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1、12020 年高考数学一轮复习知识点总结立体几何与排列组合立体几何考试内容平面及其基本性质平面图形直观图的画法平行直线对应边分别平行的角异面直线所成的角异面直线的公垂线异面直线的距离直线和平面平行的判定与性质直线和平面垂直的判定与性质点到平面的距离斜线在平面上的射影直线和平面所成的角三垂线定理及其逆定理平行平面的判定与性质平行平面间的距离二面角及其平面角两个平面垂直的判定与性质多面体正多面体棱柱棱锥球考试要求（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系（2）掌握两条直线平行与垂直的判
2、定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离（3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面2垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理（4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理（5）会用反证法证明简单的问题（6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图（8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画
3、正棱锥的直观图（9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式9（B）直线、平面、简单几何体考试内容：平面及其基本性质平面图形直观图的画法平行直线直线和平面平行的判定与性质直线和平面垂直的判定三垂线定理及其逆定理两个平面的位置关系空间向量及其加法、减法与数乘空间向量的坐标表示空间向量的数量积直线的方向向量异面直线所成的角异面直线的公垂线异面直线的距离直线和平面垂直的性质平面的法向量点到平面的距离直线和平3面所成的角向量在平面内的射影平行平面的判定和性质平行平面间的距离二面角及其平面角两个平面垂直的判定和性质多面体正多面体棱柱棱锥球考试要求：（1）掌握平面的基本性质。会用斜二测的画法画
4、水平放置的平面图形的直观图：能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形.能够根据图形想像它们的位置关系（2）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念.掌握直线和平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理（3）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘（4）了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念.掌握空间向量的坐标运算（5）掌握空间向量的数量积的定义及其性质：掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式（6）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念（7）掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概
5、念.对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离掌握直线和平面垂直的性质定理掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理4（8）了解多面体、凸多面体的概念。了解正多面体的概念（9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图（10）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质。会画正棱锥的直观图（11）了解球的概念.掌握球的性质.掌握球的表面积、体积公式（考生可在9（A）和9（B）中任选其一）09.立体几何知识要点一、平面.1.经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2.两个平面可将平面分成3 或 4 部分.（两个平面平行，两个平面相
6、交）3.过三条互相平行的直线可以确定1 或 3 个平面.（三条直线在一个平面内平行，三条直线不在一个平面内平行）注：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0 或 1 个.4.三个平面最多可把空间分成8 部分.（X、Y、Z三个方向）二、空间直线.1.空间直线位置分三种：相交、平行、异面.相交直线共面有反且有一个公共点；平行直线共面没有公共点；异面直线不同在任一平面内注：两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）直线在平面外，指的位置关系：平行或相交5若直线a、b异面，a平行于平面，b与的关系是相交、平行、在平面内.两条平行线在同一平面内的
7、射影图形是一条直线或两条平行线或两点.在平面内射影是直线的图形一定是直线.（）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（）（并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段）ba,是夹在两平行平面间的线段，若ba，则ba,的位置关系为相交或平行或异面.2.异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3.平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.（二面角的取值范围180,0）（直线与直线
8、所成角90,0）（斜线与平面成角90,0）（直线与平12方向相同12方向不相同6面所成角 90,0）（向量与向量所成角)180,0推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.5.两异面直线的距离：公垂线的长度.空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.21,ll是异面直线，则过21,ll外一点P，过点P且与21,ll都平行平面有一个或没有，但与21,ll距离相等的点在同一平面内.（1L或2L在这个做出的平面内不能叫1L与2L平行的平面）三、直线与平面平行、直线与平面垂直.1.空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2.直线与平面平行判
9、定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）注：直线a与平面内一条直线平行，则a.（）（平面外一条直线）直线a与平面内一条直线相交，则a与平面相交.（）（平面外一条直线）若直线a与平面平行，则内必存在无数条直线与a平行.（）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面.7（）（可能在此平面内）平行于同一直线的两个平面平行.（）（两个平面可能相交）平行于同一个平面的两直线平行.（）（两直线可能相交或者异面）直线l与平面、所成角相等，则.（）（、可能相交）3.直线和平面平行性质定
10、理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4.直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.若PA，aAO，得aPO（三垂线定理），得不出PO.因为aPO，但PO不垂直OA.三垂线定理的逆定理亦成立.直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一
