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1、 11 导数与函数的单调性 对应学生用书P26 已知函数(1)y12x1，(2)y2x10，(3)y32x，(4)y412x，(5)y5log2x，(6)y6log12x.问题 1：求上面六个函数的导数 提示：(1)y12，(2)y21，(3)y32xln 2，(4)y412xln 122xln 2，(5)y51xln 2，(6)y61xln 121xln 2.问题 2：试判断所求导数的符号 提示：(1)(3)(5)的导数为正，(2)(4)(6)的导数为负 问题 3：试判断上面六个函数的单调性 提示：(1)(3)(5)在定义域上是增加的，(2)(4)(6)在定义域上是减少的 问题 4：试探讨函
2、数的单调性与其导函数正负的关系 提示：当f(x)0 时，f(x)为增加的，当f(x)0(或f(x)0(或f(x)0 在(0,2)上恒成立即可 精解详析 由于f(x)ln xx，所以f(x)1xxln xx21ln xx2，由于 0 x2，所以 ln xln 20，即函数在区间(0,2)上是增加的 一点通 利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f(x)0(f(x)0.答案：B 2.证明函数f(x)x1x在(0,1上是减少的 证明：f(x)11x2x21x2，又x(0,1，x210(只有x1 时等号成立)，f(x)0，f(x)x1x在(0,1上为减少的 3判断y
3、ax31(aR)在 R 上的单调性 解：y3ax2，又x20.(1)当a0 时，y0，函数在 R 上单调递增；(2)当a0 时，y0，函数在 R 上单调递减；(3)当a0 时，y0，函数在 R 上不具备单调性.求函数的单调区间 例 2 求下列函数的单调区间：(1)f(x)x2ln x；(2)f(x)exx2；(3)f(x)x33x2.精解详析(1)函数f(x)的定义域为(0，)f(x)2x1x2x12x1x.因为x0，所以 2x10，由f(x)0，解得x22，所以函数f(x)的单调递增区间为22，；由f(x)0，解得x0，(x2)20.由f(x)0，解得x3，所以函数f(x)的单调递增区间为(
4、3，)；由f(x)0，解得x3，又x(，2)(2，)，所以函数f(x)的单调递减区间为(，2)和(2,3)(3)函数f(x)的定义域为 R.f(x)3x26x3x(x2)当 0 x0，所以函数f(x)的单调递增区间为(0,2)；当x2 时，f(x)0 或f(x)0.但要特别注意的是，不能忽略函数的定义域，应首先求出函数的定义域，在定义域内解不等式另外，如果函数的单调区间不止一个时，应用“及”“和”等连接，而不能写成并集的形式 4函数f(x)的导函数yf(x)的图像如右图，则函数f(x)的递增区间为_ 解析：当1x0 或x2 时f(x)0，可得递增区间为1,0和2，)答案：1,0和2，)5函数y
5、12x2ln x的单调递减区间为()A(1,1 B(0,1 C1，)D.(0，)解析：函数y12x2ln x的定义域为(0，)，yx1xx1x1x，令y0，则可得 00，解得x1 或x13，因此，yx32x2x的单调递增区间为(1，)，13.再令 3x24x10，解得13x0，y12x2aln x的增区间为(0，)，无减区间 当a0 得x a，由y0 得 0 x0，所以只能有f(x)0 恒成立 法一：由上述讨论可知要使f(x)0 恒成立，只需使方程 3x22xm0 的判别式412m0，故m13.经检验，当m13时，只有个别点使f(x)0，符合题意 所以实数m的取值范围是m13.法二：3x22x
6、m0 恒成立，即m3x22x恒成立 设g(x)3x22x3x13213，易知函数g(x)在 R 上的最大值为13，所以m13.经检验，当m13时，只有个别点使f(x)0，符合题意 所以实数m的取值范围是m13.一点通 已知函数yf(x)，xa，b的单调性，求参数的取值范围的步骤：(1)求导数yf(x)；(2)转化为f(x)0 或f(x)0 在xa，b上恒成立问题；(3)由不等式恒成立求参数范围；(4)验证等号是否成立 7 已知函数f(x)ax1x2在(2，)内是减少的，则实数a的取值范围为_ 解析：f(x)ax1x2ax1x2x22 2a1x22，由函数f(x)在(2，)内是减少的知f(x)0
7、 在(2，)内恒成立，即2a1x220 在(2，)内恒成立，因此a12.又当a12时，f(x)12x1x212为常数函数，所以不符合题意，所以a的取值范围是，12.答案：，12 8试问是否存在实数a，使得函数f(x)ax3x恰有三个单调区间？如果存在，求出实数a的取值范围及这三个单调区间；如果不存在，请说明理由 解：f(x)3ax21，若a0，则f(x)0，此时f(x)只有一个单调区间，不满足要求；若a0，则f(x)10，此时f(x)也只有一个单调区间，不满足要求；若a0，则f(x)3ax13ax13a，此时f(x)恰有三个单调区间，满足要求 综上可知，存在实数a0，使f(x)恰有三个单调区间
8、，其中单调递减区间为，13a和13a，单调递增区间为13a，13a.(1)在利用导数来讨论函数的单调性时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内通过讨论导数的符号来确定函数的单调区间(2)已知函数的单调性求参数的范围，这类问题往往转化为不等式的恒成立问题，即f(x)0 或f(x)0 在给定区间恒成立，从中求出参数范围，但应注意能否取到等号需要单独验证 对应课时跟踪训练十 1函数f(x)x33x21 的单调递减区间为()A(2，)B(，2)C(，0)D.(0,2)解析：f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得 0 x0 时，f(x)x2x的单调递减区间是()A(2，)B(
9、0,2)C(2，)D.(0，2)解析：f(x)12x2x22x2x 2x 2x2.由f(x)0 得 0 x 2.答案：D 3若函数h(x)2xkxk3在(1，)上是增函数，则实数k的取值范围是()A2，)B2，)C(，2 D.(，2 解析：根据条件得h(x)2kx22x2kx20 在(1，)上恒成立，即k2x2在(1，)上恒成立，所以k2，)答案：A 4已知函数f(x)xln x，则有()Af(2)f(e)f(3)Bf(e)f(2)f(3)Cf(3)f(e)f(2)D.f(e)f(3)0，所以f(x)在(0，)上是增函数，所以有f(2)f(e)0，则 cos x12.又x(0，)，解得3x0，解不等式得 0 x0，得a19.所以当a19，时，f(x)在23，上存在单调递增区间 8设函数f(x)ln(xa)x2，若f(1)0，求a的值，并讨论f(x)的单调性 解：f(x)1xa2x，依题意，有f(1)0，故a32.从而f(x)2x23x1x322x1x1x32.则f(x)的定义域为32，.当32x0；当1x12时，f(x)12时，f(x)0.从而f(x)分别在区间32，1，12，上是增加的，在区间1，12上是减少的