；当0a 时，令()0g x，解得x2a （舍）或2ax 当02ax时，)(0g x，所以()g x在0,2a上单调递减；当2ax 时，()0g x 所以()g x在,2a上单调递增.据题意，得ln0222aaaga，所以0a（舍）或2ae 综上，所求实数a的取值范围为02a aae 或.（2）令22()()21121lnh xf xmxm xmxmxx，根据题意知，当1,x时，()0h x 恒成立.又 1211221xmxhxmxmxx 讨论：若102m，则当1,2xm时，()0h x 恒成立，所以()h x在1,2m上是增函数.又函数 221G xmxmx在21
26、,2mm上单调递增，lnH xx在0,上单调递增，所以存在0,x使()0h x，不符合题意.若12m，则当1,x时，()0h x 恒成立，所以()h x在1,上是增函数，据求解知，12m 不符合题意.若0m，则当1,x时，恒有()0h x，故()h x在1,上是减函数，于是“()0h x 对任意1,x成立”的充分条件是“(1)0h”，即210mm，解得1m ，故10m 综上，所求实数m的取值范围是1,0.【答案点睛】本题考查函数零点问题，考查不等式恒成立问题，考查用导数研究函数的单调性解题关键是通过分类讨论研究函数的单调性本题难度较大，考查掌握转化与化归思想，考查学生分析问题解决问题的能力 2
27、0、（1）23；（2）52或3 52【答案解析】（1）利用正弦定理对已知代数式化简，根据余弦定理求解余弦值；（2）根据余弦定理求出 b1 或 b3，结合面积公式求解.【题目详解】（1）已知等式 3sin2A+3sin2B4sinAsinB+3sin2C，利用正弦定理化简得：3a2+3b23c24ab，即 a2+b2c243ab，cosC222223abcab；（2）把 a3，c6，代入 3a2+3b23c24ab 得：b1 或 b3，cosC23，C 为三角形内角，sinC2513cos C，S ABC12absinC123b5532b，则 ABC 的面积为52或3 52【答案点睛】此题考查利
28、用正余弦定理求解三角形，关键在于熟练掌握正弦定理进行边角互化，利用余弦定理求解边长，根据面积公式求解面积.21、（1）见解析；（2）22【答案解析】（1）由折叠过程知1AE与平面BCD垂直，得1AEBD，再取1AA中点M，可证1AA与平面MBD垂直，得1AABD，从而可得线面垂直，再得线线垂直；（2）由已知得D为AC中点，以E为原点，1,EB EA所在直线为,x z轴，在平面BCD内过E作BC的垂线为y轴建立空间直角坐标系，由已知求出线段长，得出各点坐标，用平面的法向量计算二面角的余弦【题目详解】（1）易知1AE与平面BCD垂直，1AEBD，连接1AA，取1AA中点M，连接,MD MD，由11
29、,DADA BABA得1,AAMD1AAMB，MBMDM，1AA 平面MBD，BD 平面MBD，1AABD，又111AAA EA，BD 平面1AAE，BDAE；（2）由1tan2ABD，知D是AC中点，令BEBC，则(1)AEABBEABAC，由12BDADABACAB，BDAE，1(1)()02ABACACAB，解得23，故2 2,2BECE 以E为原点，1,EB EA所在直线为,x z轴，在平面BCD内过E作BC的垂线为y轴建立空间直角坐标系，如图，则12 3 2(2 2,0,0),(2,0,0),(0,0,1),(,0)44BCAD，1(2 2,0,1)BA ，9 2 3 2(,0)44
30、BD ，设平面1ABD的法向量为(,)mx y z，则12 209 23 2044m BAxzm BDxy ，取1x，则(1,3,2 2)m 又易知平面1ABC的一个法向量为(0,1,0)n，32cos,21 3 2m nm nm n 二面角1CBAD的余弦值为22【答案点睛】本题考查证明线线垂直，考查用空间向量法求二面角证线线垂直，一般先证线面垂直，而证线面垂直又要证线线垂直，注意线线垂直、线面垂直及面面垂直的转化求空间角，常用方法就是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角 22、（1）24yx，（1，2）；（2）存在，83【答案解析】（1）由直线2l恒过点点及抛物线 C 上的点到点 Q
31、的距离与到准线的距离之和的最小值为102，求出抛物线的方程，再由直线1l与抛物线相切，即可求得切点的坐标；（2）直线2l与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，求得直线 PA，PB 的斜率，求出斜率之和为定值，即存在实数使得斜率之和为定值.【题目详解】（1）由题意，直线2l变为 2x+1-m(2y+1)=0，所以定点 Q 的坐标为11,22 抛物线2:2(0)C ypx p的焦点坐标,02pF，由抛物线C 上的点到点 Q 的距离与到其焦点 F 的距离之和的最小值为102，可得22111002222pQF，解得2p 或4p （舍去），故抛物线 C 的方程为24yx 又由2y4xbyx消去 y 得2
32、22(2)0 xbxb，因为直线1l与抛物线 C 相切，所以222240bb，解得1b，此时1x，所以点 P 坐标为（1，2）（2）设存在满足条件的实数，点1122(,),(,)A x yB xy，联立222104xmymyx，消去 x 得24220ymym，则12124,.22yym y ym，依题意，可得2(4)4(22)0mm，解得 m-1 或12m，由（1）知 P（1，2），可得1111111222(2)1123(21)12yyykxmymmym，同理可得2222(2)23ykmym，所以121212221212122 43(1)()4(3)22)22)232342(3)()(3)my ymyymyymymmymm y ym myym（=22222 4(22)3(1)44(3)8(523)84(22)2(3)4(3)3(523)3mmmmmmmmmm mmmmm，故存在实数=83满足条件.【答案点睛】本题主要考查抛物线方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.