11、个平面，那么这两条直线平行.注：垂直于同一平面的两个平面平行.（）（可能相交，垂直于同一条直线的两个平面平行）POAa8垂直于同一直线的两个平面平行.（）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）垂直于同一平面的两条直线平行.（）5.垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；垂线段比任何一条斜线段短.注：垂线在平面的射影为一个点.一条直线在平面内的射影是一条直线.（）射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上
12、四、平面平行与平面垂直.1.空间两个平面的位置关系：相交、平行.2.平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行.注：一平面间的任一直线平行于另一平面.3.两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4.两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.9两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如
13、果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.5.两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.证明：如图，找 O 作 OA、OB分别垂直于21,ll，因为OBPMOAPM,则OBPMOAPM,.6.两异面直线任意两点间的距离公式：cos2222mndnml（为锐角取加，为钝取减，综上，都取加则必有2,0）7.最小角定理：21coscoscos（1为最小角，如图）最小角定理的应用（PBN为最小角）简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有 4
14、条.成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有 2 条.成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有 3 条或者 2 条.成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有 1 条或者没有.五、棱锥、棱柱.1.棱柱.直棱柱侧面积：ChS（C为底面周长，h是高）该公式是利用直图112图2PMABO10棱柱的侧面展开图为矩形得出的.斜棱住侧面积：lCS1（1C是斜棱柱直截面周长，l是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体.直四棱柱平行六面体=直平行六面体.四 棱 柱平 行 六 面 体直 平 行 六 面 体长 方 体正
15、 四 棱 柱正 方 体底 面 是平 行 四 边 形侧 棱 垂 直底 面底 面 是矩 形底 面 是正 方 形侧 面 与底 面 边 长 相 等棱柱具有的性质：棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱.（）（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.注：四棱柱的对角线不一定相交于一点
16、.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为,，11则1coscoscos222.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为,，则2coscoscos222.注：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形）各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（）（应是各侧面都是正方形的直棱柱才行）对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直.（两条边可能相交，可能不相交，若两条边
17、相交，则应是充要条件）2.棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.注：一个棱锥可以四各面都为直角三角形.一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3VShV.正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.注：i.正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii.正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正侧棱与底棱不一定相等iii.正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三12角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.正棱锥的侧面积：Ch21S（底面周长为C，斜高为h）棱锥的侧面积与底面积的射影公式：cos底侧SS（侧面与底面成的二面角为
18、）附：以知cl，ba cos，为二面角bla.则laS211，blS212，ba cos得cos底侧SS.注：S为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）.棱锥具有的性质：正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影
19、为底面多边形内心.labc13棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心.三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.每个四面体都有外接球，球心 0 是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；每个四面体都有内切球，球心I是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.注：i.各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）ii.若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直.简证：ABCD，ACBDBCAD.令bACcADa
20、AB,得cacbADBCcADabABACBC,，已知 0,0cabbca0cbca则0 ADBC.iii.空间四边形 OABC 且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形.iv.若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形.简 证：取AC 中 点O，则ACACOBACoo,平 面FGHBOACBOO90易知 EFGH 为平行四边形EFGH 为长方形.若对角线等，则EFGHFGEF为正方形.BCDAabcFEHGBCDAO143.球：球的截面是一个圆面.球的表面积公式：24 RS.球的体积公式：334RV.纬度、经度：纬度：地球上一点P的纬度是指经过P点的球半
21、径与赤道面所成的角的度数.经度：地球上BA,两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B点的经度.附：圆柱体积：hrV2（r为半径，h为高）圆锥体积：hrV231（r为半径，h为高）锥形体积：ShV31（S为底面积，h为高）4.内切球：当四面体为正四面体时，设边长为 a，ah36，243aS 底，243aS 侧得aaaRRaRaaa46342334/424331433643222.注：球内切于四面体：hSRS313RS31V底底侧ACDB外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.六.空间向量.1.
22、（1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.OrOR15注：若a与b共线，b与c共线，则a与c共线.（）当0b时，不成立向量cba,共面即它们所在直线共面.（）可能异面若ab，则存在小任一实数，使ba.（）与0b不成立若a为非零向量，则00 a.（）这里用到)0(bb之积仍为向量（2）共线向量定理：对空间任意两个向量)0(,bba，ab的充要条件是存在实数（具有唯一性），使ba.（3）共面向量：若向量a使之平行于平面或a在内，则a与的关系是平行，记作a.（4）共面向量定理：如果两个向量ba,不共线，则向量P与向量ba,共面的充要条件是存在实数对x、y使by
23、axP.空间任一点O和不共线三点A、B、C，则)1(zyxOCzOByOAxOP是PABC四点共面的充要条件.（简证：ACzAByAPOCzOByOAzyOP)1(P、A、B、C四点共面）注：是证明四点共面的常用方法.2.空间向量基本定理：如果三个向量cba,不共面，那么对空间任一向量P，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使czbyaxp.推论：设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组x、y、z使OCzOByOAxOP(这里隐含 x+y+z1).注：设四面体 ABCD 的三条棱，,dADcACbAB其中 Q 是BCD 的重心，则向量)(31cbaAQ用MQ
24、AMAQ即证.3.（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横ADCMBG16坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.令a=(a1,a2,a3),),(321bbbb，则),(332211babababa)(,(321Raaaa332211babababaa)(,332211Rbababab332211bababa0332211babababa222321aaaaaa(用到常用的向量模与向量之间的转化：aaaaaa2)232221232221332211|,cosbbbaaababababababa空间两点的距离公式：212212212)()()(zzyyx
25、xd.（2）法向量：若向量a所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a，如果a那么向量a叫做平面的法向量.（3）用向量的常用方法：利用法向量求点到面的距离定理：如图，设 n 是平面的法向量，AB 是平面的一条射线，其中A，则点 B 到平面的距离为|nnAB.利用法向量求二面角的平面角定理：设21,nn分别是二面角 l中平面,的法向量，则21,nn所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,nn方向相同，则为补角，21,nn反方，则为其夹角）.证直线和平面平行定理：已知直线a平面，DCaBA,，且CDE三点不共线，则 a的充要条件是存在有序实数对使CECDAB.（常设CECDAB求
26、解,若,存在即证毕，若,不存在，则直线 AB 与平面相交）.17nBCAn2n1CEDABII.竞赛知识要点一、四面体.1.对照平面几何中的三角形，我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质：四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心；四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，这一点叫做此四面体的内接球的球心；四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心将每条连线分为31；12 个面角之和为720，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角之和为180.2.直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相
27、当于平面几何的直角三角形.（在直角四面体中，记 V、l、S、R、r、h分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内切球半径及侧面上的高），则有空间勾股定理：S2ABC+S2BCD+S2ABD=S2ACD.3.等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形.根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，反之也可以将一个等腰18四面体拼补成一个长方体.（在等腰四面体ABCD 中，记BC=AD=a，AC=BD=b，AB=CD=c，体积为V，外接球半径为R，内接球半径为r，高为h），则有等腰四面体的体积可表示为22231222222
28、222cbabacacbV；等腰四面体的外接球半径可表示为22242cbaR；等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等，且可表示为22232cbam；h=4r.二、空间正余弦定理.空间正弦定理：sinABD/sinA-BC-D=sinABC/sinA-BD-C=sinCBD/sinC-BA-D空间余弦定理：cosABD=cosABCcosCBD+sinABCsinCBDcosA-BC-D立体几何知识要点一、知识提纲（一）空间的直线与平面平面的基本性质三个公理及公理三的三个推论和它们的用途斜二测画法OABCD19空间两条直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线公理四（平行线的传递性）等
29、角定理异面直线的判定：判定定理、反证法异面直线所成的角：定义（求法）、范围直线和平面平行直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性质直线和平面垂直直线和平面垂直：定义、判定定理三垂线定理及逆定理5.平面和平面平行两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质6.平面和平面垂直互相垂直的平面及其判定定理、性质定理（二）直线与平面的平行和垂直的证明思路（见附图）（三）夹角与距离7.直线和平面所成的角与二面角平面的斜线和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平面所成的角、直线和平面所成的角二面角：定义、范围、二面角的平面角、直二面角互相垂直的平面及其判定定理、性质定理8.距离20点到平面
30、的距离直线到与它平行平面的距离两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线、公垂线段异面直线的距离：异面直线的公垂线及其性质、公垂线段（四）简单多面体与球9.棱柱与棱锥多面体棱柱与它的性质：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质平行六面体与长方体：平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、正方体；平行六面体的性质、长方体的性质棱锥与它的性质：棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质直棱柱和正棱锥的直观图的画法10.多面体欧拉定理的发现简单多面体的欧拉公式正多面体11.球球和它的性质：球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离球的体积公式和表面积公式二、常用结论、方法和公式1.从一点O 出发的三条射线OA、OB
31、、OC，若AOB=AOC，则点A 在平面BOC上的射影在BOC的平分线上；212.已知:直二面角 MABN中，AEM，BFN,EAB=1,ABF=2，异面直线 AE 与 BF 所成的角为，则;coscoscos213.立平斜公式：如图，AB和平面所成的角是1，AC 在平面内，BC 和 AB 的射影 BA1成2，设ABC=3,则 cos1cos2=cos3；4.异面直线所成角的求法：（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；5.直线与平面所成的角斜
32、线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；6.二面角的求法（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线BCADA122作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；（4）射影法：利用面积
33、射影公式 S射S原cos,其中为平面角的大小，此法不必在图形中画出平面角；特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。7.空间距离的求法（1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算；（2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；（3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解；8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为，则 S侧cos=S底；9.已知:长方体的体对角线与
34、过同一顶点的三条棱所成的角分别为,因此有 cos2+cos2+cos2=1;若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,则有 cos2+cos2+cos2=2;10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；11.欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V,面数为F,棱数为E.那么 V+FE=2；并且棱数E各顶点连着的棱数和的一半各面边数和的一半；12.柱体的体积公式：柱体（棱柱、圆柱）的体积公式是 V柱体=Sh.其23中 S 是柱体的底面积，h是柱体的高.13.直棱柱的侧面积和全面积S直棱柱侧=c(c 表示底面周长，表示侧棱长)S棱柱全=S底+S侧14棱锥的体积:V棱锥=Sh31，其
35、中S 是棱锥的底面积，h是棱锥的高。15.球的体积公式V=334R，表面积公式24 RS；掌握球面上两点A、B 间的距离求法：（1）计算线段AB 的长，（2）计算球心角AOB 的弧度数；(3)用弧长公式计算劣弧AB 的长；24高中数学第十章-排列组合二项定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理排列排列数公式组合组合数公式组合数的两个性质二项式定理二项展开式的性质考试要求：（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题（2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单
36、的应用问题（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题10.排列组合二项定理知识要点一、两个原理.1.乘法原理、加法原理.2.可以有重复元素的排列.从 m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二第n 位上选取元素的方法都是 m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数25mm m=mn.例如：n 件物品放入 m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？（解：nm种）二、排列.1.对排列定义的理解.定义：从n个不同的元素中任取m(mn)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素
37、的一个排列.相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.排列数.从n个不同元素中取出m(mn)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号mnA表示.排列数公式：),()!(!)1()1(NmnnmmnnmnnnAm注意：!)!1(!nnnn规定 0!=1111mnmnmnmmmnmnmAACAAA11mnmnnAA规定10nnnCC2.含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集 S 有 k 个不同元素 a1，a2,.an其中限重复数为 n1、n2nk，且 n
38、=n1+n2+nk,则 S的排列个数等于!.!21knnnnn.26例如：已知数字 3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(n又例如：数字 5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3n.三、组合.1.组合：从n个不同的元素中任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.组合数公式：)!(!)1()1(mnmnCmmnnnAACmnmmmnmn两个公式：;mnnmnCCmnmnmnCCC11从 n 个不同元素中取出 m个元素后就剩下 n-m 个元素，因此从 n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从 n 个不同元素中取出 n
39、-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从 n+1 个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取 m个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1mn111mnCCC一类是不含红球的选法有mnC）根据组合定义与加法原理得；在确定 n+1 个不同元素中取 m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的 n 个元素中再取 m-1 个元素，所以有 C1mn，如果不取这一元素，则需从剩余 n 个元素中取出 m个元素，所以共有 Cmn种，依分类原理有mnmnmnCCC11.排列与组合的联系与区别.联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是
40、“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系.27几个常用组合数公式nnnnnnCCC221011111121153142011112knknknknmnmmnmmmmmmnnnnnnnnCnCknCkCCCCCCCCCCCC常用的证明组合等式方法例.i.裂项求和法.如：)!1(11)!1(!43!32!21nnn（利用!1)!1(1!1nnnn）ii.导数法.iii.数学归纳法.iv.倒序求和法.v.递推法（即用mnmnmnCCC11递推）如：413353433nnCCCCC.vi.构造二项式.如：nnnnnnCCCC222120)()()(证明：这里构造二项式nnnxxx2)1()1()1
41、(其中nx的系数，左边为22120022110)()()(nnnnnnnnnnnnnnnnCCCCCCCCCCC，而右边nnC2四、排列、组合综合.1.I.排列、组合问题几大解题方法及题型：直接法.排除法.捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某)(nmm个元素必相邻的排列有mmmnmnAA11个.其中11mnmnA是一个“整体排列”，而mmA则是“局部排列”.又例如有 n 个不同座位，A、B 两个不能相邻，则有排列法种数为2nA2211AAn.28有
42、n 件不同商品，若其中 A、B 排在一起有2211AAnn.有 n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有112nnnAA.注：区别在于是确定的座位，有22A种；而的商品地位相同，是从 n 件不同商品任取的 2 个，有不确定性.插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n 个元素全排列，其中 m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？mmnmnmnAA1（插空法），当 n m+1m,即 m21n时有意义.占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考
43、虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将 n个元素进行全排列有nnA种，)(nmm个元素的全排列有mmA种，由于要求 m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有mmnnAA种排列方法.例如：n 个元素全排列，其中 m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）n=n！/m！；解法二：（比例分配法）mmnnAA/.平均法：若把 kn 个不同元素平均分成 k组，每组 n个，共有29kknnnnknknA
44、CCC)1(.例如：从 1，2，3，4 中任取 2 个元素将其平均分成 2 组有几种分法？有3!224C（平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200 名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？（!2/102022818CCCP）注意：分组与插空综合.例如：n 个元素全排列，其中某 m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有mmmmnmnmnAAA/1，当 n m+1m,即 m21n时有意义.隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：124321xxxx的正整数解的组数就可建立组合模型将 12 个完全相同的球排成一列，在它们之间形成 11 个空隙中任选三个插
45、入 3 块摸板，把球分成 4 个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,xxxx显然124321xxxx，故（4321,xxxx）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),(4321yyyy，对应着惟一的一种在 12 个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应.即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C.注意：若为非负数解的 x个数，即用naaa,.,21中ia等于1ix，有AaaaAxxxxnn1.11.21321，进而转化为求 a 的正整数解的个数为1nnAC.定位问题：从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列规定某x1x2x3x430r 个元素都包含在内
46、，并且都排在某r 个指定位置则有rkrnrrAA.例如：从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上：11mnA；不在某一位置上：11mnmnAA或11111mnmmnAAA（一类是不取出特殊元素a，有mnA1，一类是取特殊元素a，有从m-1 个位置取一个位置，然后再从n-1 个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的）指定元素排列组合问题.i.从 n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内。先 C后 A策略，排列kkrkrnrrACC；组合rkrnrrCC.ii.从 n
47、个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列（或组合），规定某r 个元素都不包含在内。先C 后 A 策略，排列kkkrnAC；组合krnC.iii 从 n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r 个元素中的s 个元素。先C 后 A策略，排列kkskrnsrACC；组合skrnsrCC.II.排列组合常见解题策略：特殊元素优先安排策略；合理分类与准确分步策略；排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；正难则反，等价转化策略；相邻问题插空处理策略；不相邻问题插空处理策略；定序问题除法处理策略；分排问题直排处理的策略
48、；“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；31构造模型的策略.2.组合问题中分组问题和分配问题.均匀不编号分组：将 n 个不同元素分成不编号的 m组，假定其中 r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为rrAA/（其中 A为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有 K 组均匀分组应再除以kkA.例：10 人分成三组，各组元素个数为 2、4、4，其分法种数为1575/224448210ACCC.若分成六组，各组人数分别为 1、1、2、2、2、2，其分法种数为44222224262819110/AACCCCCC非均匀编号分组:n 个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为
49、mmAA例：10 人分成三组，各组人数分别为 2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：335538210ACCC种.若从 10 人中选 9 人分成三组，人数分别为 2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有334538210ACCC种均匀编号分组：n 个不同元素分成 m组，其中 r 组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为mmrrAAA/.例：10 人分成三组，人数分别为 2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为33224448210AACCC非均匀不编号分组：将 n 个不同元素分成不编号的 m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为1mnCA 21mm
50、-nCkm)m.m(m-n1-k21C例：10 人分成三组，每组人数分别为 2、3、5，其分法种数为25205538210CCC32若从 10 人中选出 6 人分成三组，各组人数分别为 1、2、3，其分法种数为126003729110CCC.五、二项式定理.1.二项式定理：nnnrrnrnnnnnnbaCbaCbaCbaCba01100)(.展开式具有以下特点：1项数：共有1n项；2系数：依次为组合数;,210nnrnnnnCCCCC3每一项的次数是一样的，即为 n 次，展开式依 a 的降幕排列，b 的升幕排列展开.二项展开式的通项.nba)（展开式中的第1r项为：),0(1ZrnrbaCTr